Циклотомный характер

В теории чисел — круговой характер это характер группы Галуа, Галуа дающий действие на группу корней из единицы . Как одномерное представление над кольцом R , его пространство представления обычно обозначается R (1) (т. е. это представление χ : G → Aut _R ( R (1)) ≈ GL(1, R ) ) .

p -адический круговой характер

Зафиксируем p , простое число и пусть G _Q обозначает абсолютную группу Галуа рациональных чисел . Корни единства $$\mu _{p^{n}}=\left\{\zeta \in {\bar {\mathbf {Q} }}^{\times }\mid \zeta ^{p^{n}}=1\right\}$$ образуют циклическую группу порядка $p^{n}$, порожденный любым выбором примитива p ^н корень степени из единицы ζ _{p ^н} .

Поскольку все примитивные корни в $\mu _{p^{n}}$ являются сопряженными Галуа, группой Галуа $G_{\mathbf {Q} }$ действует на $\mu _{p^{n}}$ автоморфизмами. После фиксации примитивного корня единицы $\zeta _{p^{n}}$ создание $\mu _{p^{n}}$, любой элемент $\mu _{p^{n}}$ можно записать как степень $\zeta _{p^{n}}$, где показатель степени является уникальным элементом в $(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }$. Таким образом, можно написать

$$\sigma .\zeta :=\sigma (\zeta )=\zeta _{p^{n}}^{a(\sigma ,n)}$$

где $a(\sigma ,n)\in (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }$ является уникальным элементом, как указано выше, в зависимости от обоих $\sigma$ и $p$. Это определяет групповой гомоморфизм, называемый mod p ^н круговой характер :

$${\begin{aligned}{\chi _{p^{n}}}:G_{\mathbf {Q} }&\to (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\\\sigma &\mapsto a(\sigma ,n),\end{aligned}}$$который рассматривается как характер, поскольку действие соответствует гомоморфизму $G_{\mathbf {Q} }\to \mathrm {Aut} (\mu _{p^{n}})\cong (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\cong \mathrm {GL} _{1}(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )$.

Исправление $p$ и $\sigma$ и различные $n$, $a(\sigma ,n)$ образуют совместимую систему в том смысле, что они дают элемент обратного предела $$\varprojlim _{n}(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\cong \mathbf {Z} _{p}^{\times },$$единицы в кольце p-адических целых чисел . Таким образом, ${\chi _{p^{n}}}$ собраться в групповой гомоморфизм , называемый p -адическим круговым характером :

$${\begin{aligned}\chi _{p}:G_{\mathbf {Q} }&\to \mathbf {Z} _{p}^{\times }\cong \mathrm {GL_{1}} (\mathbf {Z} _{p})\\\sigma &\mapsto (a(\sigma ,n))_{n}\end{aligned}}$$кодирование действия $G_{\mathbf {Q} }$ на всех p -степенных корнях из единицы $\mu _{p^{n}}$ одновременно. Фактически оснащение $G_{\mathbf {Q} }$ с топологией Крулля и $\mathbf {Z} _{p}$ с p -адической топологией делает это непрерывным представлением топологической группы.

Как совместимая система ℓ -адических представлений

Варьируя ℓ по всем простым числам, совместимая система ℓ-адических представлений получается из ℓ -адических круговых символов (при рассмотрении совместимых систем представлений стандартной терминологией является использование символа ℓ для обозначения простого числа вместо p ) . То есть χ = { χ _ℓ } _ℓ является «семейством» ℓ -адических представлений.

$\chi _{\ell }:G_{\mathbf {Q} }\rightarrow \operatorname {GL} _{1}(\mathbf {Z} _{\ell })$

удовлетворяющие определенной совместимости между различными простыми числами. Фактически, χ _ℓ образуют строго совместимую систему ℓ-адических представлений .

Геометрические реализации

p - адический круговой характер — это адический модуль Тейта мультипликативной групповой схемы Gm _{, p Q} над Q. - Таким образом, его пространство представления можно рассматривать как обратный предел групп p ^н корни из единицы в Q .

С точки зрения когомологий , p характер является двойственным к первой p -адической этальной группе когомологий Gm _{-адический круговой} . Его также можно найти в этальных когомологиях проективного многообразия , а именно в проективной прямой : это двойственное H ² _Эт ( П ¹ ) .

В плане мотивов р - адический круговой характер представляет собой п -адическую реализацию мотива Тейта Z (1) . Как мотив Гротендика , мотив Тейта является двойником H. ² ( П ¹ ) .

Характеристики

p - адический круговой характер обладает несколькими интересными свойствами.

• Она неразветвлена ​​во всех простых числах ℓ ≠ p (т.е. подгруппа инерции в ℓ действует тривиально).
• Если Frob _ℓ является элементом Фробениуса для ℓ ≠ p , то χ _p (Frob _ℓ ) = ℓ
• Он кристаллический при p .

См. также

• Тейт твист