Оценка (алгебра)

В алгебре (в частности, в алгебраической геометрии или теории алгебраических чисел ) оценка — это функция поля , которая обеспечивает меру размера или кратности элементов поля. Он обобщает на коммутативную алгебру понятие размера, присущее рассмотрению степени полюса или кратности нуля . в комплексном анализе , степени делимости числа на простое число в теории чисел и геометрической концепции контакта между двумя числами алгебраические или аналитические многообразия в алгебраической геометрии. Поле со значением называется значащим полем .

Определение

Начинаем со следующих объектов:

поле группа $K$ и его мультипликативная K ^×,
абелева (Γ , вполне упорядоченная группа $+, \geq)$ .

Упорядочение и групповой закон на $Γ$ распространяются на множество $Γ \cup {\infty$ } ^{[ а ]} по правилам

$\infty \geq α$ для всех $α$ ∈ $Γ$ ,
$\infty + α = α + \infty = \infty + \infty = \infty$ для всех $α$ ∈ $Γ$ .

Тогда оценкой $K$ является любое отображение

v : K \to Γ \cup {\infty}

который удовлетворяет следующим свойствам для всех a , b в K :

$v (a) = \infty$ тогда и только тогда, когда $a = 0$ ,
$v (ab) = v (a) + v (b)$ ,
$v (a + b) \geq min(v (a), v (b))$ , с равенством, если v ( a ) ≠ v ( b ).

Оценка v тривиальна , если v ( a ) = 0 для всех a из K ^×, в противном случае это нетривиально .

Второе свойство утверждает, что любое нормирование является групповым гомоморфизмом на K ^×. Третье свойство представляет собой версию неравенства треугольника в метрических пространствах , адаптированную к произвольному Γ (см. Мультипликативные обозначения ниже). Для оценок, используемых в геометрических приложениях, первое свойство означает, что любой непустой росток аналитического многообразия вблизи точки содержит эту точку.

Оценку можно интерпретировать как порядок члена ведущего порядка . ^{[ б ]} Третье свойство тогда соответствует порядку суммы, являющемуся порядком большего члена: ^{[ с ]} за исключением случаев, когда два термина имеют одинаковый порядок, и в этом случае они могут сокращаться, и сумма может иметь больший порядок.

Для многих приложений $Γ$ является аддитивной подгруппой действительных чисел. $\mathbb {R}$ ^{[ д ]} в этом случае ∞ можно интерпретировать как +∞ в расширенных действительных числах ; Обратите внимание, что $\min(a,+\infty )=\min(+\infty ,a)=a$ для любого действительного числа a , и, таким образом, +∞ — это единица измерения двоичной операции минимума. Действительные числа (расширенные +∞) с операциями минимума и сложения образуют полукольцо , называемое минимальным тропическим полукольцом . ^{[ и ]} и нормирование v является почти гомоморфизмом полукольца из K в тропическое полукольцо, за исключением того, что свойство гомоморфизма может нарушиться, когда два элемента с одинаковым нормированием складываются вместе.

Мультипликативная запись и абсолютные значения

Эта концепция была развита Эмилем Артином в его книге «Геометрическая алгебра», записав группу в мультипликативной записи как $(Γ, \cdot, \geq)$ : ^{[ 1 ]}

Вместо ∞ мы присоединяем к Γ формальный символ O , при этом порядок и групповой закон расширяются правилами

$O ⩽ α$ для всех $α$ ∈ $Γ$ ,
$О \cdot α = α \cdot O = O$ для всех $α$ ∈ $Γ$ .

Тогда оценкой K $является$ любое отображение

| \cdot | v : K \to Γ \cup {O}

удовлетворяющий следующим свойствам для всех a , b ∈ K :

$|а| v = O$ тогда и только тогда, когда $a = 0$ ,
$|ab| v = |a| v \cdot |b| v$ ,
$|а+б| v \leq max(|a| v, |b| v)$ , с равенством, если $|a| v \neq |б| в$ .

(Обратите внимание, что направления неравенств обратны направлениям в аддитивных обозначениях.)

