Простые теоремы алгебры множеств

Простые теоремы алгебры множеств — это некоторые элементарные свойства алгебры объединения ( (инфиксный оператор: ∩ ) инфиксный оператор : ∪), пересечения и дополнения множеств ( постфикс ') множеств.

Эти свойства предполагают существование как минимум двух множеств: заданного универсального множества , обозначаемого U , и пустого множества , обозначаемого {}. Алгебра множеств описывает свойства всех возможных подмножеств U P , называемых степенным множеством U и обозначаемых ( U ) . P ( U ) считается замкнутым относительно объединения, пересечения и дополнения множеств. Алгебра множеств — это интерпретация или модель булевой алгебры с объединением, пересечением, дополнением множества, U и {}, интерпретирующими булевую сумму , произведение , дополнение , 1 и 0 соответственно.

Приведенные ниже свойства сформулированы без доказательства , но могут быть выведены из небольшого числа свойств, принятых в качестве аксиом . Символ «*» следует за интерпретацией алгебры множеств классического набора постулатов Хантингтона (1904) для булевой алгебры . Эти свойства можно визуализировать с помощью диаграмм Венна . Они также следуют из того, что P ( U ) — булева решетка . Свойства, за которыми стоит буква «L», интерпретируют аксиомы решетки .

Курсы элементарной дискретной математики иногда оставляют у студентов впечатление, что предметом теории множеств являются не более чем эти свойства. Дополнительные сведения об элементарной теории множеств см. в разделах «множества » , «теория множеств» , «алгебра множеств » и «наивная теория множеств» . Для введения в теорию множеств на более высоком уровне см. также аксиоматическую теорию множеств , кардинальное число , порядковое число , теорему Кантора–Бернштейна–Шредера , диагональный аргумент Кантора , первое доказательство несчетности Кантора , теорему Кантора , теорему о хорошем порядке . , аксиому выбора и лемма Цорна .

Приведенные ниже свойства включают определенную бинарную операцию относительного дополнения , обозначаемую инфиксным оператором «\». «Относительное дополнение A к B », обозначаемое B \ A , определяется как ( A ∪ B ′ ) ′ и как A ′ ∩ B .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 . Для любого U и любого подмножества A из U :

{} ′ = В ;
' U' ′ = {};
А \ {} = А ;
{} \ А = {};
А ∩ {} = {};
А ∪ {} знак равно А ; *
А ∩ U знак равно А ; *
А ∪ U знак равно U ;
А ′ ∪ А знак равно U ; *
А ′ ∩ А = {}; *
А \ А = {};
U \ А знак равно А ′ ;
А \ У = {};
А ′ ′ знак равно А ;
А ∩ А знак равно А ;
А ∪ А знак равно А .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2 . Для любых наборов A , B и C :

А ∩ В знак равно В ∩ А ; * Л
А ∪ B знак равно B ∪ А ; * Л
А ∪ ( А ∩ B ) знак равно А ; л
А ∩ ( А ∪ B ) знак равно А ; л
( А ∪ B ) \ А знак равно B \ А ;
A ∩ B = {} тогда и только тогда, когда B \ A = B ;
( А ′ ∪ B ) ′ ∪ ( А ′ ∪ B ′ ) ′ знак равно А ;
( А ∩ B ) ∩ C знак равно А ∩ ( B ∩ C ); л
( А ∪ B ) ∪ C знак равно А ∪ ( B ∪ C ); л
C \ ( А ∩ B ) знак равно ( C \ A ) ∪ ( C \ B );
C \ ( А ∪ B ) знак равно ( C \ A ) ∩ ( C \ B );
C \ ( B \ А ) знак равно ( C \ B ) ∪( C ∩ А );
( B \ А ) ∩ C знак равно ( B ∩ C ) \ А знак равно B ∩ ( C \ А );
( B \ А ) ∪ C знак равно ( B ∪ C ) \ ( А \ C ).

Распределительные законы :

А ∩ ( B ∪ C ) знак равно ( А ∩ B ) ∪ ( А ∩ C ); *
А ∪ ( B ∩ C ) знак равно ( А ∪ B ) ∩ ( А ∪ C ). *

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3 . Некоторые свойства ⊆:

A ⊆ B тогда и только тогда, когда A ∩ B = A ;
A ⊆ B тогда и только тогда, когда A ∪ B = B ;
A ⊆ B тогда и только тогда, когда B ′ ⊆ A ′ ;
A ⊆ B тогда и только тогда, когда A \ B = {};
А ∩ B ⊆ А ⊆ А ∪ B .

См. также [ править ]

Список тождеств и отношений множеств . Равенства для комбинаций множеств.

Ссылки [ править ]

Эдвард Хантингтон (1904) «Наборы независимых постулатов алгебры логики», Труды Американского математического общества 5: 288–309.
Уайтситт, Дж. Э. (1961) Булева алгебра и ее приложения . Аддисон-Уэсли. Перепечатка Дувра, 1999 г.