Повторный интеграл

В исчислении многих переменных повторный интеграл — это результат применения интегралов к функции более чем одной переменной (например, $f(x,y)$ или $f(x,y,z)$) таким образом, что каждый из интегралов рассматривает некоторые переменные как заданные константы . Например, функция $f(x,y)$, если $y$ считается заданным параметром , может быть проинтегрирован по $x$, ${\textstyle \int f(x,y)\,dx}$. Результатом является функция $y$ и поэтому можно рассмотреть его интеграл. Если это сделано, результатом будет повторный интеграл

$\int \left(\int f(x,y)\,dx\right)\,dy.$

Ключевым моментом в понятии повторных интегралов является то, что они в принципе отличаются от кратных интегралов.

$\iint f(x,y)\,dx\,dy.$

В общем, хотя эти два понятия могут быть разными, теорема Фубини утверждает, что при определенных условиях они эквивалентны.

Альтернативное обозначение повторных интегралов

$\int dy\int dx\,f(x,y)$

также используется.

В обозначениях, в которых используются круглые скобки, повторяющиеся интегралы вычисляются в соответствии с операционным порядком, указанным в скобках, начиная с самого внутреннего интеграла снаружи. В альтернативных обозначениях записывая ${\textstyle \int dy\,\int dx\,f(x,y)}$, сначала вычисляется самый внутренний подынтегральный выражение.

Примеры

Простое вычисление

Для повторного интеграла

$\int \left(\int (x+y)\,dx\right)\,dy$

интеграл

$\int (x+y)\,dx={\frac {x^{2}}{2}}+yx$

сначала вычисляется, а затем результат используется для вычисления интеграла по y .

$\int \left({\frac {x^{2}}{2}}+yx\right)\,dy={\frac {yx^{2}}{2}}+{\frac {xy^{2}}{2}}$

В этом примере опущены константы интегрирования. После первого интегрирования по x нам строго необходимо ввести «постоянную» функцию y . То есть, если бы мы продифференцировали эту функцию по x , любые члены, содержащие только y , исчезли бы, оставив исходное подынтегральное выражение. Аналогично для второго интеграла мы бы ввели «постоянную» функцию от x , поскольку мы интегрировали по y . Таким образом, неопределенное интегрирование не имеет особого смысла для функций нескольких переменных.

Порядок важен

Порядок вычисления интегралов важен для повторяющихся интегралов, особенно когда подынтегральная функция не является непрерывной в области интегрирования. Примеры, в которых разные порядки приводят к разным результатам, обычно относятся к сложным функциям, как показано ниже.

Определите последовательность $a_{0}=0<a_{1}<a_{2}<\cdots$ такой, что $a_{n}\to 1$. Позволять $g_{n}$ — последовательность непрерывных функций, не обращающихся в нуль на интервале $(a_{n},a_{n+1})$ и ноль в другом месте, такой что ${\textstyle \int _{0}^{1}g_{n}=1}$ для каждого $n$. Определять

$f(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(g_{n}(x)-g_{n+1}(x)\right)g_{n}(y).$

В предыдущей сумме в каждом конкретном $(x,y)$, не более одного слагаемого отлично от нуля. Для этой функции бывает, что

$\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{0}^{a_{1}}\left(\int _{0}^{a_{1}}g_{0}(x)g_{0}(y)\,dy\right)\,dx=1\neq 0=\int _{0}^{1}0\,dy=\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\right)\,dy$

См. также

• Теорема Фубини - Условия переключения порядка интегрирования в исчислении