Если $Γ$ является подгруппой положительных действительных чисел при умножении, последнее условие представляет собой ультраметрическое неравенство, более сильную форму неравенства треугольника $|a+b| v \leq |а| v + |б| v$ и $| \cdot | v$ — абсолютное значение . В этом случае можно перейти к аддитивной записи с группой значений $\Gamma _{+}\subseteq (\mathbb {R} ,+)$ взяв $v + (a) = -log |a| в$ .

Каждое нормирование на $K$ определяет соответствующий линейный предпорядок : $a ≼ b \Leftrightarrow |a| v \leq |b| в$ . И наоборот, если " $≼$ " удовлетворяет требуемым свойствам, мы можем определить оценку $|a| v = {b : b ≼ a \land a ≼ b$ }, с умножением и упорядочиванием на основе $K$ и $≼$ .

Терминология

В данной статье мы используем определенные выше термины в аддитивных обозначениях. Однако некоторые авторы используют альтернативные термины:

наша «оценка» (удовлетворяющая ультраметрическому неравенству) называется «экспоненциальной оценкой», или «неархимедовой абсолютной величиной», или «ультраметрической абсолютной величиной»;
наше «абсолютное значение» (удовлетворяющее неравенству треугольника) называется «оценкой» или «архимедовым абсолютным значением».

Связанные объекты

Существует несколько объектов, определенных по заданному значению $v : K \to Γ \cup {\infty}$ ;

группа ценностей или группа ценностей $Γ v$ = v ( K ^×), подгруппа $Γ$ (хотя v обычно сюръективна, так что $Γ v$ = $Γ$ );
кольцо нормирования R _v — это множество a ∈ $K$ с v ( a ) ≥ 0,
простой идеал m _v - это множество a ∈ K с v ( a 0 (фактически это максимальный идеал R ) > _v ),
поле вычетов  k _v = R _v / m _v ,
место , K $v$ связанное с . , класс v при эквивалентности, определенной ниже

Основные свойства

Эквивалентность оценок

Два нормирования v ₁ и v ₂ группы $K$ с группой нормирования Γ ₁ и Γ ₂ соответственно называются эквивалентными , если существует сохраняющий порядок групповой изоморфизм $φ : Γ 1 \to Γ 2$ такой, что v ₂ ( a ) = φ ( v ₁ ( a )) для всех a в K ^×. Это отношение эквивалентности .

Два нормирования K эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же кольцо нормирования.

Класс эквивалентности нормировок поля называется местом . Теорема Островского дает полную классификацию мест поля рациональных чисел. $\mathbb {Q} :$ точности классы эквивалентности нормировок p -адических пополнений это в $\mathbb {Q} .$

Расширение оценок

Пусть v оценка $K$ и пусть L — расширение поля K. $,$ — Расширение v L (до , определение w L это такое что ограничение w ) — на $K$ равно v . Множество всех таких расширений изучается в теории ветвления нормирования .

Пусть L / K — конечное расширение и пусть w — расширение v до L. , Индекс v Γ _v в Γ _w , e( w / v [Γ _w : Γ _] , называется приведенным индексом ветвления w ) = над v . Он удовлетворяет условию e( w / v ) ≤ [ L : K ] ( степень расширения L / K ). Относительная степень w : над v определяется как f ( w / v = [ R _w / m _w ) R _v / m _v ] (степень расширения полей вычетов). Он также меньше или равен степени L / K . Когда L / K сепарабельна p , ветвления w v над v определяется как e w / индекс ) ( ^я, где п ^я — неотделимая степень расширения R _w / m _w над R _v / m _v .

Заполните значащие поля

Когда упорядоченная абелева группа $Γ$ является аддитивной группой целых чисел , соответствующая оценка эквивалентна абсолютному значению и, следовательно, индуцирует в поле $K.$ метрику Если $K$ полно относительно этой метрики, то оно называется полным значным полем . Если K не является полным, можно использовать оценку для построения его завершения , как в примерах ниже, и разные оценки могут определять разные поля завершения.

