Группа ветвления

В теории чисел , более конкретно в теории полей локальных классов , группы ветвления представляют собой фильтрацию группы Галуа расширения локального поля , которая дает подробную информацию о явлениях ветвления расширения.

Теория ветвления оценок

В математике теория оценок множество расширений оценки ​ v поля L K до расширения ветвления поля K. изучает Это обобщение теории ветвления областей Дедекинда.

Структура множества расширений известна лучше, когда L / K является галуа .

Группа разложения и группа инерции

( K , v ) — значащее поле и L — конечное расширение Галуа поля K. Пусть Пусть S _v множество эквивалентности классов расширений v в L и пусть G — группа Галуа L — над K . Тогда G действует на S _v посредством σ[ w ] = [ w ∘ σ] (т. е. является представителем класса эквивалентности [ w ] ∈ S _v и [ w ] отправляется в класс эквивалентности композиции w с w автоморфизм σ : L → L не зависит от выбора w в [ w ]). На самом деле это действие транзитивно .

При фиксированном расширении w группы v до L группа разложения w является подгруппой стабилизатора G _w группы [ w ], т. е. это подгруппа G , состоящая из всех элементов, которые фиксируют класс эквивалентности [ w ] ∈ S _v .

через m _w Обозначим идеал w w внутри кольца нормирования R _w кольца . максимальный Группа инерции w — это подгруппа I _w группы G _w, состоящая из элементов σ таких, что σ x ≡ x (mod m _w ) для всех x в R _w . Другими словами, I _w элементов группы разложения, которые тривиально действуют на поле вычетов w состоит из . Это нормальная Gw ​ _. подгруппа

Приведенный индекс ветвления e ( w / v ) не зависит от w и обозначается e ( v ). Аналогично, относительная степень f ( w / v ) также не зависит от w и обозначается f ( v ).

Группы ветвления в меньшей нумерации

Группы ветвления представляют собой уточнение группы Галуа. $G$ конечного $L/K$ Расширение Галуа локальных полей . Мы напишем $w,{\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {p}}$ для нормирования — кольцо целых чисел и его максимальный идеал для $L$. Вследствие леммы Гензеля можно написать ${\mathcal {O}}_{L}={\mathcal {O}}_{K}[\alpha ]$ для некоторых $\alpha \in L$ где ${\mathcal {O}}_{K}$ кольцо целых чисел $K$. (Это сильнее, чем теорема о примитивном элементе .) Тогда для каждого целого числа $i\geq -1$, мы определяем $G_{i}$ быть совокупностью всех $s\in G$ удовлетворяющее следующим эквивалентным условиям.

• (я) $s$ действует тривиально на ${\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}^{i+1}.$
• (ii) $w(s(x)-x)\geq i+1$ для всех $x\in {\mathcal {O}}_{L}$
• (iii) $w(s(\alpha )-\alpha )\geq i+1.$

Группа $G_{i}$ называется $i$-я группа ветвления . Они образуют уменьшающуюся фильтрацию ,

$G_{-1}=G\supset G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \{*\}.$

Фактически, $G_{i}$ нормальны в силу (i) и тривиальны для достаточно больших $i$ согласно (iii). Для самых низких индексов принято называть $G_{0}$ инерционная подгруппа ​ $G$ из-за его связи с расщеплением простых идеалов , в то время как $G_{1}$ подгруппа инерции дикой $G$. Частное $G_{0}/G_{1}$ называется ручным коэффициентом.

Группа Галуа $G$ и его подгруппы $G_{i}$ изучаются с использованием указанной выше фильтрации или, более конкретно, соответствующих коэффициентов. В частности,

• $G/G_{0}=\operatorname {Gal} (l/k),$ где $l,k$ являются (конечными) полями вычетов $L,K$.
• $G_{0}=1\Leftrightarrow L/K$ является неразветвленным .
• $G_{1}=1\Leftrightarrow L/K$ является строго разветвленным (т. е. индекс ветвления прост с характеристикой вычета).

Изучение групп ветвления сводится к полностью разветвленному случаю, поскольку имеется $G_{i}=(G_{0})_{i}$ для $i\geq 0$.

Также определяется функция $i_{G}(s)=w(s(\alpha )-\alpha ),s\in G$. (ii) в приведенных выше шоу $i_{G}$ не зависит от выбора $\alpha$ и, кроме того, изучение фильтрации $G_{i}$ по существу эквивалентен $i_{G}$. $i_{G}$ удовлетворяет следующему: для $s,t\in G$,

• $i_{G}(s)\geq i+1\Leftrightarrow s\in G_{i}.$
• $i_{G}(tst^{-1})=i_{G}(s).$
• $i_{G}(st)\geq \min\{i_{G}(s),i_{G}(t)\}.$

Исправление униформайзера $\pi$ из $L$. Затем $s\mapsto s(\pi )/\pi$ вызывает инъекцию $G_{i}/G_{i+1}\to U_{L,i}/U_{L,i+1},i\geq 0$ где $U_{L,0}={\mathcal {O}}_{L}^{\times },U_{L,i}=1+{\mathfrak {p}}^{i}$. (Карта фактически не зависит от выбора униформизатора. ) Из этого следует

• $G_{0}/G_{1}$ является циклическим порядка, простого $p$
• $G_{i}/G_{i+1}$ является произведением циклических групп порядка $p$.

В частности, $G_{1}$ является p -группой и $G_{0}$ разрешима ​ .

Группы ветвления можно использовать для вычисления различных ${\mathfrak {D}}_{L/K}$ расширения $L/K$ и подрасширений:

$w({\mathfrak {D}}_{L/K})=\sum _{s\neq 1}i_{G}(s)=\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1).$

Если $H$ является нормальной подгруппой $G$, тогда для $\sigma \in G$, $i_{G/H}(\sigma )={1 \over e_{L/K}}\sum _{s\mapsto \sigma }i_{G}(s)$.

Объединив это с предыдущим, получим: для подрасширения $F/K$ соответствующий $H$,

$v_{F}({\mathfrak {D}}_{F/K})={1 \over e_{L/F}}\sum _{s\not \in H}i_{G}(s).$

Если $s\in G_{i},t\in G_{j},i,j\geq 1$, затем $sts^{-1}t^{-1}\in G_{i+j+1}$. В терминологии Лазара под этим можно понимать алгебру Ли $\operatorname {gr} (G_{1})=\sum _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}$ является абелевым.

Пример: круговое расширение

Группы ветвления кругового расширения $K_{n}:=\mathbf {Q} _{p}(\zeta )/\mathbf {Q} _{p}$, где $\zeta$ это $p^{n}$-й примитивный корень из единицы , можно описать явно:

$G_{s}=\operatorname {Gal} (K_{n}/K_{e}),$

где e выбрано так, что $p^{e-1}\leq s<p^{e}$.

Пример: расширение четвертой степени

Пусть K — расширение Q _2, порожденное $x_{1}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$. Конъюгаты $x_{1}$ являются $x_{2}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$, $x_{3}=-x_{1}$, $x_{4}=-x_{2}$.

Небольшие вычисления показывают, что частное любых двух из них равно единице . Следовательно, все они порождают один и тот же идеал; назовите это π . ${\sqrt {2}}$ генерирует π ² ; (2)= р ⁴ .

Сейчас $x_{1}-x_{3}=2x_{1}$, который находится в π ⁵ .

и $x_{1}-x_{2}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}},$ который находится в π ³ .

