Экспонента Карлица

В математике экспонента Карлица является характеристическим аналогом обычной показательной функции, изучаемой в реальном и комплексном анализе . Он используется в определении модуля Карлитца — примера модуля Дринфельда .

Определение

Мы работаем над кольцом полиномов F _q [ T ] одной переменной над конечным полем F _q с q элементами. Пополнение ( C _∞ алгебраического замыкания поля F _q ( T ⁻¹ )) формального ряда Лорана в T ⁻¹ будет полезно. Это полное и алгебраически замкнутое поле.

Сначала нам нужны аналоги факториалов , которые фигурируют в определении обычной показательной функции. Для i > 0 определим

$[i]:=T^{q^{i}}-T,\,$

$D_{i}:=\prod _{1\leq j\leq i}[j]^{q^{i-j}}$

и D ₀ := 1. Заметим, что обычный факториал здесь неуместен, поскольку n ! исчезает в F _q [ T ], если не меньше характеристики F n _q [ T ].

Используя это, мы определяем экспоненту Карлица e _C : C _∞ → C _∞ сходящейся суммой

$e_{C}(x):=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{q^{i}}}{D_{i}}}.$

Связь с модулем Carlitz

Экспонента Карлица удовлетворяет функциональному уравнению

$e_{C}(Tx)=Te_{C}(x)+\left(e_{C}(x)\right)^{q}=(T+\tau )e_{C}(x),\,$

где мы можем посмотреть $\tau$ как сила $q$ карта или как элемент кольца $F_{q}(T)\{\tau \}$ многочленов некоммутативных . По универсальному свойству колец полиномов от одной переменной это продолжается до гомоморфизма колец ψ : F _q [ T ]→ C _∞ { τ ]-модуль Дринфельда }, определяющего F _q [ T над C _∞ { τ }. Он называется модулем Карлитца.

Ссылки

• Госс, Д. (1996). Основные структуры арифметики функциональных полей . Результаты по математике и смежным областям (3)]. Том 35. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-61087-8 . МР   1423131 .
• Тхакур, Динеш С. (2004). Арифметика функционального поля . Нью-Джерси: World Scientific Publishing . ISBN  978-981-238-839-1 . МР   2091265 .