Свойство закрытого графа

В математике , особенно в функциональном анализе и топологии , замкнутый график является свойством функций . ^[1]^[2] Функция $f : X \to Y$ между топологическими пространствами имеет замкнутый график , если ее график является замкнутым подмножеством пространства произведения $X \times Y$ . Связанное свойство — открытый граф . ^[3]

Это свойство изучается потому, что существует множество теорем, известных как теоремы о замкнутом графике , дающих условия, при которых функция с замкнутым графиком обязательно является непрерывной . Одним из особенно известных классов теорем о замкнутых графах являются теоремы о замкнутых графах в функциональном анализе .

Определения

Графики и многозначные функции

Определение и обозначения : Графиком функции называется

f : X \to Y

множество

Гр ж := { (Икс, ж (Икс)) : Икс \in Икс} знак равно { (Икс, y) \in Икс \times Y : y знак равно ж (Икс) }

.

Обозначение : Если

Y

— набор, то степеней набор

Y

, который представляет собой набор всех подмножеств

Y

, обозначается

2. И

или

𝒫(Y)

.

Определение : Если

X

и

Y

— множества, то многозначная функция в

Y

на

X

(также называемая

Y

-значной мультифункцией на

X

) — это функция

F : X \to 2. И

с доменом

X,

который оценивается в

2 И

. То есть

F

— функция на

X

такая, что для

\in X F

x

(x) является

подмножеством

Y.

каждого

Некоторые авторы называют функцию $F : X \to 2 И$ многозначная функция только в том случае, если она удовлетворяет дополнительному требованию, что $F (x)$ не пуста для каждого $x \in X$ ; данная статья этого не требует.

Определение и обозначения : Если

F : X \to 2 И

является многозначной функцией в множестве

,

то график F

Y

является множеством

Гр F знак равно { (Икс, y) \in Икс \times Y : y \in F (Икс) }

.

Определение : Функцию

f : X \to Y

можно канонически отождествить с многозначной функцией

F : X \to 2. И

определяется как

F (x) := {f (x) }

для каждого

x \in X

, где

F

называется канонической многозначной функцией, индуцированной (или связанной с)

f

.

Обратите внимание, что в этом случае $Gr f = Gr F$ .

Открытый и закрытый график

Мы даем более общее определение того, когда $Y$ -значная функция или многозначная функция, определенная на подмножестве S $множества$ X $,$ имеет замкнутый график, поскольку эта общность необходима при изучении замкнутых линейных операторов , которые определены на плотном подпространстве $S$ множества X. топологическое векторное пространство $X$ (и не обязательно определенное на всем $X$ ). изучаются функции с замкнутыми графиками Этот частный случай является одной из основных причин, почему в функциональном анализе .

Предположения : Везде

X

и

Y

— топологические пространства ,

S \subseteq X

, а

f

—

Y

-значная функция или многозначная функция на

S

(т. е.

f : S \to Y

или

f : S \to 2). И

).

X \times Y

всегда будет иметь топологию произведения .

Определение : ^[4] Мы говорим, что

f

имеет замкнутый граф (соответственно открытый граф , секвенциально замкнутый граф , секвенциально открытый граф ) в $X \times Y$ , если график

f

,

Gr f

, является замкнутым (соответственно открытым , секвенциально замкнутым , последовательно открытым ) подмножеством. X

\times \times Y

когда

X, Y

наделен топологией произведения . Если

S = ​​X

или если

X

ясно из контекста, то мы можем опустить запись «in

X \times Y

».

Наблюдение : если

g : S \to Y

— функция, а

G

— каноническая многозначная функция, индуцированная

g

(т. е.

G : S \to 2 И

определяется формулой

G (s) := {g (s) }

для каждого

s \in S

), то, поскольку

Gr g = Gr G

,

g

имеет замкнутый (соответственно секвенциально замкнутый, открытый, секвенциально открытый) граф в

X \times Y

, если и только если то же самое верно и

G.

