Гладкость

В математическом анализе гладкость — это свойство , функции которые измеряемое числом, называемым классом дифференцируемости , непрерывных производных, она имеет в своей области определения . ^[1]

Функция класса $C^{k}$ является функцией гладкости не ниже $k$ ; то есть функция класса $C^{k}$ — это функция, имеющая $k$ -ю производную, непрерывную в своей области определения.

Функция класса $C^{\infty }$ или $C^{\infty }$ -функция (произносится как функция С-бесконечности ) — бесконечно дифференцируемая функция , то есть функция, имеющая производные всех порядков (это означает, что все эти производные непрерывны).

Обычно термин «гладкая функция» относится к $C^{\infty }$ -функция. Однако для рассматриваемой задачи это может означать и «достаточно дифференцируемый».

Классы дифференцируемости

Класс дифференцируемости — это классификация функций по свойствам их производных . Это мера производной высшего порядка, которая существует и непрерывна для функции.

Рассмотрим открытое множество $U$ на вещественной строке и функции $f$ определено на $U$ с реальными ценностями. Пусть k — целое неотрицательное число . Функция $f$ называется классом дифференцируемости $C^{k}$ если производные $f',f'',\dots ,f^{(k)}$ и непрерывны существуют $U.$ Если $f$ является $k$ -дифференцируемый по $U,$ тогда это хотя бы в классе $C^{k-1}$ с $f',f'',\dots ,f^{(k-1)}$ непрерывны $U.$ Функция $f$ называется бесконечно дифференцируемой , гладкой или принадлежащей классу $C^{\infty },$ если он имеет производные всех порядков по $U.$ (Таким образом, все эти производные являются непрерывными функциями над $U.$ ) ^[2] Функция $f$ говорят, что он классный $C^{\omega },$ или аналитический , если $f$ является гладким (т.е. $f$ находится в классе $C^{\infty }$ ) и ее разложение в ряд Тейлора вокруг любой точки области определения сходится к функции в некоторой окрестности точки. Существуют функции гладкие, но не аналитические; $C^{\omega }$ таким образом, строго содержится в $C^{\infty }.$ Функции Bump являются примерами функций с этим свойством.

Другими словами, класс $C^{0}$ состоит из всех непрерывных функций. Класс $C^{1}$ состоит из всех дифференцируемых функций , производная которых непрерывна; такие функции называются непрерывно дифференцируемыми . Таким образом, $C^{1}$ функция — это в точности функция, производная которой существует и принадлежит классу $C^{0}.$ В общем, классы $C^{k}$ можно определить рекурсивно, объявив $C^{0}$ быть множеством всех непрерывных функций и объявляя $C^{k}$ для любого положительного целого числа $k$ быть множеством всех дифференцируемых функций, производная которых находится в $C^{k-1}.$ В частности, $C^{k}$ содержится в $C^{k-1}$ для каждого $k>0,$ и есть примеры, показывающие, что это сдерживание является строгим ( $C^{k}\subsetneq C^{k-1}$ ). Класс $C^{\infty }$ бесконечно дифференцируемых функций есть пересечение классов $C^{k}$ как $k$ варьируется в пределах неотрицательных целых чисел.

Примеры

Пример: Непрерывный ( C ⁰) Но не дифференцируемо

Функция $g$ ( $x$ ) = $x$ ² sin(1/ $x$ ) для $x$ > 0 .

Функция $f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0\end{cases}}$ непрерывен, но не дифференцируем в точке $x$ = 0 , поэтому принадлежит классу C ⁰, но не класса С ¹.

Пример: дифференцируемая в конечное время ( C ^$к$)

Для каждого четного числа $k$ функция $f(x)=|x|^{k+1}$ непрерывен и $k$ раз дифференцируем во всех точках $x$ . при $x$ = 0 Однако $f$ не ( $k$ + 1) раз дифференцируемо, поэтому $f$ имеет класс С ^$к$, но не класса С ^$дж$ где $j$ > $k$ .

Пример: дифференцируемо, но не непрерывно дифференцируемо (не C ¹)

Функция $g(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}$ дифференцируемо, с производной $g'(x)={\begin{cases}-{\mathord {\cos \left({\tfrac {1}{x}}\right)}}+2x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0.\end{cases}}$

Потому что $\cos(1/x)$ колеблется при $x$ → 0, $g'(x)$ не является непрерывным в нуле. Поэтому, $g(x)$ дифференцируемо, но не принадлежит классу C ¹.

