Сантехника (математика)

Подсоединение двух однодисковых связок для получения нового двухколлекторного.

В математической области геометрической топологии , среди методов, известных как теория хирургии , процесс сантехники является способом создания новых многообразий из дисковых расслоений . Впервые его описал Джон Милнор. и впоследствии широко использовался в теории хирургии для создания многообразий и карт нормалей с заданными хирургическими препятствиями .

Определение

Позволять $\xi _{i}=(E_{i},M_{i},p_{i})$ ранга n — векторное расслоение над n -мерным гладким многообразием $M_{i}$ для я = 1,2. Обозначим через $D(E_{i})$ общий объем связанного (закрытого) диска $D(\xi _{i})$и предположим, что $\xi _{i},M_{i}$ и $D(E_{i})$ориентированы совместимым образом. Если мы выберем две точки $x_{i}\in M_{i}$, i = 1,2, и рассмотрим шаровую окрестность $x_{i}$ в $M_{i}$, тогда мы получим окрестности $D_{i}^{n}\times D_{i}^{n}$ волокна над $x_{i}$ в $D(E_{i})$. Позволять $h:D_{1}^{n}\rightarrow D_{2}^{n}$ и $k:D_{1}^{n}\rightarrow D_{2}^{n}$ — два диффеоморфизма (либо сохраняющие ориентацию, либо обращающие). Сантехника ​ из $D(E_{1})$ и $D(E_{2})$ в $x_{1}$ и $x_{2}$ определяется как факторпространство $P=D(E_{1})\cup _{f}D(E_{2})$ где $f:D_{1}^{n}\times D_{1}^{n}\rightarrow D_{2}^{n}\times D_{2}^{n}$ определяется $f(x,y)=(k(y),h(x))$.Гладкая структура частного определяется «выпрямлением углов».

Сантехника по дереву

Если базовое многообразие представляет собой n -сферу $S^{n}$, затем повторяя эту процедуру по нескольким векторным расслоениям по $S^{n}$ их можно соединить по дереву ^§8 . Если $T$ — дерево, каждой вершине присваиваем векторное расслоение $\xi$ над $S^{n}$ и соединяем соответствующие пучки дисков вместе, если две вершины соединены ребром. Необходимо следить за тем, чтобы окрестности в общем пространстве не перекрывались.

Коллекторы

Позволять $D(\tau _{S^{2k}})$ обозначим дисковое расслоение, связанное с расслоением 2k касательным -сферы. Если мы подключим восемь копий $D(\tau _{S^{2k}})$ согласно схеме $E_{8}$, мы получаем 4k -мерное многообразие, которое некоторые авторы вызвать многообразие Милнора $M_{B}^{4k}$ (см. также E ₈ коллектор ).

Для $k>1$, граница $\Sigma ^{4k-1}=\partial M_{B}^{4k}$ является гомотопической сферой, порождающей $\theta ^{4k-1}(\partial \pi )$, группа классов h -кобордизмов гомотопических сфер, ограничивающих π-многообразия см. Также экзотические сферы ( подробнее ). Его подпись $sgn(M_{B}^{4k})=8$ и существует ^V.2.9 карта нормальная $(f,b)$ так, что обструкция хирургическая $\sigma (f,b)=1$, где $g:(M_{B}^{4k},\partial M_{B}^{4k})\rightarrow (D^{4k},S^{4k-1})$ является отображением степени 1 и $b:\nu _{M_{B}^{4k}}\rightarrow \xi$ — отображение расслоения стабильного нормального расслоения многообразия Милнора в некоторое стабильное векторное расслоение .

Сантехническая теорема

Важнейшей теоремой для развития теории хирургии является так называемая теорема сантехники. ^II.1.3 (представлено здесь в односвязном случае):

Для всех $k>1,l\in \mathbb {Z}$, существует 2k -мерное многообразие $M$ с границей $\partial M$ и нормальная карта $(g,c)$ где $g:(M,\partial M)\rightarrow (D^{2k},S^{2k-1})$ таков, что $g|_{\partial M}$ является гомотопической эквивалентностью, $c$ является отображением расслоения в тривиальное расслоение, а препятствием для операции является $\sigma (g,c)=l$.

Доказательство этой теоремы использует определенные выше многообразия Милнора.

Ссылки

• Браудер, Уильям (1972), Хирургия на односвязных многообразиях , Springer-Verlag, ISBN  978-3-642-50022-0
• Милнор, Джон (1956), Об односвязных 4-многообразиях , Внутренний симпозиум по алгебраической топологии, Мексика
• Хирцебрух, Фридрих ; Бергер, Томас; Юнг, Райнер (1994), Многообразия и модульные формы , Springer-Verlag, ISBN  978-3-528-16414-0
• Мэдсен, Иб ; Милгрэм, Р. Джеймс (1979), Классифицирующие пространства для хирургии и кобордизмов многообразий , Princeton University Press, ISBN  978-1-4008-8147-5
• Лопес де Медрано, Сантьяго (1971), Инволюции на многообразиях , Springer-Verlag, ISBN  978-3-642-65014-7