Экзотическая сфера

В области математики, называемой дифференциальной топологией , экзотическая сфера представляет собой дифференцируемое многообразие M , которое гомеоморфно , но не диффеоморфно стандартной евклидовой n -сфере . То есть М является сферой с точки зрения всех своих топологических свойств, но несущей гладкую структуру не привычную (отсюда и название «экзотическая»).

Первые экзотические сферы были построены Джоном Милнором ( 1956 ) в измерении $n=7$ как $S^{3}$- связки ​ $S^{4}$. Он показал, что на 7-сфере имеется по крайней мере 7 дифференцируемых структур. В любой размерности Милнор (1959) показал, что классы диффеоморфизма ориентированных экзотических сфер образуют нетривиальные элементы абелева моноида относительно связной суммы, который является конечной абелевой группой , если размерность не равна 4. Классификация экзотических сфер Мишелем Кервер и Милнор ( 1963 ) показали, что ориентированные экзотические 7-сферы являются нетривиальными элементами циклической группы порядка 28 при операции связной суммы .

В более общем смысле, в любом измерении n ≠ 4 существует конечная абелева группа, элементы которой являются классами эквивалентности гладких структур на S. ^н , где две структуры считаются эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию диффеоморфизм, переносящий одну структуру на другую. Групповая операция определяется формулой [x] + [y] = [x + y], где x и y — произвольные представители своих классов эквивалентности, а x + y обозначает гладкую структуру на гладком S ^н это связная сумма x и y. Необходимо показать, что такое определение не зависит от сделанного выбора; действительно, это можно показать.

Введение

Единица n -сферы, $S^{n}$, представляет собой набор всех ( n +1)-кортежей $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})$ действительных чисел, таких, что сумма $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}=1$. Например, $S^{1}$ представляет собой круг, в то время как $S^{2}$ — это поверхность обычного шара радиуса один в трёх измерениях. Топологи считают пространство X - сферой, n существует гомеоморфизм если между ними , т. е. каждая точка в X может быть сопоставлена ​​ровно одной точке единичной n -сферы с помощью непрерывной биекции с непрерывным обратным. Например, точку x на n -сфере радиуса r можно гомеоморфно сопоставить с точкой на единичной n -сфере, умножив ее расстояние от начала координат на $1/r$. Аналогично, n -куб любого радиуса гомеоморфен n -сфере.

В дифференциальной топологии два гладких многообразия считаются гладко эквивалентными, если существует диффеоморфизм одного в другое, который является гомеоморфизмом между ними, с дополнительным условием того, что оно гладкое , то есть должно иметь производные всех порядков во всех случаях. его точки — и его обратный гомеоморфизм также должен быть гладким. Чтобы вычислить производные, необходимо иметь локальные системы координат, определенные последовательно X. в Математики (включая самого Милнора) были удивлены в 1956 году, когда Милнор показал, что согласованные локальные системы координат могут быть установлены на 7-сфере двумя разными способами, которые были эквивалентны в непрерывном смысле, но не в дифференцируемом смысле. Милнор и другие попытались выяснить, сколько таких экзотических сфер может существовать в каждом измерении, и понять, как они связаны друг с другом. На 1-, 2-, 3-, 5-, 6-, 12-, 56- или 61-сфере невозможны никакие экзотические структуры. Некоторые сферы более высоких измерений имеют только две возможные дифференцируемые структуры, другие - тысячи. Существуют ли экзотические 4-сферы, и если да, то сколько – это нерешенная проблема .

Классификация

Моноид гладких структур на n -сферах — это совокупность ориентированных гладких n -многообразий, гомеоморфных n -сфере, приведенных к диффеоморфизму, сохраняющему ориентацию. Моноидная операция — это связная сумма . Предоставил $n\neq 4$, этот моноид является группой и изоморфен группе $\Theta _{n}$ классов h -кобордизмов ориентированных гомотопических n -сфер , который конечен и абелев. В измерении 4 о моноиде гладких сфер почти ничего не известно, кроме фактов, что он конечен или счетно бесконечен и абелев, хотя предполагается, что он бесконечен; см. раздел о поворотах Глюка . Все гомотопические n -сферы гомеоморфны n -сфере в соответствии с обобщенной гипотезой Пуанкаре , доказанной Стивеном Смейлом в размерностях больше 4, Майклом Фридманом в размерности 4 и Григорием Перельманом в размерности 3. В размерности 3 Эдвин Э. Мойс доказал что каждое топологическое многообразие имеет по существу единственную гладкую структуру (см. теорему Мойза ), поэтому моноид гладких структур на 3-сфере тривиален.

Параллелизуемые коллекторы

Группа $\Theta _{n}$ имеет циклическую подгруппу

$bP_{n+1}$

представлено n -сферами, ограничивающими распараллеливаемые многообразия . Структуры $bP_{n+1}$ и частное

$\Theta _{n}/bP_{n+1}$

описаны отдельно в статье ( Kervaire & Milnor   1963 ), оказавшей влияние на развитие теории хирургии . Фактически, эти расчеты можно сформулировать на современном языке в терминах точной последовательности операций, как указано здесь .

Группа $bP_{n+1}$ является циклической группой и является тривиальной или порядка 2, за исключением случая $n=4k+3$, и в этом случае оно может быть большим, а его порядок связан с числами Бернулли . Это тривиально, если n четно. Если n равно 1 по модулю 4, он имеет порядок 1 или 2; в частности, он имеет порядок 1, если n равно 1, 5, 13, 29 или 61, а Уильям Браудер ( 1969 ) доказал, что он имеет порядок 2, если $n=1$ мод 4 не того вида $2^{k}-3$. следует Из теперь почти полностью решенной проблемы инварианта Кервера , что она имеет порядок 2 для всех n, больших 126; дело $n=126$ все еще открыт. Порядок $bP_{4k}$ для $k\geq 2$ является

$2^{2k-2}(2^{2k-1}-1)B,$

где B — числитель $4B_{2k}/k$, и $B_{2k}$ является числом Бернулли . (Формула в топологической литературе немного отличается, поскольку топологи используют другое соглашение для обозначения чисел Бернулли; в этой статье используется соглашение теоретиков чисел.)

Карта между частными

Факторгруппа $\Theta _{n}/bP_{n+1}$ имеет описание в терминах стабильных гомотопических групп сфер по модулю образа J-гомоморфизма ; оно либо равно фактору, либо индексу 2. Точнее, существует инъективное отображение

$\Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,$

где $\pi _{n}^{S}$ – n- я стабильная гомотопическая группа сфер, J – образ J -гомоморфизма. Как и в случае с $bP_{n+1}$, образ J является циклической группой и тривиален или имеет порядок 2, за исключением случая $n=4k+3$, и в этом случае оно может быть большим, а его порядок связан с числами Бернулли . Факторгруппа $\pi _{n}^{S}/J$ является «жесткой» частью стабильных гомотопических групп сфер и, соответственно, $\Theta _{n}/bP_{n+1}$ является сложной частью экзотических сфер, но почти полностью сводится к вычислению гомотопических групп сфер. Отображение является либо изоморфизмом (образ — вся группа), либо инъективным отображением с индексом 2. Последнее имеет место тогда и только тогда, когда существует n -мерное оснащенное многообразие с инвариантом Кервера 1, известное как Инвариантная задача Кервера . Таким образом, коэффициент 2 при классификации экзотических сфер зависит от инвариантной задачи Кервера.

Проблема инварианта Кервера почти полностью решена, за исключением случая $n=126$ остающийся открытым. Это прежде всего работа Браудера (1969) , который доказал, что такие многообразия существуют только в размерности $n=2^{j}-2$и Hill, Hopkins & Ravenel (2016) , которые доказали, что не существует таких многообразий для размерности $254=2^{8}-2$ и выше. Многообразия с инвариантом Кервера 1 были построены в размерностях 2, 6, 14, 30 и 62, но размерность 126 открыта, и ни одно многообразие не было ни построено, ни опровергнуто.

Порядок Θ _n

Порядок группы $\Theta _{n}$ приведена в этой таблице (последовательность A001676 в OEIS ) из ( Kervaire & Milnor 1963 ) (за исключением того, что запись для $n=19$ в своей статье ошибается в 2 раза; см. исправление в томе III стр. 97 собрания сочинений Милнора).

Тусклый н	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
заказ $\Theta _{n}$	1	1	1	1	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16	523264	24
$bP_{n+1}$	1	1	1	1	1	1	28	1	2	1	992	1	1	1	8128	1	2	1	261632	1
$\Theta _{n}/bP_{n+1}$	1	1	1	1	1	1	1	2	2×2	6	1	1	3	2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
$\pi _{n}^{S}/J$	1	2	1	1	1	2	1	2	2×2	6	1	1	3	2×2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
индекс	–	2	–	–	–	2	–	–	–	–	–	–	–	2	–	–	–	–	–	–

Обратите внимание, что для тусклого $n=4k-1$, затем $\theta _{n}$ являются $28=2^{2}(2^{3}-1)$, $992=2^{5}(2^{5}-1)$, $16256=2^{7}(2^{7}-1)$, и $523264=2^{10}(2^{9}-1)$. Дальнейшие записи в этой таблице можно рассчитать на основе приведенной выше информации вместе с таблицей стабильных гомотопических групп сфер .

Путем вычислений стабильных гомотопических групп сфер Ван и Сюй (2017) доказывают, что сфера S ⁶¹ имеет уникальную гладкую структуру и что это последняя нечетномерная сфера с этим свойством - единственные - S ¹ , С ³ , С ⁵ и С ⁶¹ .

Явные примеры экзотических сфер

Когда я наткнулся на такой пример в середине 50-х годов, я был очень озадачен и не знал, что с этим делать. Сначала я думал, что нашел контрпример к обобщенной гипотезе Пуанкаре в седьмом измерении. Но тщательное исследование показало, что многообразие действительно было гомеоморфно $S^{7}$. Таким образом, существует дифференцируемая структура на $S^{7}$ не диффеоморфен стандартному.

Джон Милнор ( 2009 , стр.12)

Строительство Милнора

Основная статья: сфера Милнора

Одним из первых примеров экзотической сферы, обнаруженной Милнором (1956 , раздел 3), был следующий. Позволять $B^{4}$ быть единичным шаром в $\mathbb {R} ^{4}$, и пусть $S^{3}$ быть ее границей — трехмерной сферой, которую мы отождествляем с группой единичных кватернионов . Теперь возьмите две копии $B^{4}\times S^{3}$, каждый с границей $S^{3}\times S^{3}$, и склеить их, определив $(a,b)$ на первой границе с $(a,a^{2}ba^{-1})$ во второй границе. Полученное многообразие имеет естественную гладкую структуру и гомеоморфно $S^{7}$, но не диффеоморфен $S^{7}$. Милнор показал, что оно не является границей какого-либо гладкого 8-многообразия с нулевым 4-м числом Бетти и не имеет диффеоморфизма, меняющего ориентацию; любое из этих свойств подразумевает, что это не стандартная 7-сфера. Милнор показал, что это многообразие имеет функцию Морса всего с двумя критическими точками , обе невырожденные, что означает, что топологически оно является сферой.

Брискорнские сферы

Как показал Эгберт Брискорн ( 1966 , 1966b ) (см. также ( Hirzebruch & Mayer 1968 )) пересечение комплексного многообразия точек в $\mathbb {C} ^{5}$ удовлетворяющий

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{3}+e^{6k-1}=0\$

с небольшой сферой вокруг начала координат для $k=1,2,\ldots ,28$ дает все 28 возможных гладких структур на ориентированной 7-сфере. Подобные многообразия называются сферами Брискорна .

