Целочисленная решетка

Приближения правильных пентаграмм вершинами на квадратной решетке с указанными координатами

Рациональные аппроксиманты иррациональных значений могут быть отображены в точки , лежащие рядом с линиями, имеющими градиенты, соответствующие значениям.

В математике n - мерная целочисленная решетка (или кубическая решетка ), обозначаемая $\mathbb {Z} ^{n}$, – решетка в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ точки решетки которого являются n -наборами целых чисел . Двумерную целочисленную решетку также называют квадратной решеткой или решетчатой ​​решеткой. $\mathbb {Z} ^{n}$ является простейшим примером корневой решетки . Целочисленная решетка является нечетной унимодулярной решеткой .

Группа автоморфизмов

Группа автоморфизмов (или группа сравнений ) целочисленной решетки состоит из всех перестановок и изменений знака координат и имеет порядок 2. ^н  н !. Как группа матриц она представляет собой набор всех n × n матриц перестановок со знаком размера . Эта группа изоморфна полупрямому произведению

$(\mathbb {Z} _{2})^{n}\rtimes S_{n}$

где симметрическая группа Sn _{действует} на ( Z ₂ ) ^н путем перестановки (это классический пример сплетения ) .

Для квадратной решетки это группа квадрата , или группа диэдра 8-го порядка; для трехмерной кубической решетки мы получаем группу куба , или октаэдрическую группу , порядка 48.

Диофантова геометрия

При изучении диофантовой геометрии квадратную решетку точек с целочисленными координатами часто называют диофантовой плоскостью . С математической точки зрения диофантова плоскость представляет собой декартово произведение. $\scriptstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ кольца чисел всех целых $\scriptstyle \mathbb {Z}$. Изучение диофантовых фигур фокусируется на выборе узлов на диофантовой плоскости так, чтобы все попарные расстояния были целыми числами.

Грубая геометрия

В грубой геометрии целочисленная решетка грубо эквивалентна евклидову пространству .

Теорема Пика

я = 7 , б = 8 , А = я + б / 2 − 1 = 10

Основная статья: Теорема Пика

Теорема Пика , впервые описанная Георгом Александром Пиком в 1899 году, дает формулу для определения площади , простого многоугольника все вершины которого лежат на двумерной целочисленной решетке, в терминах количества целых точек внутри него и на его границе.

Позволять $i$ — количество целых точек внутри многоугольника, и пусть $b$ — количество целых точек на его границе (включая как вершины, так и точки вдоль сторон). Тогда площадь $A$ этого многоугольника:

$$A=i+{\frac {b}{2}}-1.$$

Показанный пример имеет $i=7$ внутренние точки и $b=8$ граничных точек, поэтому его площадь равна $A=7+{\tfrac {8}{2}}-1=10$ квадратные единицы.

См. также

• Регулярная сетка

Дальнейшее чтение

• Олдс, CD ; Лакс, Аннели ; Давидофф, Джулиана (2000). Геометрия чисел . Новая математическая библиотека. Том. 41. Математическая ассоциация Америки. ISBN  0-88385-643-3 .