для

Закрывающиеся карты и замыкания

Определение : Мы говорим, что функция (соответственно многозначная функция)

f

замыкается в $X \times Y$ , если существует подмножество

D \subseteq X,

содержащее

S

, и функция (соответственно многозначная функция)

F : D \to Y

, график которой равно замыканию множества

Gr f

в

X \times Y

. Такой

F

называется замыканием $f$ в $X \times Y$ , обозначается

f

и обязательно расширяет

f

.

Дополнительные предположения для линейных карт : если, кроме того, $S$ , $X$ и $Y$ являются топологическими векторными пространствами , а $f : S \to Y$ — линейным отображением, то для того, чтобы назвать $f$ замыкаемым, мы также требуем, чтобы множество $D$ было векторным подпространством $X$ и замыкание $f$ — линейное отображение.

Определение : Если

f

замыкаемо на

S

, то ядром или существенной областью f

является

подмножество

D \subseteq S

такое, что замыкание в

X \times Y

графика ограничения

f | D : D \to Y

от

f

до

D

равно замыканию графика

f

в

X \times Y

(т. е. замыкание

Gr f

в

X \times Y

равно замыканию

Gr f | D

в

X \times Y

).

Закрытые отображения и замкнутые линейные операторы

Определение и обозначения : Когда мы пишем

f : D (f) \subseteq X \to Y

, мы имеем в виду, что

—

Y

-

значная функция с областью определения

D (f)

, где

D (f) \subseteq X.

f Если мы говорим, что

f : D (f) \subseteq X \to Y

замкнуто ) (соответственно секвенциально замкнуто ) или имеет замкнутый график (соответственно имеет секвенциально замкнутый график ), то мы имеем в виду, что график

f

замкнут (соответственно последовательно замкнуто замкнуто) в

X \times Y

(а не в

D (f)\times Y

).

При чтении литературы по функциональному анализу , если $f : X \to Y$ является линейным отображением между топологическими векторными пространствами (TVS) (например, банаховыми пространствами ), то « $f$ замкнуто» почти всегда будет означать следующее:

Определение : Отображение

f : X \to Y

называется замкнутым если его график замкнут в

X \times Y.

, В частности, термин « замкнутый линейный оператор » почти наверняка будет относиться к линейному отображению , график которого замкнут.

В противном случае, особенно в литературе о топологии множества точек , « $f$ закрыто» вместо этого может означать следующее:

Определение : Отображение

f : X \to Y

между топологическими пространствами называется замкнутым отображением если образ замкнутого подмножества

X

является замкнутым подмножеством

Y.

,

Эти два определения «замкнутой карты» не эквивалентны. Если это неясно, читателю рекомендуется проверить, как «закрытая карта» определяется в литературе, которую он читает.

Характеристики

Пусть далее $X$ и $Y$ — топологические пространства.

Функция с замкнутым графиком

Если $f : X \to Y$ — функция, то следующие условия эквивалентны:

$f$ имеет замкнутый график (в $X \times Y$ );
(определение) график $f$ , $Gr f$ , является замкнутым подмножеством $X \times Y$ ;
для каждого x ∈ X и сети x _• = ( x _i ) _{i ∈ I} в X такой, что x _• → x в X , если y ∈ Y таков, что сеть f ( x _• ) := ( f ( x _i ) ) _{я ∈ I} → y в Y , тогда y знак равно ж ( Икс ) ; ^[4]
- Сравните это с определением непрерывности в терминах сетей, которое, напомним, следующее: для каждого $x \in X$ и сети $x • = (x i) i \in I$ в $X$ таких, что $x • \to x$ в $X$ , $f (x •) \to ж (Икс)$ в $Y$ .
- Таким образом, чтобы показать, что функция $f$ имеет замкнутый график, мы можем предположить, что $f (x •)$ сходится в $Y$ к некоторому $y \in Y$ (а затем показать, что $y = f (x)$ ), а чтобы показать, что $f$ непрерывна, мы не можем предположим, что $f (x •)$ сходится в $Y$ к некоторому $y \in Y$ , и вместо этого мы должны доказать, что это верно (и, более того, мы должны более конкретно доказать, что $f (x •)$ сходится к $f (x)$ в $Y$ ).