Скрученные сферы

Учитывая (сохраняющий ориентацию) диффеоморфизм $f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}$, склеивая границы двух копий стандартного диска $D^{n}$ вместе по f дает многообразие, называемое скрученной сферой (с закручиванием f ). Это гомотопически эквивалентно стандартной n -сфере, поскольку отображение склейки гомотопно единице (являясь диффеоморфизмом, сохраняющим ориентацию, следовательно, степень 1), но, вообще говоря, не диффеоморфно стандартной сфере. ( Милнор, 1959б )Параметр $\Gamma _{n}$ чтобы быть группой скрученных n -сфер (при сумме коннектов), получается точная последовательность

$\pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})\to \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})\to \Gamma _{n}\to 0.$

Для $n>5$, каждая экзотическая n -сфера диффеоморфна скрученной сфере, результат, доказанный Стивеном Смейлом , который можно рассматривать как следствие теоремы о h -кобордизме . (Напротив, в кусочно-линейной постановке самое левое отображение попадает через радиальное расширение : каждая кусочно-линейно-скрученная сфера является стандартной.) Группа $\Gamma _{n}$ скрученных сфер всегда изоморфна группе $\Theta _{n}$. Обозначения разные, потому что сначала не было известно, что они одинаковы для $n=3$ или 4; например, случай $n=3$ эквивалентно гипотезе Пуанкаре .

В 1970 году Жан Серф доказал теорему о псевдоизотопии , из которой следует, что $\pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})$ предоставлена ​​тривиальная группа $n\geq 6$, и так $\Gamma _{n}\simeq \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})$ предоставил $n\geq 6$.

Приложения

Если M — кусочно-линейное многообразие , то проблема нахождения совместимых гладких структур на M зависит от знания групп Γ _k = Θ _k . Точнее, препятствия к существованию любой гладкой структуры лежат в группах H _k+1 ( M , Γ _k ) для различных значений k , а если такая гладкая структура существует, то все такие гладкие структуры можно классифицировать с помощью групп ЧАС _k ( M , _Γ ) .В частности, группы Γ _k исчезают, если k < 7 , поэтому все PL-многообразия размерности не более 7 имеют гладкую структуру, которая по существу уникальна, если многообразие имеет размерность не более 6.

Следующие конечные абелевы группы по существу одинаковы:

• Группа Θ _n классов h-кобордизмов ориентированных гомотопических n -сфер.
• Группа классов h-кобордизмов ориентированных n -сфер.
• Группа Γ _n скрученных ориентированных n -сфер.
• Гомотопическая группа π _n (PL/DIFF)
• Если n ≠ 3 , гомотопическая группа π _n (TOP/DIFF) (если n = 3 эта группа имеет порядок 2; см. инвариант Кирби – Зибенмана ).
• Группа гладких структур ориентированной PL n -сферы.
• Если n ≠ 4 , группа гладких структур ориентированной топологической n -сферы.
• Если n ≠ 5 , группа компонентов группы всех сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов S ^{п -1} .

-мерные экзотические сферы и

В 4-х измерениях неизвестно, есть ли на 4-сфере какие-либо экзотические гладкие структуры. Утверждение о том, что они не существуют, известно как «гладкая гипотеза Пуанкаре» и обсуждается Майклом Фридманом , Робертом Гомпфом и Скоттом Моррисоном и др. ( 2010 ), которые говорят, что это считается ложью.

Некоторыми кандидатами, предложенными для экзотических 4-сфер, являются сферы Каппелла-Шейнсона ( Сильвен Каппелл и Джулиус Шейнсон ( 1976 )) и сферы, полученные с помощью скручиваний Глюка ( Gluck 1962 ). Сферы глюка твиста строятся путем вырезания трубчатой ​​окрестности 2-сферы S в S ⁴ и склеив его обратно, используя диффеоморфизм его границы S ² × S ¹ . Результат всегда гомеоморфен S ⁴ . Многие случаи на протяжении многих лет были исключены как возможные контрпримеры к гладкой четырехмерной гипотезе Пуанкаре. Например, Кэмерон Гордон ( 1976 ), Хосе Монтесинос ( 1983 ), Стивен П. Плотник ( 1984 ), Гомпф (1991) , Хабиро, Марумото и Ямада (2000) , Селман Акбулут ( 2010 ), Гомпф (2010) , Ким и Ямада (2017) .

