Искусство взаимности

, Закон взаимности Артина который был установлен Эмилем Артином в серии статей (1924; 1927; 1930), представляет собой общую теорему в теории чисел , которая составляет центральную часть глобальной теории полей классов . Термин « закон взаимности » относится к длинному ряду более конкретных теоретико-числовых утверждений, которые он обобщил, от квадратичного закона взаимности и законов взаимности Эйзенштейна и Куммера до Гильберта формулы произведения для символа нормы . Результат Артина обеспечил частичное решение девятой проблемы Гильберта .

Заявление

Позволять $L/K$ быть расширением Галуа глобальных полей и $C_{L}$ стоим за группу класса idèle из $L$. Одно из утверждений закона взаимности Артина состоит в том, что существует канонический изоморфизм, называемый глобальным отображением символов.

$\theta :C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to \operatorname {Gal} (L/K)^{\text{ab}},$

где ${\text{ab}}$ обозначает абелианизацию группы, а $\operatorname {Gal} (L/K)$ это Галуа группа $L$ над $K$. Карта $\theta$ определяется путем сборки карт, называемых локальным символом Артина , локальной картой взаимности или символом нормированного остатка.

$\theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{\times })\to G^{\text{ab}},$

для разных мест $v$ из $K$. Точнее, $\theta$ дано местными картами $\theta _{v}$ на $v$-компонент класса idèle. Карты $\theta _{v}$ являются изоморфизмами. В этом состоит содержание локального закона взаимности , основной теоремы локальной теории полей классов .

Доказательство

Когомологическое доказательство глобального закона взаимности можно получить, сначала установив, что

$(\operatorname {Gal} (K^{\text{sep}}/K),\varinjlim C_{L})$

представляет собой классовую формацию в смысле Артина и Тейта. Тогда доказывают, что

${\hat {H}}^{0}(\operatorname {Gal} (L/K),C_{L})\simeq {\hat {H}}^{-2}(\operatorname {Gal} (L/K),\mathbb {Z} ),$

где ${\hat {H}}^{i}$ обозначим группы когомологий Тейта . Вычисление групп когомологий устанавливает, что $\theta$ является изоморфизмом.

Значение

Смотрите также: квадратичная взаимность и взаимность Эйзенштейна.

Закон взаимности Артина предполагает описание абелианизации абсолютной группы Галуа глобального поля K , основанное на локально-глобальном принципе Хассе и использовании элементов Фробениуса . Вместе с теоремой существования Такаги она используется для описания абелевых расширений K и в терминах арифметики K для понимания поведения неархимедовых мест в них. Поэтому закон взаимности Артина можно интерпретировать как одну из основных теорем глобальной теории полей классов. Его можно использовать для доказательства L-функций Артина мероморфности теоремы о , а также для доказательства плотности Чеботарёва .

Через два года после публикации своего общего закона взаимности в 1927 году Артин заново открыл трансферный гомоморфизм И. Шура и использовал закон взаимности для перевода проблемы принципализации для идеальных классов полей алгебраических чисел в теоретико-групповую задачу определения ядер трансферов. конечных неабелевых групп.

Конечные расширения глобальных полей

(См. https://math.stackexchange.com/questions/4131855/frobenius-elements#:~:text=A%20Frobenius%20element%20for%20P,some%20%CF%84%E2%88%88KP для объяснение некоторых используемых здесь терминов)

Определение отображения Артина для конечного абелева расширения L / K глобальных полей (например, конечного абелева расширения поля $\mathbb {Q}$) имеет конкретное описание в терминах простых идеалов и элементов Фробениуса .

Если ${\mathfrak {p}}$ является простым числом K , то группы разложения простых чисел ${\mathfrak {P}}$ выше ${\mathfrak {p}}$ равны в Gal( L / K ), так как последняя группа абелева . Если ${\mathfrak {p}}$ неразветвлена L ​​в , то группа разложения $D_{\mathfrak {p}}$ канонически изоморфна группе Галуа расширения полей вычетов ${\mathcal {O}}_{L,{\mathfrak {P}}}/{\mathfrak {P}}$ над ${\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}$. Следовательно, существует канонически определенный элемент Фробениуса в Gal( L / K ), обозначаемый через $\mathrm {Frob} _{\mathfrak {p}}$ или $\left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)$. Если Δ обозначает относительный дискриминант L ( / K , символ Артина (или карта Артина , или глобальная) карта взаимности ) L / K определяется на группе дробных идеалов от простого числа до Δ , $I_{K}^{\Delta }$, по линейности:

${\begin{cases}\left({\frac {L/K}{\cdot }}\right):I_{K}^{\Delta }\longrightarrow \operatorname {Gal} (L/K)\\\prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}\longmapsto \prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}\end{cases}}$

Закон взаимности Артина (или глобальный закон взаимности ) утверждает, что существует модуль c числа K такой, что отображение Артина индуцирует изоморфизм

$I_{K}^{\mathbf {c} }/i(K_{\mathbf {c} ,1})\mathrm {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathbf {c} }){\overset {\sim }{\longrightarrow }}\mathrm {Gal} (L/K)$

где Kc _{, 1} — луч по модулю c , NL _{/ K —} отображение нормы, связанное с L / K, и $I_{L}^{\mathbf {c} }$ — дробные идеалы L, простые с c . Такой модуль c называется определяющим модулем для L / K . Наименьший определяющий модуль называется проводником L / K и обычно обозначается ${\mathfrak {f}}(L/K).$

Примеры

Квадратичные поля

Если $d\neq 1$ — целое число без квадратов , $K=\mathbb {Q} ,$ и $L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$, затем $\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )$ можно отождествить с {±1}. Дискриминант ∆ оператора L по $\mathbb {Q}$ d ≡ 1 ( или 4 d в зависимости от того, d mod 4) или нет. Затем отображение Артина определяется на простых числах p , которые не делят Δ на

$p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)$

где $\left({\frac {\Delta }{p}}\right)$ является символом Кронекера . Точнее, дирижер $L/\mathbb {Q}$ является главным идеалом (Δ) или (Δ)∞ в зависимости от того, является ли Δ положительным или отрицательным, а отображение Артина на идеале, простом до Δ ( n ), задается символом Кронекера $\left({\frac {\Delta }{n}}\right).$ Это показывает, что простое число p расщепляется или инертно в L в зависимости от того, является ли $\left({\frac {\Delta }{p}}\right)$ равно 1 или −1.

Циклотомные поля

Пусть m > 1 — либо нечетное целое число, либо кратное 4, пусть $\zeta _{m}$ — примитивный корень m-й степени из единицы , и пусть $L=\mathbb {Q} (\zeta _{m})$ быть m-м круговым полем . $\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )$ можно отождествить с $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ отправив σ в σ _, заданный правилом

$\sigma (\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a_{\sigma }}.$

Дирижер $L/\mathbb {Q}$ есть ( м )∞, а отображение Артина на идеале, простом до m, ( n ) — это просто n (mod m ) в $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.$

Связь с квадратичной взаимностью

Пусть р и $\ell$ быть различными нечетными простыми числами. Для удобства пусть $\ell ^{*}=(-1)^{\frac {\ell -1}{2}}\ell$ (который всегда равен 1 (мод 4)). Тогда квадратичная взаимность утверждает, что

$\left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=\left({\frac {p}{\ell }}\right).$

Связь между квадратичным законом взаимности и законом взаимности Артина устанавливается путем изучения квадратичного поля $F=\mathbb {Q} ({\sqrt {\ell ^{*}}})$ и круговое поле $L=\mathbb {Q} (\zeta _{\ell })$ следующее. Во-первых, F — подполе L , поэтому, если H = Gal( L / F ) и $G=\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} ),$ затем $\operatorname {Gal} (F/\mathbb {Q} )=G/H.$ Поскольку последняя имеет порядок 2, подгруппа H должна быть группой квадратов в $(\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )^{\times }.$ Основное свойство символа Артина гласит, что для каждого идеала, простого числа до ℓ ( n )

$\left({\frac {F/\mathbb {Q} }{(n)}}\right)=\left({\frac {L/\mathbb {Q} }{(n)}}\right){\pmod {H}}.$

Когда n = p , это показывает, что $\left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=1$ тогда и только тогда, когда p по модулю ℓ находится в H , т.е. тогда и только тогда, когда p является квадратом по модулю ℓ.

