Стабильный коллектор

В математике , и в частности при изучении динамических систем , идея стабильных и неустойчивых множеств или стабильных и неустойчивых многообразий дает формальное математическое определение общим понятиям, воплощенным в идее аттрактора или отталкивателя . В случае гиперболической динамики соответствующим понятием является понятие гиперболического множества .

Физический пример

Гравитационные приливные силы , действующие на кольца Сатурна, представляют собой простой для визуализации физический пример. Приливные силы сплющивают кольцо в экваториальной плоскости и растягивают его в радиальном направлении. Если представить кольца как частицы песка или гравия («пыль») на орбите вокруг Сатурна, то приливные силы таковы, что любые возмущения, которые толкают частицы выше или ниже экваториальной плоскости, приводят к тому, что эта частица ощущает восстанавливающую силу, толкающую ее обратно в орбиту Сатурна. самолет. Частицы эффективно колеблются в гармонической яме, затухая за счет столкновений. Устойчивое направление перпендикулярно кольцу. Нестабильное направление — вдоль любого радиуса, где силы растягивают и раздвигают частицы. Две частицы, которые начинаются очень близко друг к другу в фазовом пространстве, будут испытывать радиальные силы, заставляющие их расходиться в радиальном направлении. Эти силы имеют положительный показатель Ляпунова ; траектории лежат на гиперболическом многообразии, а движение частиц по сути хаотично , блуждая по кольцам. Центральное многообразие расположено по касательной к кольцам, при этом частицы не испытывают ни сжатия, ни растяжения. Это позволяет гравитационным силам второго порядка доминировать, и поэтому частицы могут увлекаться спутниками или лунными спутниками в кольца, синхронизируясь с ними по фазе. Гравитационные силы лун эффективно обеспечивают регулярно повторяющийся небольшой толчок, каждый раз вокруг орбиты, похожий на толчок ротора , например, в системе фазовой автоподстройки частоты .

Движение частиц в кольце в дискретное время можно аппроксимировать отображением Пуанкаре . Карта эффективно обеспечивает матрицу передачи системы. Собственный вектор, связанный с наибольшим собственным значением матрицы, представляет собой собственный вектор Фробениуса – Перрона , который также является инвариантной мерой , т. е. фактической плотностью частиц в кольце. Все остальные собственные векторы матрицы переноса имеют меньшие собственные значения и соответствуют затухающим модам.

Определение

Ниже приводится определение случая системы, которая является либо повторяющейся функцией , либо имеет динамику дискретного времени. Аналогичные понятия применимы к системам, эволюция которых во времени задается потоком .

Позволять $X$ быть топологическим пространством и $f\colon X\to X$ гомеоморфизм . Если $p$ является фиксированной точкой для $f$ , стабильный набор $p$ определяется

W^{s}(f,p)=\{q\in X:f^{n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}

и нестабильный набор $p$ определяется

W^{u}(f,p)=\{q\in X:f^{-n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}.

Здесь, $f^{-1}$ обозначает обратную функцию $f$ , то есть $f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=id_{X}$ , где $id_{X}$ это карта идентичности на $X$ .

Если $p$ является периодической точкой наименьшего периода $k$ , то это фиксированная точка $f^{k}$ , а также устойчивые и неустойчивые наборы $p$ определяются

W^{s}(f,p)=W^{s}(f^{k},p)

и

W^{u}(f,p)=W^{u}(f^{k},p).

Учитывая район $U$ из $p$ , локальные устойчивые и неустойчивые множества $p$ определяются

W_{\mathrm {loc} }^{s}(f,p,U)=\{q\in U:f^{n}(q)\in U{\mbox{ for each }}n\geq 0\}

и

W_{\mathrm {loc} }^{u}(f,p,U)=W_{\mathrm {loc} }^{s}(f^{-1},p,U).

Если $X$ метризуемо помощью , мы можем определить стабильные и нестабильные множества для любой точки с

W^{s}(f,p)=\{q\in X:d(f^{n}(q),f^{n}(p))\to 0{\mbox{ for }}n\to \infty \}

и

W^{u}(f,p)=W^{s}(f^{-1},p),

где $d$ является показателем для $X$ . Это определение явно совпадает с предыдущим, когда $p$ является периодической точкой.

Предположим теперь, что $X$ — компактное гладкое многообразие и $f$ это ${\mathcal {C}}^{k}$ диффеоморфизм , $k\geq 1$ . Если $p$ является гиперболической периодической точкой, теорема об устойчивом многообразии гарантирует, что для некоторой окрестности $U$ из $p$ , локальные стабильные и нестабильные множества ${\mathcal {C}}^{k}$ встроенные диски, касательные пространства которых при $p$ являются $E^{s}$ и $E^{u}$ (стабильные и неустойчивые пространства $Df(p)$ ), соответственно; более того, они непрерывно изменяются (в определенном смысле) в окрестности $f$ в ${\mathcal {C}}^{k}$ топология $\mathrm {Diff} ^{k}(X)$ (пространство всего ${\mathcal {C}}^{k}$ диффеоморфизмы из $X$ самому себе). Наконец, стабильные и нестабильные множества: ${\mathcal {C}}^{k}$ инъекционно погруженные диски. Вот почему их обычно называют стабильными и неустойчивыми многообразиями . Этот результат справедлив и для непериодических точек, если они лежат в некотором гиперболическом множестве (теорема об устойчивом многообразии для гиперболических множеств).

Примечание

Если $X$ является (конечномерным) векторным пространством и $f$ изоморфизм, его стабильное и нестабильное множества называются соответственно стабильным и нестабильным пространством.

См. также

Ссылки

Авраам, Ральф; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Чтение Массы: Бенджамин/Каммингс. ISBN 0-8053-0102-Х .
Ирвин, Майкл С. (2001). «Стабильные многообразия» . Гладкие динамические системы . Всемирная научная. стр. 143–160. ISBN 981-02-4599-8 .
Шритаран, СС (1990). Теория инвариантных многообразий гидродинамического перехода . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-582-06781-2 .

В эту статью включены материалы из сборника Stable на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .