Теорема Хассе – Арфа

В математике , особенно в локальной теории полей классов , теорема Хассе-Арфа является результатом, касающимся скачков верхней нумерационной фильтрации группы Галуа конечного расширения Галуа . Частный случай, когда поля вычетов конечны, был первоначально доказан Гельмутом Хассе : и общий результат был доказан Джахитом Арфом .

Заявление

Группы более высокого ветвления

Основная статья: Группа ветвления

В теореме рассматриваются высшие группы ветвления с верхними номерами конечного абелева расширения. $L/K$. Итак, предположим $L/K$ является конечным расширением Галуа, и что $v_{K}$ является дискретным нормализованным оценочным значением K , поле вычетов которого имеет характеристику p > 0 и которое допускает уникальное расширение на L , скажем, w . Обозначим через $v_{L}$ соответствующую нормализованную оценку ew L и пусть $\scriptstyle {\mathcal {O}}$ — нормирования L при кольцо $v_{L}$. Позволять $L/K$ имеют группу Галуа G и определяют s -ю группу ветвления $L/K$ для любого вещественного s ≥ −1 по

$G_{s}(L/K)=\{\sigma \in G\,:\,v_{L}(\sigma a-a)\geq s+1{\text{ for all }}a\in {\mathcal {O}}\}.$

Так, например, G ₋₁ это группа Галуа G. — Чтобы перейти к верхней нумерации, необходимо определить функцию ψ _{L / K} , которая, в свою очередь, является обратной функцией η _{L / K,} определяемой формулой

$\eta _{L/K}(s)=\int _{0}^{s}{\frac {dx}{|G_{0}:G_{x}|}}.$

Тогда верхняя нумерация групп ветвления определяется формулой G ^т ( L / K ) знак равно грамм _s ( L / K ) где s знак равно ψ _{L / K} ( т ).

Эти группы более высокого ветвления G ^т ( L / K ) определены для любого вещественного t ≥ −1, но поскольку v _L является дискретным нормированием, группы будут меняться дискретными скачками, а не непрерывно. Таким образом, мы говорим, что t — скачок фильтрации { G ^т ( L / K ) : t ≥ −1}, если G ^т ( Л / К ) ≠ Г ^в ( L / K ) для любого u > t . Теорема Хассе–Арфа говорит нам об арифметической природе этих скачков.

Формулировка теоремы

С учетом вышеизложенного теорема утверждает, что скачки фильтрации { G ^т ( L / K ) : t ≥ −1} — все целые рациональные числа .

Пример

Предположим, что группа G циклическая порядка $p^{n}$, $p$ характеристика остатка и $G(i)$ быть подгруппой $G$ порядка $p^{n-i}$. Теорема утверждает, что существуют целые положительные числа $i_{0},i_{1},...,i_{n-1}$ такой, что

$G_{0}=\cdots =G_{i_{0}}=G=G^{0}=\cdots =G^{i_{0}}$

$G_{i_{0}+1}=\cdots =G_{i_{0}+pi_{1}}=G(1)=G^{i_{0}+1}=\cdots =G^{i_{0}+i_{1}}$

$G_{i_{0}+pi_{1}+1}=\cdots =G_{i_{0}+pi_{1}+p^{2}i_{2}}=G(2)=G^{i_{0}+i_{1}+1}$

...

$G_{i_{0}+pi_{1}+\cdots +p^{n-1}i_{n-1}+1}=1=G^{i_{0}+\cdots +i_{n-1}+1}.$

Неабелевы расширения

Для неабелевых расширений скачки верхней фильтрации не обязательно должны быть целыми. Серр привел пример полностью разветвленного расширения с группой Галуа - группой кватернионов. $Q_{8}$ порядка 8 с

• $G_{0}=Q_{8}$
• $G_{1}=Q_{8}$
• $G_{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$
• $G_{3}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$
• $G_{4}=1$

Тогда верхняя нумерация удовлетворяет

• $G^{n}=Q_{8}$ для $n\leq 1$
• $G^{n}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ для $1<n\leq 3/2$
• $G^{n}=1$ для $3/2<n$

поэтому имеет скачок на нецелом значении $n=3/2$.

Ссылки

• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-65399-8 . МР   1697859 . Збл   0956.11021 .
• Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля , Тексты для выпускников по математике, том. 67, перевод Гринберга, Марвина Джея , Springer-Verlag , ISBN  0-387-90424-7 , МР   0554237 , Збл   0423.12016