См. также

• Сфера Милнора
• Атлас (топология)
• Сцепляющаяся конструкция
• Экзотический Р ⁴
• Теория Серфа
• Семимерное пространство

Ссылки

• Акбулут, Сельман (2010), «Гомотопические сферы Каппелла-Шейнсона являются стандартными», Annals of Mathematics , 171 (3): 2171–2175, arXiv : 0907.0136 , doi : 10.4007/annals.2010.171.2171 , S2CID   754611
• Брискорн, Эгберт В. (1966), «Примеры сингулярных нормальных комплексных пространств, которые являются топологическими многообразиями», Труды Национальной академии наук , 55 (6): 1395–1397, Бибкод : 1966PNAS...55.1395B , doi : 10.1073/пнас.55.6.1395 , МР   0198497 , ПМК   224331 , ПМИД   16578636
• Брискорн, Эгберт (1966b), «Примеры дифференциальной топологии особенностей», Invent. Матем. , 2 (1): 1–14, Бибкод : 1966InMat...2....1B , doi : 10.1007/BF01403388 , MR   0206972 , S2CID   123268657
• Браудер, Уильям (1969), «Инвариант Кервера оснащенных многообразий и его обобщение», Annals of Mathematics , 90 (1): 157–186, doi : 10.2307/1970686 , JSTOR   1970686 , MR   0251736
• Каппелл, Сильвен Э .; Шейнсон, Джулиус Л. (1976), «Некоторые новые четырехмногообразия», Annals of Mathematics , 104 (1): 61–72, doi : 10.2307/1971056 , JSTOR   1971056
• Фридман, Майкл ; Гомпф, Роберт; Моррисон, Скотт; Уокер, Кевин (2010), «Человек и машина думают о гладкой 4-мерной гипотезе Пуанкаре», Quantum Topology , 1 (2): 171–208, arXiv : 0906.5177 , doi : 10.4171/qt/5 , S2CID   18029746
• Глюк, Герман (1962), «Вложение двух сфер в четырехсферу», Труды Американского математического общества , 104 (2): 308–333, doi : 10.2307/1993581 , JSTOR   1993581 , MR   0146807
• Хьюз, Марк; Ким, Сынвон; Миллер, Мэгги (2018), Gluck Twists Of S ⁴ Диффеоморфны S ⁴ , arXiv : 1804.09169v1
• Гомпф, Роберт Э. (1991), «Уничтожение 4-сферы Акбулута-Кирби, имеющее отношение к проблемам Андреса-Кёртиса и Шенфлиса», Topology , 30 : 123–136, doi : 10.1016/0040-9383(91)90036- 4
• Гомпф, Роберт Э (2010), «Больше сфер Каппелла-Шейнсона являются стандартными», Алгебраическая и геометрическая топология , 10 (3): 1665–1681, arXiv : 0908.1914 , doi : 10.2140/agt.2010.10.1665 , S2CID   16936498
• Гордон, Кэмерон МакА. (1976), «Узлы в 4-сфере», Commentarii Mathematici Helvetici , 51 : 585–596, doi : 10.1007/BF02568175 , S2CID   119479183
• Хабиро, Кадзуо; Марумото, Ёсихико; Ямада, Юичи (2000), «Хирургия Глюка и каркасные связи в 4-многообразиях», Серия «Узлы и все такое» , 24 , World Scientific: 80–93, ISBN  978-9810243401
• Хилл, Майкл А.; Хопкинс, Майкл Дж .; Равенел, Дуглас К. (2016) [Впервые опубликовано как arXiv 2009]. «О несуществовании элементов инварианта Кервера». Анналы математики . 184 (1): 1–262. arXiv : 0908.3724 . дои : 10.4007/анналы.2016.184.1.1 . S2CID   13007483 .
• Хирцебрух, Фридрих; Майер, Карл Хайнц (1968), O (n)-многообразия, экзотические сферы и особенности , Конспект лекций по математике, том. 57, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0074355 , ISBN.  978-3-540-04227-3 , MR   0229251 В этой книге описывается работа Брискорна, связывающая экзотические сферы с особенностями комплексных многообразий.
• Кервер, Мишель А .; Милнор, Джон В. (1963). «Группы гомотопических сфер: I» (PDF) . Анналы математики . 77 (3): 504–537. дои : 10.2307/1970128 . JSTOR   1970128 . МР   0148075 . – В этой статье описывается строение группы гладких структур на n -сфере при n > 4. Обещанная статья «Группы гомотопических сфер: II» так и не появилась, но конспекты лекций Левина содержат материал, которого от нее можно было ожидать. содержать.
• Ким, Мин Хун; Ямада, Шохей (2017), Идеальные классы и гомотопические 4-сферы Каппелла-Шейнсона , arXiv : 1707.03860v1
• Левин, Джером П. (1985), «Лекции по группам гомотопических сфер», Алгебраическая и геометрическая топология , Конспекты лекций по математике, том. 1126, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 62–95, doi : 10.1007/BFb0074439 , ISBN.  978-3-540-15235-4 , МР   8757031
• Милнор, Джон В. (1956), «О многообразиях, гомеоморфных 7-сфере», Annals of Mathematics , 64 (2): 399–405, doi : 10.2307/1969983 , JSTOR   1969983 , MR   0082103 , S2CID   18780087
• Милнор, Джон В. (1959), «Суммы дифференцируемых разновидностей и дифференцируемые структуры сфер», Bulletin de la Société Mathématique de France , 87 : 439–444, doi : 10.24033/bsmf.1538 , MR   0117744
• Милнор, Джон В. (1959b), «Дифференцируемые структуры на сферах», Американский журнал математики , 81 (4): 962–972, doi : 10.2307/2372998 , JSTOR   2372998 , MR   0110107
• Милнор, Джон (2000), «Классификация $(n-1)$-связанный $2n$-мерные многообразия и открытие экзотических сфер», в Каппелле, Сильвене ; Раницки, Эндрю ; Розенберге, Джонатане (ред.), Обзоры по теории хирургии: Том 1 , Анналы математических исследований 145, Princeton University Press, стр. 25– 30, ISBN  9780691049380 , МР   1747528 .
• Милнор, Джон Уиллард (2009), «Пятьдесят лет назад: топология многообразий в 50-х и 60-х годах» (PDF) , в Мровке, Томаш С .; Ожсват, Питер С. (ред.), Низкомерная топология. Конспекты лекций 15-й летней школы математического института Парк-Сити (PCMI), проходившей в Парк-Сити, штат Юта, летом 2006 г. , IAS/Park City Math. Сер., вып. 15, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 9–20, ISBN.  978-0-8218-4766-4 , МР   2503491
• Милнор, Джон В. (2011), «Дифференциальная топология сорок шесть лет спустя» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 58 (6): 804–809
• Монтесинос, Хосе М. (1983), «О близнецах в четырехсфере I» (PDF) , Ежеквартальный журнал математики , 34 (6): 171–199, doi : 10.1093/qmath/34.2.171
• Плотник, Стивен П. (1984), Гордон, Кэмерон МакА. (ред.), Волокнистые узлы в $S^{4}$ – скручивание, вращение, вращение, хирургия и ветвление , Американское математическое общество, том 35 современной математики, стр. 437–459, ISBN  978-0-8218-5033-6 .
• Ван, Гочжэнь; Сюй, Чжоули (2017), «Тривиальность 61-стержня в стабильных гомотопических группах сфер», Annals of Mathematics , 186 (2): 501–580, arXiv : 1601.02184 , doi : 10.4007/annals.2017.186.2.3 , МР   3702672 , S2CID   119147703 .
• Рудяк, Юлий Б. (2001) [1994], «Сфера Милнора» , Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки

• Экзотические сферы в Атласе многообразия
• Домашняя страница экзотической сферы на домашней странице Андрея Раницки. Разнообразный исходный материал, относящийся к экзотическим сферам.
• Анимация экзотических 7-сфер Видео из выступления Найлса Джонсона на Второй конференции Абеля в честь Джона Милнора .
• Конструкция Глюка в Атласе многообразий.