Пример: дифференцируемо, но не липшицево непрерывное

Функция $h(x)={\begin{cases}x^{4/3}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}$ дифференцируема, но ее производная не ограничена на компакте . Поэтому, $h$ является примером функции, которая дифференцируема, но не является локально липшицевой .

Пример: Аналитический ( C ^$ой$)

Показательная функция $e^{x}$ аналитичен и, следовательно, попадает в класс C ^ой. Тригонометрические функции также аналитичны, где бы они ни были определены, поскольку они представляют собой линейные комбинации комплексных показательных функций. $e^{ix}$ и $e^{-ix}$ .

Пример: Гладкий ( C ^$\infty$), но не аналитический ( C ^$ой$)

Функция удара $f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}&{\text{ if }}|x|<1,\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}$ гладкий, поэтому класса C ^∞, но он не аналитичен в точке $x$ = ±1 и, следовательно, не принадлежит классу C ^ой. Функция $f$ является примером гладкой функции с компактным носителем .

Классы многомерной дифференцируемости

Функция $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ определено на открытом множестве $U$ из $\mathbb {R} ^{n}$ сказано ^[3] быть классным $C^{k}$ на $U$ , для положительного целого числа $k$ , если все частные производные ${\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\,\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\,\cdots \,\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$ существуют и непрерывны для каждого $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ целые неотрицательные числа, такие что $\alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k$ и каждый $(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in U$ . Эквивалентно, $f$ имеет класс $C^{k}$ на $U$ если $k$ -го порядка Фреше производная $f$ существует и непрерывен в каждой точке $U$ . Функция $f$ говорят, что он классный $C$ или $C^{0}$ если оно непрерывно включено $U$ . Функции класса $C^{1}$ также называются непрерывно дифференцируемыми .

Функция $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ , определенный на открытом множестве $U$ из $\mathbb {R} ^{n}$ , говорят, класса $C^{k}$ на $U$ , для положительного целого числа $k$ , если все его компоненты $f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(\pi _{i}\circ f)(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\pi _{i}(f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})){\text{ for }}i=1,2,3,\ldots ,m$ относятся к классу $C^{k}$ , где $\pi _{i}$ это естественные проекции $\pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ определяется $\pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}$ . Говорят, что это класс $C$ или $C^{0}$ если он непрерывен или, что то же самое, если все компоненты $f_{i}$ непрерывны, на $U$ .

Пространство C ^к функции

Позволять $D$ быть открытым подмножеством реальной прямой. Набор всего $C^{k}$ вещественные функции, определенные на $D$ — векторное пространство Фреше со счетным семейством полунорм $p_{K,m}=\sup _{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|$ где $K$ меняется по возрастающей последовательности компактов которых , объединение есть $D$ , и $m=0,1,\dots ,k$ .

Набор $C^{\infty }$ функционирует над $D$ также образует пространство Фреше. Используются те же полунормы, что и выше, за исключением того, что $m$ допускается диапазон всех неотрицательных целочисленных значений.

Вышеупомянутые пространства естественным образом возникают в приложениях, где необходимы функции, имеющие производные определенных порядков; однако, особенно при изучении уравнений в частных производных , иногда может быть более плодотворно работать с пространствами Соболева .

Непрерывность

Термины параметрическая непрерывность ( C ^к) и геометрическая непрерывность ( G ^н) были введены Брайаном Барски , чтобы показать, что гладкость кривой можно измерить, сняв ограничения на скорость , с которой параметр отслеживает кривую. ^[4]^[5]^[6]

Параметрическая непрерывность

Параметрическая непрерывность ( C ^к) — понятие, применяемое к параметрическим кривым , которое описывает плавность изменения значения параметра в зависимости от расстояния вдоль кривой. (Параметрическая) кривая $s:[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}$ говорят, что он относится к классу C ^к, если $\textstyle {\frac {d^{k}s}{dt^{k}}}$ существует и непрерывен на $[0,1]$ , где производные в конечных точках $0$ и $1$ считаются односторонними производными (справа у $0$ и слева на $1$ ).