Различные методы показывают, что группа Галуа K группы $C_{4}$, циклический порядка 4. Также:

$G_{0}=G_{1}=G_{2}=C_{4}.$

и $G_{3}=G_{4}=(13)(24).$

$w({\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}})=3+3+3+1+1=11,$ так что разные ${\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}}=\pi ^{11}$

$x_{1}$ удовлетворяет X ⁴ − 4X ² + 2, дискриминант которого равен 2048 = 2. ¹¹ .

Группы ветвления в верхней нумерации

Если $u$ это действительное число $\geq -1$, позволять $G_{u}$ обозначать $G_{i}$ где я наименьшее целое число $\geq u$. Другими словами, $s\in G_{u}\Leftrightarrow i_{G}(s)\geq u+1.$ Определять $\phi$ к

$\phi (u)=\int _{0}^{u}{dt \over (G_{0}:G_{t})}$

где по соглашению $(G_{0}:G_{t})$ равно $(G_{-1}:G_{0})^{-1}$ если $t=-1$ и равен $1$ для $-1<t\leq 0$. Затем $\phi (u)=u$ для $-1\leq u\leq 0$. Это немедленно, что $\phi$ является непрерывным и строго возрастающим и, следовательно, имеет непрерывную обратную функцию $\psi$ определено на $[-1,\infty )$. Определять $G^{v}=G_{\psi (v)}$. $G^{v}$ тогда называется v -й группой ветвления в верхней нумерации. Другими словами, $G^{\phi (u)}=G_{u}$. Примечание $G^{-1}=G,G^{0}=G_{0}$. Верхняя нумерация определена так, чтобы быть совместимой с переходом к частным: если $H$ это нормально в $G$, затем

$(G/H)^{v}=G^{v}H/H$ для всех $v$

(тогда как меньшая нумерация совместима с переходом к подгруппам.)

Теорема Эрбрана

Теорема Эрбрана утверждает, что группы ветвления в нижней нумерации удовлетворяют $G_{u}H/H=(G/H)_{v}$ (для $v=\phi _{L/F}(u)$ где $L/F$ — это подрасширение, соответствующее $H$), и что группы ветвления в верхней нумерации удовлетворяют $G^{u}H/H=(G/H)^{u}$. Это позволяет определить группы ветвления в верхней нумерации бесконечных расширений Галуа (таких как абсолютная группа Галуа локального поля) из обратной системы групп ветвления для конечных подрасширений.

Верхняя нумерация абелева расширения важна из-за теоремы Хассе-Арфа . В нем говорится, что если $G$ абелева, то скачки фильтрации $G^{v}$ являются целыми числами; то есть, $G_{i}=G_{i+1}$ в любое время $\phi (i)$ не является целым числом.

Верхняя нумерация совместима с фильтрацией группы вычетов нормы единичными группами при изоморфизме Артина . Образ $G^{n}(L/K)$ при изоморфизме

$G(L/K)^{\mathrm {ab} }\leftrightarrow K^{*}/N_{L/K}(L^{*})$

это просто

$U_{K}^{n}/(U_{K}^{n}\cap N_{L/K}(L^{*}))\ .$

См. также

• Конечные расширения локальных полей

Ссылки

• Б. Конрад, Математика 248А. Группы более высокого ветвления
• Фрелих, А .; Тейлор, MJ (1991). Алгебраическая теория чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 27. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-36664-Х . Збл   0744.11001 .
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-65399-8 . МР   1697859 . Збл   0956.11021 .
• Серр, Жан-Пьер (1967). «VI. Теория полей локальных классов». в Касселсе, JWS ; Фрелих, А. (ред.). Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза . Лондон: Академическая пресса. стр. 128–161. Збл   0153.07403 .
• Серр, Жан-Пьер (1979). Локальные поля . Тексты для аспирантов по математике. Том. 67. Перевод Гринберга, Марвин Джей . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  0-387-90424-7 . МР   0554237 . Збл   0423.12016 .
• Снайт, Виктор П. (1994). Структура модуля Галуа . Монографии Филдсовского института. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-0264-Х . Збл   0830.11042 .