Древесное представление Галуа

В арифметической динамике древесное представление Галуа представляет собой непрерывный групповой гомоморфизм между абсолютной группой Галуа поля и группой автоморфизмов бесконечного регулярного корневого дерева .

Изучение древесных представлений Галуа восходит к работам Одони 1980-х годов.

Определение

Позволять $K$ быть полем и $K^{sep}$ быть его отделимым замыканием . Группа Галуа $G_{K}$ расширения $K^{sep}/K$ называется Галуа абсолютной группой $K$. Это проконечная группа , поэтому она наделена естественной топологией Крулля.

Для положительного целого числа $d$, позволять $T^{d}$ — бесконечное регулярное корневое дерево степени $d$. Это бесконечное дерево, в котором один узел помечен как корень дерева, и каждый узел имеет ровно $d$ потомки. Автоморфизм ​ ​ $T^{d}$ является биекцией множества узлов, сохраняющей связность вершин и ребер. Группа $Aut(T^{d})$ всех автоморфизмов $T^{d}$ также является проконечной группой, поскольку ее можно рассматривать как обратный предел групп автоморфизмов конечных поддеревьев $T_{n}^{d}$ образовано всеми узлами на расстоянии не более $n$ от корня. Группа автоморфизмов $T_{n}^{d}$ изоморфен $S_{d}\wr S_{d}\wr \ldots \wr S_{d}$ итерированное сплетение , $n$ копии симметрической группы степени $d$.

Древесное представление Галуа — это непрерывный групповой гомоморфизм. $G_{K}\to Aut(T^{d})$.

Древесные представления Галуа, связанные с рациональными функциями

Наиболее естественным источником древесных представлений Галуа является теория итераций саморациональных функций на проективной прямой . Позволять $K$ быть полем и $f\colon \mathbb {P} _{K}^{1}\to \mathbb {P} _{K}^{1}$ рациональная функция степени $d$. Для каждого $n\geq 1$ позволять $f^{n}=f\circ f\circ \ldots \circ f$ быть $n$-сложить состав карты $f$ с самим собой. Позволять $\alpha \in K$ и предположим, что для каждого $n\geq 1$ набор $(f^{n})^{-1}(\alpha )$ содержит $d^{n}$ элементы алгебраического замыкания ${\overline {K}}$. Тогда можно построить бесконечное регулярное корневое $d$-арное дерево $T(f)$ следующим образом: корень дерева $\alpha$, а узлы на расстоянии $n$ от $\alpha$ являются элементами $(f^{n})^{-1}(\alpha )$. Узел $\beta$ на расстоянии $n$ от $\alpha$ соединен ребром с узлом $\gamma$ на расстоянии $n+1$ от $\alpha$ тогда и только тогда, когда $f(\beta )=\gamma$.

Первые три уровня дерева прообразов $0$ под картой $x^{2}+1$

Абсолютная группа Галуа $G_{K}$ действует на $T(f)$ через автоморфизмы, а индуцированный гомоморфизм $\rho _{f,\alpha }\colon G_{K}\to Aut(T(f))$ является непрерывным и поэтому называется древесным представлением Галуа, присоединенным к $f$ с базовой точкой $\alpha$.

Древесные представления, присоединенные к рациональным функциям, можно рассматривать как широкое обобщение представлений Галуа на модулях Тейта абелевых многообразий .

Древесные представления Галуа, присоединенные к квадратичным многочленам

Самый простой нетривиальный случай — это случай монических квадратичных многочленов. Позволять $K$ поле характеристики не 2, пусть $f=(x-a)^{2}+b\in K[x]$ и установите базовую точку $\alpha =0$. Скорректированная посткритическая орбита $f$ это последовательность, определяемая $c_{1}=-f(a)$ и $c_{n}=f^{n}(a)$ для каждого $n\geq 2$. Результирующий аргумент показывает, что $(f^{n})^{-1}(0)$ имеет $d^{n}$ элементы навсегда $n$ тогда и только тогда, когда $c_{n}\neq 0$ для каждого $n$. В 1992 году Столл доказал следующую теорему:

Теорема : древесное представление $\rho _{f,0}$ сюръективно тогда и только тогда, промежуток когда $\{c_{1},\ldots ,c_{n}\}$ в $\mathbb {F} _{2}$- векторное пространство $K^{*}/(K^{*})^{2}$ является $n$-размерный для каждого $n\geq 1$.

Ниже приведены примеры полиномов, которые удовлетворяют условиям теоремы Столла и, следовательно, имеют сюръективные древесные представления.

• Для $K=\mathbb {Q}$, $f=x^{2}+a$, где $a\in \mathbb {Z}$ такова, что либо $a>0$ и $a\equiv 1,2{\bmod {4}}$ или $a<0$, $a\equiv 0{\bmod {4}}$ и $-a$ это не квадрат.

• Позволять $k$ быть полем характеристики, а не $2$ и $K=k(t)$ поле рациональных функций над $k$. Затем $f=x^{2}+t\in K[x]$ имеет сюръективную древесную репрезентацию.

