p -компактная группа

В математике , в частности в алгебраической топологии , p - компактная группа является гомотопической версией компактной группы Ли , но со всей локальной структурой, сосредоточенной в одном простом числе p . Эта концепция была введена в работе Дуайера и Вилкерсона (1994) , уточняя более ранние представления о конечном пространстве петель по модулю p. p-компактная группа обладает многими лиевскими свойствами, такими как максимальные торы и группы Вейля , которые определяются чисто гомотопически в терминах классифицирующего пространства, но с той важной разницей, что группа Вейля , а не конечная группа отражений над целыми числами , теперь является конечной p -адической группой отражений. Они допускают классификацию в терминах корневых данных, которая отражает классификацию компактных групп Ли, но с заменой целых чисел на p -адические целые числа .

Определение

p , и - компактная группа — это точечное пространство BG , которое является локальным относительно mod p гомологии такое пространство точечных петель G = ΩBG имеет конечные гомологии mod p . Иногда также называют p -компактную группу G , но тогда нужно иметь в виду, что структура пространства петель является частью данных (что затем позволяет восстановить BG ).

p - компактная группа называется связной, если G — связное пространство (вообще, группа компонентов G будет конечной p-группой). Ранг компактной группы p - — это ранг ее максимального тора.

Примеры

p - пополнение в смысле гомотопической теории (классифицирующего пространства) компактной связной группы Ли определяет связную p-компактную группу. (Группа Вейля — это обычная группа Вейля, которая теперь рассматривается как p-адическая группа отражения путем тензорирования решетки ковесов на $\mathbb {Z} _{p}$ .)

В более общем смысле p-пополнение связного конечного пространства петель определяет p-компактную группу. (Здесь Вейль будет $\mathbb {Z} _{p}$ -рефлексивная группа, которая может исходить не из $\mathbb {Z}$ - группа отражения.)

компактная группа ранга 1 Связная 2- является либо 2- пополнением группы SU(2), либо SO(3) . Связная p-компактная группа ранга 1 при p нечетном является « сферой Салливана », т. е. p -пополнением 2n-1 - сферы S. ^2н-1, где n делит p − 1 . Эти сферы имеют уникальную структуру петлевого пространства. Впервые они были построены Деннисом Салливаном в его заметках Массачусетского технологического института в 1970 году. (Группа Вейля — циклическая группа порядка n , действующая на $\mathbb {Z} _{p}$ через корень n-й степени из единицы.)

Обобщая случай ранга 1, любая конечная комплексная группа отражений $W\leq GL_{r}(\mathbb {C} )$ может быть реализована как группа Вейля p -компактной группы для бесконечного числа простых чисел, при этом простые числа определяются тем, будут ли W и сопряжены в $GL_{r}(\mathbb {Z} _{p})$ или нет, с некоторым встраиванием $\mathbb {Z} _{p}$ в $\mathbb {C}$ . Построение p -компактной группы с этой группой Вейля тогда является относительно простым для больших простых чисел, где p не делит порядок W (осуществлено уже в Clark & Ewing (1974) с использованием теоремы Шевалли – Шепарда – Тодда ), но требуются более сложные методы для «модульных простых чисел» p , которые делят порядок W .

Классификация

Классификация p -компактных групп Андерсена и Гродала (2009) утверждает, что существует соответствие 1-1 между связными p -компактными группами с точностью до гомотопической эквивалентности и корневыми данными над p -адическими целыми числами с точностью до изоморфизма. Это аналогично классической классификации связных компактных групп Ли, в которой p -адические целые числа заменяют целые рациональные числа .

Из классификации следует, что любую p -компактную группу можно записать в виде BG = BH × BK , где BH — p -пополнение компактной связной группы Ли, а BK — конечное прямое произведение простых экзотических p-компактных групп, т. е. простых p -компактные группы, группа Вейля которых не является $\mathbb {Z}$ -рефлексивные группы. Простые экзотические p-компактные группы снова находятся в 1-1-соответствии с неприводимыми комплексными группами отражений, поле характеров которых можно вложить в $\mathbb {Q} _{p}$ , но это не так $\mathbb {Q}$ .

