Полуситличность

В математике полусмысленность является широко распространенной концепцией в таких дисциплинах, как линейная алгебра , абстрактная алгебра , теория представления , теория категории и алгебраическая геометрия . Полуночный объект -это тот, который можно разложить на сумму простых объектов, а простые объекты-это те, которые не содержат нетривиальных подходящих субъектов. Точные определения этих слов зависят от контекста.

Например, если G является конечной группой , то нетривиальное конечное представление V над полем считается простым , если единственные подразделения, которые он содержит, либо {0}, либо V (они также называются непонижаемыми представлениями ). Теперь теорема Машке говорит, что любое конечное представление конечной группы является прямой суммой простых представлений (при условии, что характеристика базового поля не разделяет порядок группы). Таким образом, в случае конечных групп с этим условием каждое конечное представление является полузовым. Особенно в теории алгебры и представлений «Полумплема» также называется полной сниженностью . Например, теорема Вейла о полной сниженности говорит, что конечное измерное представление полученной группы компактных лжи является полупроизводительным.

( Квадратная матрица другими словами $T:V\to V$ С v v конечный размерный векторный пространство) считается простым , если его единственные инвариантные линейные подпространства под t являются {0} и v . Если поле является алгебраически закрытым (например, комплексные числа ), то единственные простые матрицы имеют размер 1 на 1. - Полуностная матрица это та, которая похожа на прямую сумму простых матриц ; Если поле является алгебраически закрытым, это то же самое, что и диагонализация .

Эти представления о полусимплитности могут быть объединены с использованием языка полуносящих модулей и обобщенных до полусмысленных категорий .

Вступительный пример векторных пространств

Если рассматривать все векторные пространства (на поле , например, реальные числа ), простые векторные пространства - это те, которые не содержат надлежащих нетривиальных подборов. Следовательно, одномерные векторные пространства являются простыми. Таким образом, это основной результат линейной алгебры, что любое конечное векторное пространство является прямой суммой простых векторных пространств; Другими словами, все конечные векторные пространства являются полугодными.

Полуностные матрицы

или Квадратная матрица , эквивалентно, линейный оператор T на конечном пространстве Vector Vesect называется полугодным если каждое инвариантное подпространство , имеет дополнительный T -Invariant. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Это эквивалентно минимальному полиному T , без квадратов.

Для векторных пространств над алгебраически закрытым полем F полусмысленность матрицы эквивалентна диагонализации . ^{[ 1 ]} Это потому, что такой оператор всегда имеет собственное вектор; Если это, кроме того, полугодно, то он имеет комплементарную инвариантную гиперплоскость , которая само по себе имеет собственное вектор, и, следовательно, индукция является диагонализацией. И наоборот, диагонализируемые операторы легко рассматриваются как полугодные, так как инвариантные подпространства являются прямыми суммами собственных пространств, и любое собственное пространство может быть распространено на собственное пространство.

Полуностные модули и кольца

Для фиксированного кольца R нетривиальный r -модуль M кроме 0 и M. прост, если у него нет подмодулей , R прямую -модуль M является полусмертным , если каждый r -submodule m представляет собой M сумму M -модуля ( тривиальный модуль 0 является полузовым, но не прост). Для r -модуля m . M является полугодным, если и только если это прямая сумма простых модулей (тривиальный модуль -пустая прямая сумма) Наконец, r называется полугодным кольцом, если оно полусредственно как r -модуль. Как выясняется, это эквивалентно требованию, чтобы любой конечный сгенерированный r -модуль M был полусмертным. ^{[ 3 ]}

Примеры полуносящих колец включают поля и, в целом, конечные прямые продукты полей. Для конечной группы G Maschke теорема утверждает, что группа кольцо R [ G ] над каким-то кольцом R является полу-темно, если и только тогда, когда R является полуполомы и | G | инвертируется в r . Поскольку теория модулей R [ G ] такая же, как теория представления G | на r -модулях, этот факт является важной дихотомией, которая вызывает теорию модульного представления , то есть случай, когда G | ли Разделяет характеристику R , чтобы быть более сложной, чем случай, когда | G | не разделяет характеристику, в частности, если R является поле характерного нуля. По теореме Артин -Веддерберн , однозначное артианское кольцо r является полузащитным, если и только тогда, когда это есть (изоморфное к) $M_{n_{1}}(D_{1})\times M_{n_{2}}(D_{2})\times \cdots \times M_{n_{r}}(D_{r})$ , где каждый $D_{i}$ это кольцо дивизии и $M_{n}(D)$ это кольцо n - -n матриц с записями в d .