Высшие степени и гипотеза Одони

В 1985 году Одони сформулировал следующую гипотезу.

Гипотеза : Пусть $K$ быть гильбертовым полем характеристики $0$, и пусть $n$ быть положительным целым числом. Тогда существует полином $f\in K[x]$ степени $n$ такой, что $\rho _{f,0}$ является сюръективным.

Хотя в этой весьма общей форме Диттман и Кадет доказали ложность этой гипотезы, есть несколько результатов, когда $K$ это числовое поле . Бенедетто и Юул доказали гипотезу Одони для $K$ числовое поле и $n$ даже, а также когда оба $[K:\mathbb {Q} ]$ и $n$ странные, Лупер независимо доказал гипотезу Одони для $n$ премьер и $K=\mathbb {Q}$.

Гипотеза о конечном индексе

Когда $K$ является глобальным полем и $f\in K(x)$ — рациональная функция степени 2, образ $\rho _{f,0}$ в большинстве случаев ожидается, что он будет «большим». Следующая гипотеза количественно дает предыдущее утверждение и была сформулирована Джонсом в 2013 году.

Гипотеза Пусть $K$ быть глобальным полем и $f\in K(x)$ рациональная функция степени 2. Пусть $\gamma _{1},\gamma _{2}\in \mathbb {P} _{K}^{1}$ быть точками критическими $f$. Затем $[Aut(T(f)):Im(\rho _{f,0})]=\infty$ тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий:

(1) Карта $f$ , посткритически конечна а именно орбиты $\gamma _{1},\gamma _{2}$ оба конечны.

(2) Существует $n\geq 1$ такой, что $f^{n}(\gamma _{1})=f^{n}(\gamma _{2})$.

(3) $0$ является периодической точкой для $f$.

(4) Существует преобразование Мёбиуса $m={\frac {ax+b}{cx+d}}\in PGL_{2}(K)$ это исправляет $0$ и таков, что $m\circ f\circ m^{-1}=f$.

Гипотеза Джонса считается динамическим аналогом теоремы Серра об открытом изображении.

Известно, что одно направление гипотезы Джонса верно: если $f$ удовлетворяет одному из вышеуказанных условий, то $[Aut(T(f)):Im(\rho _{f,0})]=\infty$. В частности, когда $f$ посткритически конечен, то $Im(\rho _{f,\alpha })$ является топологически конечно порожденной замкнутой подгруппой группы $Aut(T(f))$ для каждого $\alpha \in K$.

В другом направлении Juul et al. доказал, что если гипотеза abc верна для числовых полей, $K$ это числовое поле и $f\in K[x]$ является квадратичным многочленом, то $[Aut(T(f)):Im(\rho _{f,0})]=\infty$ тогда и только тогда, когда $f$ является посткритически конечным или не является в конечном итоге стабильным . Когда $f\in K[x]$ является квадратичным многочленом, условия (2) и (4) в гипотезе Джонса никогда не выполняются. Более того, Джонс и Леви предположили, что $f$ окончательно стабильна тогда и только тогда, когда $0$ не является периодическим для $f$.

Абелевы древесные представления

В 2020 году Эндрюс и Петше сформулировали следующую гипотезу.

Гипотеза Пусть $K$ числовое поле , пусть $f\in K[x]$ быть многочленом степени $d\geq 2$ и пусть $\alpha \in K$. Затем $Im(\rho _{f,\alpha })$ абелева тогда и только тогда, когда существует корень из единицы $\zeta$ такой, что пара $(f,\alpha )$ сопряжено над максимальным абелевым расширением $K^{ab}$ к $(x^{d},\zeta )$ или чтобы $(\pm T_{d},\zeta +\zeta ^{-1})$, где $T_{d}$ – полином Чебышева первого рода степени $d$.

Две пары $(f,\alpha ),(g,\beta )$, где $f,g\in K(x)$ и $\alpha ,\beta \in K$ сопряжены по расширению поля $L/K$ если существует преобразование Мёбиуса $m={\frac {ax+b}{cx+d}}\in PGL_{2}(L)$ такой, что $m\circ f\circ m^{-1}=g$ и $m(\alpha )=\beta$. Сопряженность – это отношение эквивалентности . Полиномы Чебышева, о которых идет речь в гипотезе, представляют собой нормализованную версию, сопряженную преобразованием Мёбиуса. $2x$ чтобы сделать их мониками.

Доказано, что гипотеза Эндрюса и Петше верна, когда $K=\mathbb {Q}$.

Дальнейшее чтение

• Древесные представления Галуа над конечными полями
• Ли, Хуа-Че (4 октября 2019 г.). «Древесное представление Галуа для определенного типа квадратичных многочленов» . Архив математики . 114 : 265–269. дои : 10.1007/s00013-019-01390-x .
• https://www.quora.com/What-is-the-significance-of-arboreal-Galois-representations