Формулировка в терминах L -функций

Альтернативная версия закона взаимности, приводящая к программе Ленглендса , соединяет L-функции Артина , ассоциированные с абелевыми расширениями числового поля , с L-функциями Гекке, ассоциированными с характерами группы классов idèle.

Характер Гекке (или Größencharakter) числового поля K определяется как квазихарактер группы классов идель K . Роберт Ленглендс интерпретировал характеры Гекке как формы редуктивной алгебраической группы GL (1) над кольцом аделей K автоморфные .

Позволять $E/K$ — абелевое расширение Галуа с группой Галуа G . Тогда для любого персонажа $\sigma :G\to \mathbb {C} ^{\times }$ (т.е. одномерное комплексное представление группы G ), существует характер Гекке $\chi$ K что такой,

$L_{E/K}^{\mathrm {Artin} }(\sigma ,s)=L_{K}^{\mathrm {Hecke} }(\chi ,s)$

где левая часть — это L-функция Артина, связанная с расширением с характером σ, а правая часть — это L-функция Хекке, связанная с χ, раздел 7.D.

Формулировка закона взаимности Артина как равенства L -функций позволяет сформулировать обобщение на n -мерные представления, хотя прямое соответствие все еще отсутствует.

Ссылки

• Эмиль Артин (1924) «О новом типе L-ряда», трактаты Математического семинара Гамбургского университета 3: 89–108; Сборник статей , Аддисон Уэсли (1965), 105–124.
• Эмиль Артин (1927) «Доказательство общего закона взаимности», статьи математического семинара Гамбургского университета 5: 353–363; Сборник статей , 131–141.
• Эмиль Артин (1930) «Идеальные классы верхней части тела и общий закон взаимности», статьи математического семинара Гамбургского университета 7: 46–51; Сборник статей , 159–164.
• Фрей, Гюнтер (2004), «Об истории закона взаимности Артина в абелевых расширениях полей алгебраических чисел: как Артин пришел к своему закону взаимности», у Олава Арнфинна Ладала; Рагни Пиене (ред.), Наследие Нильса Хенрика Абеля. Материалы конференции, посвященной двухсотлетию Абеля, Университет Осло, Осло, Норвегия, 3–8 июня 2002 г. , Берлин: Springer-Verlag , стр. 267–294, ISBN  978-3-540-43826-7 , МР   2077576 , Збл   1065.11001
• Януш, Джеральд (1973), Поля алгебраических чисел , Чистая и прикладная математика, том. 55, Академическое издательство, ISBN  0-12-380250-4
• Ланг, Серж (1994), Алгебраическая теория чисел , Тексты для аспирантов по математике , вып. 110 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-94225-4 , МР   1282723
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Springer по математике , Берлин: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-66957-9 , МР   1761696 , Збл   0949.11002
• Милн, Джеймс (2008), Теория полей классов (изд. v4.0) , получено 22 февраля 2010 г.
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Основы математических наук, том. 322, перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag , ISBN  3-540-65399-6 , Збл   0956.11021
• Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля , Тексты для выпускников по математике, том. 67, перевод Гринберга, Марвина Джея , Нью-Йорк, Гейдельберг, Берлин: Springer-Verlag , ISBN  3-540-90424-7 , Збл   0423.12016
• Серр, Жан-Пьер (1967), «VI. Теория полей локальных классов», в Касселсе, JWS ; Фрелих А. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 128–161, Zbl   0153.07403.
• Тейт, Джон (1967), «VII. Теория поля глобального класса», в Касселсе, JWS ; Фрелих А. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 162–203, Zbl   0153.07403.