Оператор T является полусмертным в смысле выше, если и только тогда, когда Subalgebra $F[T]\subseteq \operatorname {End} _{F}(V)$ генерируемые силами (т. Е. Итерациями) T внутри кольца эндоморфизмов V, является полусмертным.

Как указывалось выше, теория полугодных колец гораздо проще, чем общие кольца. Например, любая короткая точная последовательность

0\to M'\to M\to M''\to 0

модулей над полугоночным кольцом должны расколоться, т.е. $M\cong M'\oplus M''$ Полем С точки зрения гомологической алгебры , это означает, что нет нетривиальных расширений . Кольцо z целых чисел не является полуполовым: z не является прямой суммой n z и z / n .

Полуностные категории

полусмысленности восстанавливаются концепцией полугодной категории C. Многие из вышеупомянутых представлений о Вкратце, категория представляет собой набор объектов и карт между такими объектами, идея состоит в том, что карты между объектами сохраняют некоторую структуру, присущую этим объектам. Например, R -модулы и R -линейные карты между ними образуют категорию, для любого кольца r .

Абельская категория ^{[ 4 ]} C называется полусмертным, если есть коллекция простых объектов $X_{\alpha }\in C$ , т.е. те, у кого нет субобъекта, кроме нулевого объекта 0 и $X_{\alpha }$ Сам сам, так что любой объект x - это прямая сумма (то есть, копродукт или, эквивалентно, продукт) конечно много простых объектов. следует Из леммы Шура , что эндоморфизм кольцо

\operatorname {End} _{C}(X)=\operatorname {Hom} _{C}(X,X)

В полусмертной категории является продукт матричных колец над кольцами дивизии, т.е., полугодным.

Более того, кольцо R является полуполовым тогда и только тогда, когда категория конечных сгенерированных r -модулей является полупроизводительной.

Примером теории Hodge является категория чистых поляризуемых структур штурма , то есть чистых структур Hodge, оснащенных подходящей положительной определенной билинейной формой . Присутствие этой так называемой поляризации заставляет категорию поляризуемых структур Hodge Lele-Simple. ^{[ 5 ]} категория чистых мотивов гладких k проективных сортов по поле Другим примером из алгебраической геометрии является $\operatorname {Mot} (k)_{\sim }$ модули адекватная связь эквивалентности $\sim$ Полем Как предполагалось Grothendieck и показано Джаннсеном , эта категория является полусмертной тогда и только тогда, когда отношение эквивалентности является численной эквивалентностью . ^{[ 6 ]} Этот факт является концептуальным краеугольным камнем в теории мотивов.

Получистые категории авелевских категорий также возникают из -за комбинации T -структуры и (соответствующей) структуры веса в триангулированной категории . ^{[ 7 ]}

Полуситличность в теории представления

Можно спросить, является ли категория конечных измерных представлений группы или алгебры Lie Liemple, то есть, разлагается ли каждое конечное представление в качестве прямой суммы неприводимых представлений. Ответ, в целом, нет. Например, представление $\mathbb {R}$ дано по

\Pi (x)={\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}

не является прямой суммой неприятностей. ^{[ 8 ]} (Есть именно одно нетривиальное инвариантное подпространство, промежуток первого элемента, $e_{1}$ .) С другой стороны, если $G$ является компактным , тогда каждое конечное представление $\Pi$ из $G$ допускает внутренний продукт, в отношении которого $\Pi$ унитарный, показывая, что $\Pi$ разлагается как сумма неприводимых. ^{[ 9 ]} Точно так же, если ${\mathfrak {g}}$ является сложной полупроизводительной алгеброй, каждое конечное представление ${\mathfrak {g}}$ это сумма неприятностей. ^{[ 10 ]} Первоначальное доказательство этого Вейла использовало Унитарную трюк : все такое ${\mathfrak {g}}$ Является ли комплексификация алгебры Lie of просто подключенной группы компактных Lie Group $K$ Полем С $K$ просто связан, существует соответствие один на один между конечномерными представлениями $K$ и ${\mathfrak {g}}$ . ^{[ 11 ]} Таким образом, применяется просто упомянутый результат о представлениях компактных групп. Также возможно доказать полусмысленность представлений ${\mathfrak {g}}$ непосредственно алгебраическими средствами, как в разделе 10.3 книги Холла.