и если $Y$ — хаусдорфов компакт , то мы можем добавить к этому списку:

$f$ непрерывен; ^[5]

и если и $X,$ и $Y$ являются пространствами с первым счетом , мы можем добавить к этому списку:

$f$ имеет секвенциально замкнутый граф (в $X \times Y$ );

Функция с последовательно замкнутым графиком

Если $f : X \to Y$ — функция, то следующие условия эквивалентны:

$f$ имеет секвенциально замкнутый граф (в $X \times Y$ );
(определение) график $f$ является секвенциально замкнутым подмножеством $X \times Y$ ;
для каждого $x \in X$ и последовательности $x • = (x i) \infty i =1$ в $X$ такой, что $x • \to x$ в $X$ , если $y \in Y$ таков, что сеть $f (x •) := (f (x i)) \infty я = 1 \to y$ в $Y$ , тогда $y знак равно ж (Икс)$ ; ^[4]

многозначная функция с замкнутым графиком

Если $F : X \to 2 И$ является многозначной функцией между топологическими пространствами $X$ и $Y$ , то следующие условия эквивалентны:

$F$ имеет замкнутый граф (в $X \times Y$ );
(определение) график $F$ является замкнутым подмножеством $X \times Y$ ;

и если $Y$ компактен , и хаусдорфов то мы можем добавить к этому списку:

$F$ полунепрерывно сверху и $F (x)$ — замкнутое подмножество $Y$ для всех $x \in X$ ; ^[6]

и если и $X$ , и $Y$ являются метризуемыми пространствами, мы можем добавить к этому списку:

для всех $x \in X$ , $y \in Y$ и последовательностей $x • = (x i) \infty я = 1$ в $X$ и $y • знак равно (y я) \infty i =1$ в $Y$ такой, что $x • \to x$ в $X$ и $y • \to y$ в $Y$ , и $y i \in F (x i)$ для всех $i$ , тогда $y \in F (x)$ . ^{[ нужна ссылка ]}

Характеристики замкнутых графов (общая топология)

Всюду пусть $X$ и $Y$ быть топологическими пространствами и $X\times Y$ наделен топологией продукта.

Функция с замкнутым графиком

Если $f:X\to Y$ является функцией, то говорят, что она имеет замкнутый график , если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

(Определение): График $\operatorname {graph} f$ из $f$ является закрытым подмножеством $X\times Y.$
Для каждого $x\in X$ $x\in X$ и сеть $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ в $X$ $X$ такой, что $x_{\bullet }\to x$ $x_{\bullet }\to x$ в $X,$ $X,$ если $y\in Y$ $y\in Y$ такова, что сеть $f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to y$ ${\ displaystyle f \ left (x_ {\ Bullet } \ right) = \ left (f \ left (x_ {i} \ right) \ right) _ {i \ in I} \ to y}$ в $Y$ $Y$ затем $y=f(x).$ ${\ displaystyle y = f (x).}$ ^[4]
- Сравните это с определением непрерывности в терминах сетей, которое напоминает следующее: для каждого $x\in X$ и сеть $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ в $X$ такой, что $x_{\bullet }\to x$ в $X,$ $f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)$ в $Y.$
- Таким образом, чтобы показать, что функция $f$ имеет замкнутый граф, можно предположить, что $f\left(x_{\bullet }\right)$ сходится в $Y$ некоторым $y\in Y$ (а затем покажите, что $y=f(x)$ ), а чтобы показать, что $f$ является непрерывным, нельзя предполагать , что $f\left(x_{\bullet }\right)$ сходится в $Y$ некоторым $y\in Y$ а вместо этого надо доказать, что это правда (и причём более конкретно надо доказать, что $f\left(x_{\bullet }\right)$ сходится к $f(x)$ в $Y$ ).