В общем, оценка порождает равномерную структуру на $K$ , и $K$ называется полным значным полем, если оно полно как однородное пространство. Существует родственное свойство, известное как сферическая полнота : оно эквивалентно полноте, если $\Gamma =\mathbb {Z} ,$ но в целом сильнее.

Примеры

p-адическая оценка

Самый простой пример - это $p$ -адическая оценка ν _p, связанная с простым целым числом p на рациональных числах. $K=\mathbb {Q} ,$ со оценочным кольцом $R=\mathbb {Z} _{(p)},$ где $\mathbb {Z} _{(p)}$ это локализация $\mathbb {Z}$ в высшем идеале $(p)$ . Группа оценки представляет собой аддитивные целые числа. $\Gamma =\mathbb {Z} .$ Для целого числа $a\in R=\mathbb {Z} ,$ оценка ν _p ( a ) измеряет делимость a на степени p :

\nu _{p}(a)=\max\{e\in \mathbb {Z} \mid p^{e}{\text{ divides }}a\};

а для дроби ν _p ( a / b ) = ν _p ( a ) - ν _p ( b ).

Запись этого мультипликативно дает $p$ -адическое абсолютное значение , которое обычно имеет в качестве основания $1/p=p^{-1}$ , так $|a|_{p}:=p^{-\nu _{p}(a)}$ .

Завершение $\mathbb {Q}$ относительно ν _p — поле $\mathbb {Q} _{p}$ чисел p-адических .

Порядок исчезновения

Пусть K = F (x), рациональные функции на аффинной прямой X = F ¹и возьмем точку a ∈ X. Для многочлена $f(x)=a_{k}(x{-}a)^{k}+a_{k+1}(x{-}a)^{k+1}+\cdots +a_{n}(x{-}a)^{n}$ с $a_{k}\neq 0$ , определим v _a ( f ) = k, порядок исчезновения в точке x = a ; и v _а ( ж / г ) знак равно v _а ( ж ) - v _а ( г ). Тогда кольцо нормирования R состоит из рациональных функций без полюса в точке x = a , а пополнением является формальных рядов Лорана кольцо F (( x − a )). Это можно обобщить на поле рядов Пюизо K {{ t }} (дробные степени), поле Леви-Чивита (его пополнение Коши) и поле рядов Хана , причем оценка во всех случаях возвращает наименьший показатель степени t появляющийся в сериале.

$π$ -адическая оценка

Обобщая предыдущие примеры, пусть $R$ — область главных идеалов , $K$ ее поле частных , а $—$ неприводимый элемент R. $—$ π Поскольку каждая область главного идеала является уникальной областью факторизации , каждый ненулевой элемент a из $R$ может быть записан (по существу) однозначно как

a=\pi ^{e_{a}}p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{n}^{e_{n}}

где e's - неотрицательные целые числа, а - _pi неприводимые элементы $R$ , которые не являются ассоциированными с $π$ . В частности, целое число e _a однозначно определяется a .

Тогда π -адическая оценка K определяется выражением

$v_{\pi }(0)=\infty$
$v_{\pi }(a/b)=e_{a}-e_{b},{\text{ for }}a,b\in R,a,b\neq 0.$

Если π' — другой неприводимый элемент из $R$ такой, что (π') = (π) (т. е. они порождают один и тот же идеал в R ), то π-адическая нормировка и π'-адическая нормировка равны. Таким образом, π-адическое нормирование можно назвать P -адическим нормированием, где P = (π).

P -адическая оценка в области Дедекинда

Предыдущий пример можно обобщить на домены Дедекинда . Пусть $R$ — дедекиндова область, $K$ — поле частных, и пусть P — ненулевой простой идеал $R$ . Тогда локализация R $,$ в P , обозначаемая R _P представляет собой область главного идеала, поле частных которой $K.$ равно Конструкция предыдущего раздела, примененная к простому идеалу PR _P группы R _P, дает $P$ -адическую нормировку $K$ .