Например, когда p=2, это означает, что каждую связную 2-компактную группу можно записать BG = BH × BDI(4) ^с, где BH — 2-пополнение классифицирующего пространства связной компактной группы Ли, а BDI(4) ^с обозначает s копий « 2-компактной группы Дуайера -Вилкерсона» BDI(4) ранга 3, построенной в работе Дуайера и Вилкерсона (1993) с группой Вейля, соответствующей номеру группы 24 в Шепарда - Тодда нумерации комплексных групп отражений . Для p=3 аналогичное утверждение справедливо, но новая экзотическая 3-компактная группа теперь является группой номер 12 в списке Шепарда-Тодда и рангом 2. Для простых чисел больше 3 семейство 2 в списке Шепарда-Тодда будет содержать бесконечное число простых чисел. экзотические p-компактные группы.

Некоторые следствия классификации

Конечным пространством петель называется точечное пространство BG такое, что пространство петель ΩBG гомотопически эквивалентно конечному CW-комплексу. Классификация связных p-компактных групп подразумевает классификацию связных пространств конечных петель : для каждого простого числа, имеющего один и тот же рациональный тип, существует связная p-компактная группа, существует явное двойное смежное пространство возможных связных пространств конечных петель с p -пополнение данных p-компактных групп. Поскольку связные p-компактные группы классифицируются комбинаторно, это также подразумевает классификацию связных пространств петель.

Используя классификацию, можно идентифицировать компактные группы Ли внутри конечных пространств петель, давая гомотопическую характеризацию компактных связных групп Ли : это в точности те конечные пространства петель, которые допускают целочисленный максимальный тор; это была так называемая гипотеза максимального тора . (См. Andersen & Grodal (2009) и Grodal (2010) ).

Классификация также подразумевает классификацию того, какие градуированные кольца многочленов могут встречаться как кольцо когомологий пространства, так называемую проблему Стинрода . (См. Andersen & Grodal (2008) .)

Ссылки

Андерсен, ККС; Гродал, Дж.; Мёллер, Дж.; Вируэль, А. (2008), «Классификация p-компактных групп для p нечетных», Ann. математики. (2) , 167 : 95–210, arXiv : math/0302346 , doi : 10.4007/annals.2008.167.95 , S2CID 119168267
Андерсен, ККС; Гродал, Дж. (2009), «Классификация 2-компактных групп», J. Amer. Математика. Соц. , 22 (2): 387–436, arXiv : math/0611437 , doi : 10.1090/S0894-0347-08-00623-1 , S2CID 17542829
Андерсен, ККС; Гродал, Дж. (2008), «Проблема Стинрода о реализации колец полиномиальных когомологий» , Дж. Тополь. , 1 (4): 747–760, arXiv : 0704.4002 , doi : 10.1112/jtopol/jtn021 , S2CID 1583621
Кларк, А.; Юинг, Дж. (1974), «Реализация алгебр полиномов как колец когомологий» , Pacific J. Math. , 50 (2): 425–434, doi : 10.2140/pjm.1974.50.425
Дуайер, В.Г.; Вилкерсон, CW (1994), "Гомотопические методы неподвижной точки для групп Ли и конечных пространств петель", Ann. математики. (2) , 139 : 395–442, doi : 10.2307/2946585 , JSTOR 2946585.
Дуайер, В.Г.; Вилкерсон, CW (1993), «Новое конечное пространство петель в простом числе 2», J. Amer. Математика. Соц. , 6 : 37–64, doi : 10.1090/S0894-0347-1993-1161306-9
Гродал, Дж. (2010), «Классификация p-компактных групп и теория гомотопических групп», Труды Международного конгресса математиков 2010 , arXiv : 1003.4010
Гомотопические группы Ли: обзор (PDF)
Гомотопические группы Ли и их классификация (PDF)