и если $Y$ является хаусдорфовым компактом , то мы можем добавить к этому списку:

$f$ является непрерывным. ^[5]

и если оба $X$ и $Y$ являются пространствами с первым счетом , то мы можем добавить к этому списку:

$f$ имеет последовательно замкнутый граф в $X\times Y.$

Функция с последовательно замкнутым графиком

Если $f:X\to Y$ является функцией, то следующие условия эквивалентны:

$f$ имеет последовательно замкнутый граф в $X\times Y.$
Определение: график $f$ является последовательно замкнутым подмножеством $X\times Y.$
Для каждого $x\in X$ и последовательность $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $X$ такой, что $x_{\bullet }\to x$ в $X,$ если $y\in Y$ такова, что сеть $f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to y$ в $Y$ затем $y=f(x).$ ^[4]

Достаточные условия замкнутого графа

Если f : X → Y — непрерывная функция между топологическими пространствами и если Y хаусдорфова , то f имеет замкнутый график в X × Y . ^[4]
- Обратите внимание: если $f : X \to Y$ может $— функция между топологическими пространствами Хаусдорфа, то f$ иметь замкнутый график в $X \times Y$ , но не быть непрерывным.

Теоремы о замкнутом графе: когда замкнутый граф подразумевает непрерывность

Условия, гарантирующие, что функция с замкнутым графиком обязательно непрерывна, называются теоремами о замкнутом графике . Теоремы о замкнутом графе представляют особый интерес в функциональном анализе , где существует множество теорем, определяющих условия, при которых линейное отображение с замкнутым графом обязательно является непрерывным.

Если $f : X \to Y$ — функция между топологическими пространствами, график которой замкнут в $X \times Y$ , и если $Y$ — компакт , то $f : X \to Y$ непрерывна. ^[4]

Примеры

Примеры функционального анализа см. в разделе « Непрерывный линейный оператор» .

Непрерывные, но не закрытые карты

Пусть $X$ обозначает действительные числа $ℝ$ с обычной евклидовой топологией , а $Y$ обозначает $ℝ$ с недискретной топологией (при этом обратите внимание, что $Y$ является не Хаусдорфовым и что каждая функция со значением в $Y$ непрерывна). Пусть $f : X \to Y$ определяется как $f (0) = 1$ и $f (x) = 0$ для всех $x \neq 0$ . Тогда $f : X \to Y$ непрерывна, но ее график не замкнут в $X \times Y$ . ^[4]
Если $X$ — любое пространство, то тождественное отображение $Id : X \to X$ непрерывно, но его график, который представляет собой диагональ $Gr Id := { (x, x) : x \in X}$ , замкнут в $X \times X$ тогда и только тогда, когда $X$ — Хаусдорф. ^[7] В частности, если $X$ не хаусдорфово, то $Id : X \to X$ непрерывно, но не замкнуто.
Если $f : X \to Y$ — непрерывное отображение, график которого не замкнут, то $Y$ является не хаусдорфовым пространством.

Закрытые, но не непрерывные карты

Пусть $X$ и $Y$ обозначают действительные числа $ℝ$ с обычной евклидовой топологией . Пусть $f : X \to Y$ определяется как $f (0) = 0$ и $f ( x ) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1 / x ⁠$ для всех $x \neq 0$ . Тогда $f : X \to Y$ имеет замкнутый график (и секвенциально замкнутый граф) в $X \times Y = ℝ 2$ но он не непрерывен (поскольку имеет разрыв в точке $x = 0$ ). ^[4]
Пусть $X$ обозначает действительные числа $ℝ$ с обычной евклидовой топологией , пусть $Y$ обозначает $ℝ$ с дискретной топологией и пусть $Id : X \to Y$ — тождественное отображение (т. е. $Id(x) := x$ для каждого $x \in X$ ). Тогда $Id : X \to Y$ — линейное отображение , график которого замкнут в $X \times Y$ , но явно не непрерывен (поскольку одноэлементные множества открыты в $Y$ , но не в $X$ ). ^[4]
Пусть $(X, 𝜏)$ — хаусдорфова ТВС, и пусть $𝜐$ — векторная топология на $X$ , которая строго тоньше, чем $𝜏$ . Тогда тождественное отображение $Id: (X, 𝜏) \to (X, 𝜐)$ является замкнутым разрывным линейным оператором. ^[8]