См. Также: Категория Fusion (которые являются полупростыми).

Смотрите также

Получительная алгебра лей - это алгебра, которая представляет собой прямую сумму простых алгебр Lie.
Полученная алгебраическая группа - это линейная алгебраическая группа, радикальная радикала компонента идентичности тривиальна.
Получатая алгебра
Получительное представление

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^{беременный} Лам (2001), с. 39
^ Хоффман, Кеннет; Кунзе, Рэй (1971). «Полумпутные операторы». Линейная алгебра (2 -е изд.). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. ISBN 9780135367971 Полем MR 0276251 .
^ Lam, Tsit-yuen (2001). Первый курс в некоммутативных кольцах . Выпускники текстов по математике. Тол. 131 (2 изд.). Спрингер. п. 27. ISBN 0-387-95183-0 Полем "(2.5) Теорема и определение"
^ В целом, то же определение полусмысленности работает для псевдо-абельских аддитивных категорий . См., Например, Ив Андре, Бруно Кан: Нильпотентность, Радико -Эт -Структуры Моноидалес. С приложением Питера О'Салливана . Разместить Сем. Мат. Univ. Padova 108 (2002), 107–291. https://arxiv.org/abs/math/0203273 .
^ Петерс, Крис А.М.; Steenbrink, Джозеф HM смешанные структуры Hodge . Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete. 3. Фолге. Серия современных исследований по математике [приводит к математике и смежным областям. 3 -я серия. Серия современных исследований по математике], 52. Springer-Verlag, Berlin, 2008. XIV+470 стр. ISBN 978-3-540-77015-2 ; Смотрите следствие 2.12
^ UWE JANNSEN: Мотивы, численная эквивалентность и полусмысленность , изобретатель. математика 107, 447 ~ 452 (1992)
^ Bondarko, Mikhail V. (2012), «Весовые структуры и« веса »на сердцах T -структур», гомотопия гомотопия Appl. , 14 (1): 239–261, doi : 10.4310/hha.2012.v14.n1.a12 , ZBL 1251.18006
^ Зал 2015 Пример 4.25
^ Холл 2015 Теорема 4.28
^ Холл 2015 Теорема 10.9
^ Зал 2015 Теорема 5.6

Холл, Брайан С. (2015), Группы лей, алгебры и представления: элементарное введение , тексты выпускников по математике, Vol. 222 (2 -е изд.), Springer

Внешние ссылки

[Lam-2001-p39-1] Jump up to: ^а ^{беременный} Лам (2001), с. 39

[2] Хоффман, Кеннет; Кунзе, Рэй (1971). «Полумпутные операторы». Линейная алгебра (2 -е изд.). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. ISBN 9780135367971 Полем MR 0276251 .

[3] Lam, Tsit-yuen (2001). Первый курс в некоммутативных кольцах . Выпускники текстов по математике. Тол. 131 (2 изд.). Спрингер. п. 27. ISBN 0-387-95183-0 Полем "(2.5) Теорема и определение"

[4] В целом, то же определение полусмысленности работает для псевдо-абельских аддитивных категорий . См., Например, Ив Андре, Бруно Кан: Нильпотентность, Радико -Эт -Структуры Моноидалес. С приложением Питера О'Салливана . Разместить Сем. Мат. Univ. Padova 108 (2002), 107–291. https://arxiv.org/abs/math/0203273 .

[5] Петерс, Крис А.М.; Steenbrink, Джозеф HM смешанные структуры Hodge . Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete. 3. Фолге. Серия современных исследований по математике [приводит к математике и смежным областям. 3 -я серия. Серия современных исследований по математике], 52. Springer-Verlag, Berlin, 2008. XIV+470 стр. ISBN 978-3-540-77015-2 ; Смотрите следствие 2.12

[6] UWE JANNSEN: Мотивы, численная эквивалентность и полусмысленность , изобретатель. математика 107, 447 ~ 452 (1992)

[7] Bondarko, Mikhail V. (2012), «Весовые структуры и« веса »на сердцах T -структур», гомотопия гомотопия Appl. , 14 (1): 239–261, doi : 10.4310/hha.2012.v14.n1.a12 , ZBL 1251.18006

[8] Зал 2015 Пример 4.25

[9] Холл 2015 Теорема 4.28

[10] Холл 2015 Теорема 10.9

[11] Зал 2015 Теорема 5.6

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]