Векторные пространства над полями оценки

Предположим, что $Γ$ ∪ {0} — множество неотрицательных действительных чисел при умножении. Тогда мы говорим, что оценка недискретна, если ее диапазон (группа оценок) бесконечен (и, следовательно, имеет точку накопления в 0).

Предположим, что — векторное пространство над K и что A и B — подмножества X. X Тогда мы говорим, что A поглощает B , если существует α ∈ K такое, что λ ∈ K и |λ| ≥ |α| следует, что B ⊆ λ A . A называется радиальным или поглощающим, если A поглощает каждое конечное подмножество X . Радиальные подмножества X инвариантны относительно конечного пересечения. Кроме того, A называется окружённым, если λ из K и |λ| ≥ |α| подразумевает λ A ⊆ A . Множество окружённых подмножеств L инвариантно относительно произвольных пересечений. Окруженная оболочка A , — это пересечение всех окруженных X содержащих A. подмножеств

Предположим, что X и Y — векторные пространства над полем недискретного нормирования K , пусть A ⊆ X , B ⊆ Y и пусть f : X → Y — линейное отображение. Если B обведен или радиален, то то же самое $f^{-1}(B)$ . Если A обведено кружком, то и f(A) тоже, но если A радиально, то f(A) будет радиальным при дополнительном условии, что f сюръективен.

См. также

Примечания

^ Символ ∞ обозначает элемент, не принадлежащий $Γ$ , и не имеет другого значения. Его свойства просто определяются данными аксиомами .
^ При использовании здесь минимального соглашения оценка скорее интерпретируется как отрицательный порядок ведущего члена порядка, но при использовании максимального соглашения ее можно интерпретировать как порядок.
^ Опять же, поменяно местами, поскольку используется минимальное соглашение.
^ Каждая архимедова группа изоморфна подгруппе добавляемых действительных чисел, но существуют неархимедовы упорядоченные группы, такие как аддитивная группа неархимедова упорядоченного поля .
^ В тропическом полукольце минимум и сложение действительных чисел считаются тропическим сложением и тропическим умножением ; это полукольцевые операции.

Ссылки

^ Эмиль Артин Геометрическая алгебра , страницы с 47 по 49, через Интернет-архив

Эфрат, Идо (2006), Оценки, упорядочения и К -теория Милнора , Математические обзоры и монографии, том. 124, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 0-8218-4041-Х , Збл 1103.12002
Джейкобсон, Натан (1989) [1980], «Оценки: параграф 6 главы 9», Базовая алгебра II (2-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company , ISBN 0-7167-1933-9 , Збл 0694.16001 . Шедевр по алгебре, написанный одним из ведущих авторов.
Глава VI Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1976) [1960], Коммутативная алгебра, Том II , Тексты для выпускников по математике , том. 29, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90171-8 , Збл 0322.13001
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, член парламента (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 3. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг . стр. 10–11. ISBN 9780387987262 .

Внешние ссылки

Данилов, В.И. (2001) [1994], «Оценка» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Дискретная оценка в PlanetMath .
Оценка в PlanetMath .
Вайсштейн, Эрик В. «Оценка» . Математический мир .

[1] Символ ∞ обозначает элемент, не принадлежащий $Γ$ , и не имеет другого значения. Его свойства просто определяются данными аксиомами .

[2] При использовании здесь минимального соглашения оценка скорее интерпретируется как отрицательный порядок ведущего члена порядка, но при использовании максимального соглашения ее можно интерпретировать как порядок.

[3] Опять же, поменяно местами, поскольку используется минимальное соглашение.

[4] Каждая архимедова группа изоморфна подгруппе добавляемых действительных чисел, но существуют неархимедовы упорядоченные группы, такие как аддитивная группа неархимедова упорядоченного поля .

[5] В тропическом полукольце минимум и сложение действительных чисел считаются тропическим сложением и тропическим умножением ; это полукольцевые операции.

[6] Эмиль Артин Геометрическая алгебра , страницы с 47 по 49, через Интернет-архив

[ а ]

[ б ]

[ с ]

[ д ]

[ и ]

[ 1 ]