См. также

Почти открытая линейная карта — карта, удовлетворяющая условию, аналогичному условию открытой карты.
Теорема о замкнутом графе - Теорема о непрерывности графов
Теорема о замкнутом графе (функциональный анализ) - Теоремы, связывающие непрерывность с замыканием графов.
Теорема Какутани о неподвижной точке - Теорема о неподвижной точке для многозначных функций
Теорема об открытом отображении (функциональный анализ) - условие открытости линейного оператора.
Перепончатое пространство - пространство, в котором выполняются теоремы об открытом отображении и закрытом графе.

Ссылки

^ Бэггс, Иван (1974). «Функции с замкнутым графиком» . Труды Американского математического общества . 43 (2): 439–442. дои : 10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8 . ISSN 0002-9939 .
^ Урсеску, Корнелиу (1975). «Мультифункции с выпуклым замкнутым графиком» . Чехословацкий математический журнал . 25 (3): 438–441. дои : 10.21136/CMJ.1975.101337 . ISSN 0011-4642 .
^ Шафер, Уэйн; Зонненшайн, Хьюго (1 декабря 1975 г.). «Равновесие в абстрактной экономике без упорядоченных предпочтений» (PDF) . Журнал математической экономики . 2 (3): 345–348. дои : 10.1016/0304-4068(75)90002-6 . hdl : 10419/220454 . ISSN 0304-4068 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 459–483.
^ Jump up to: ^а ^б Мункрес 2000 , с. 171.
^ Алипрантис, Чарламбос; Ким С. Бордер (1999). «Глава 17». Бесконечный размерный анализ: Путеводитель для автостопщика (3-е изд.). Спрингер.
^ Рудин с.50
^ Наричи и Бекенштейн 2011 , с. 480.

Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2 . МР 0248498 . OCLC 840293704 .
Кригль, Андреас ; Михор, Питер В. (1997). Удобная настройка глобального анализа (PDF) . Математические обзоры и монографии. Том. 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0780-4 . OCLC 37141279 .
Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9 . OCLC 42683260 .
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7 . OCLC 589250 .
Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4 . ОСЛК 24909067 .
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .

[1] Бэггс, Иван (1974). «Функции с замкнутым графиком» . Труды Американского математического общества . 43 (2): 439–442. дои : 10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8 . ISSN 0002-9939 .

[2] Урсеску, Корнелиу (1975). «Мультифункции с выпуклым замкнутым графиком» . Чехословацкий математический журнал . 25 (3): 438–441. дои : 10.21136/CMJ.1975.101337 . ISSN 0011-4642 .

[:2-3] Шафер, Уэйн; Зонненшайн, Хьюго (1 декабря 1975 г.). «Равновесие в абстрактной экономике без упорядоченных предпочтений» (PDF) . Журнал математической экономики . 2 (3): 345–348. дои : 10.1016/0304-4068(75)90002-6 . hdl : 10419/220454 . ISSN 0304-4068 .

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011459–483-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 459–483.

[FOOTNOTEMunkres2000171-5] Jump up to: ^а ^б Мункрес 2000 , с. 171.

[aliprantis-6] Алипрантис, Чарламбос; Ким С. Бордер (1999). «Глава 17». Бесконечный размерный анализ: Путеводитель для автостопщика (3-е изд.). Спрингер.

[7] Рудин с.50

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011480-8] Наричи и Бекенштейн 2011 , с. 480.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]