Преобразования Титце

В теории групп преобразования Титце используются для преобразования данного представления группы в другое, часто более простое представление той же группы . Эти преобразования названы в честь Генриха Титце , который представил их в статье 1908 года.

Представление ведется с точки зрения генераторов и отношений ; формально говоря, представление представляет собой пару из набора именованных образующих и набора слов в свободной группе по образующим, которые принимаются за отношения. Преобразования Титце состоят из элементарных шагов, каждый из которых в отдельности довольно очевидно приводит представление к представлению изоморфной группы . Эти элементарные шаги могут работать с генераторами или отношениями и бывают четырех видов.

Добавление отношения

Если отношение можно вывести из существующих отношений, его можно добавить в представление без изменения группы. Пусть G=〈 x | х ³ =1 〉 — конечное представление циклической группы порядка 3. Умножая x ³ =1 с обеих сторон по x ³ мы получаем х ⁶ = х ³ = 1, поэтому х ⁶ = 1 выводится из x ³ =1. Следовательно, G=〈 x | х ³ =1, х ⁶ =1 〉 — еще одно представление той же группы.

Удаление связи

Если отношение в презентации может быть получено из других отношений, то его можно удалить из презентации, не затрагивая группу. В G = 〈 x | х ³ = 1, х ⁶ = 1 〉 отношение x ⁶ = 1 можно получить из x ³ = 1, чтобы его можно было безопасно удалить. Однако обратите внимание, что если x ³ = 1 из представления удаляется группа G = 〈 x | х ⁶ = 1 〉 определяет циклическую группу порядка 6 и не определяет ту же самую группу. Необходимо позаботиться о том, чтобы показать, что любые удаляемые отношения являются последствиями других отношений.

Добавление генератора

Учитывая презентацию, можно добавить новый генератор, который выражается в виде слова в исходных генераторах. Начиная с G = 〈 x | х ³ = 1 〉 и полагая y = x ² новое представление G знак равно 〈 x , y | х ³ = 1, у = х ² 〉 определяет ту же группу.

Снятие генератора

Если можно сформировать отношение, в котором один из генераторов является словом в других генераторах, то этот генератор можно удалить. Для этого необходимо заменить все вхождения удаленного генератора эквивалентным ему словом. Представление элементарной абелевой группы порядка 4: G=〈 x,y,z | х = уз, у ² =1, г ² =1, х=х ⁻¹ 〉 можно заменить на G = 〈 y , z | й ² = 1, з ² знак равно 1, ( yz ) = ( yz ) ⁻¹ 〉, удалив x .

Примеры

Пусть G = 〈 x , y | х ³ = 1, и ² = 1, ( ху ) ² = 1 〉 — представление симметрической группы степени три. Генератор x соответствует перестановке (1,2,3), а y - (2,3). С помощью преобразований Титце это представление можно преобразовать к G = 〈 y , z | ( зы ) ³ = 1, и ² = 1, з ² = 1 〉, где z соответствует (1,2).

г знак равно 〈 Икс , у | х 3 = 1, и 2 = 1, ( ху ) 2 = 1 〉	(начинать)
г знак равно 〈 Икс , y , z | х 3 = 1, и 2 = 1, ( ху ) 2 = 1, z = ху 〉	правило 3 — Добавьте генератор z
г знак равно 〈 Икс , y , z | х 3 = 1, и 2 = 1, ( ху ) 2 = 1, x = zy 〉	правила 1 и 2 — добавьте x = z y −1 = zy и удалим z = xy
г знак равно 〈 у , z | ( зы ) 3 = 1, и 2 = 1, з 2 = 1 〉	правило 4 - Удалить генератор х

См. также

• Трансформация Нильсена
• Гипотеза Эндрюса-Кёртиса

Ссылки

• Роджер К. Линдон , Пол Э. Шупп , Комбинаторная теория групп , Springer, 2001. ISBN   3-540-41158-5 .