В качестве практического применения этой концепции кривая, описывающая движение объекта с параметром времени, должна иметь C ¹ непрерывность, а ее первая производная дифференцируема - чтобы объект имел конечное ускорение. Для более плавного движения, например движения камеры во время съемки фильма, требуются параметрическая непрерывность более высокого порядка.

Порядок параметрической непрерывности

Различные порядки параметрической непрерывности можно описать следующим образом: ^[7]

$C^{0}$ : нулевая производная непрерывна (кривые непрерывны)
$C^{1}$ : нулевая и первая производные непрерывны
$C^{2}$ : нулевая, первая и вторая производные непрерывны
$C^{n}$ : с 0-го по $n$ -я производная непрерывна

Геометрическая непрерывность

$(1-\varepsilon ^{2})x^{2}-2px+y^{2}=0,\ p>0\ ,\varepsilon \geq 0$
пучок конических сечений с G ²-контакт: п исправить, $\varepsilon$ переменная
( $\varepsilon =0$ : круг, $\varepsilon =0.8$ : эллипс, $\varepsilon =1$ : парабола, $\varepsilon =1.2$ : гипербола)

Кривую имеющую или поверхность можно описать как $G^{n}$ непрерывность, с $n$ является возрастающей мерой гладкости. Рассмотрим отрезки по обе стороны от точки кривой:

$G^{0}$ : кривые соприкасаются в точке соединения.
$G^{1}$ : кривые также имеют общее направление касательной в точке соединения.
$G^{2}$ : кривые также имеют общий центр кривизны в точке соединения.

В общем, $G^{n}$ непрерывность существует, если кривые можно перепараметризовать так, чтобы они имели $C^{n}$ (параметрическая) непрерывность. ^[8]^[9] Репараметризация кривой геометрически идентична оригиналу; влияет только параметр.

Эквивалентно две векторные функции $f(t)$ и $g(t)$ такой, что $f(1)=g(0)$ иметь $G^{n}$ непрерывность в точке их встречи, еслиони удовлетворяют уравнениям, известным как бета-ограничения. Например, бета-ограничения для $G^{4}$ непрерывность:

{\begin{aligned}g^{(1)}(0)&=\beta _{1}f^{(1)}(1)\\g^{(2)}(0)&=\beta _{1}^{2}f^{(2)}(1)+\beta _{2}f^{(1)}(1)\\g^{(3)}(0)&=\beta _{1}^{3}f^{(3)}(1)+3\beta _{1}\beta _{2}f^{(2)}(1)+\beta _{3}f^{(1)}(1)\\g^{(4)}(0)&=\beta _{1}^{4}f^{(4)}(1)+6\beta _{1}^{2}\beta _{2}f^{(3)}(1)+(4\beta _{1}\beta _{3}+3\beta _{2}^{2})f^{(2)}(1)+\beta _{4}f^{(1)}(1)\\\end{aligned}}

где $\beta _{2}$ , $\beta _{3}$ , и $\beta _{4}$ произвольны, но $\beta _{1}$ ограничено положительным. ^[8]^: 65В случае $n=1$ , это сводится к $f'(1)\neq 0$ и $f'(1)=kg'(0)$ , для скаляра $k>0$ (т.е. направление, но не обязательно величина, двух векторов одинаково).

Хотя может быть очевидно, что кривая потребует $G^{1}$ Чтобы непрерывность выглядела гладкой, для хорошей эстетики , например, той, к которой стремятся в архитектуре и дизайне спортивных автомобилей , требуется более высокий уровень геометрической непрерывности. Например, отражения в кузове автомобиля не будут выглядеть гладкими, если тело не будет обработано. $G^{2}$ преемственность. ^{[ нужна ссылка ]}

( Скругленный прямоугольник с дугами окружностей по девяносто градусов в четырех углах) имеет $G^{1}$ преемственности, но не имеет $G^{2}$ преемственность. То же самое верно и для закругленного куба с октантами сферы по углам и четвертьцилиндрами по краям. Если редактируемая кривая с $G^{2}$ требуется непрерывность, тогда кубические сплайны обычно выбирают ; эти кривые часто используются в промышленном дизайне .

Другие концепции

Отношение к аналитичности

Хотя все аналитические функции являются «гладкими» (т.е. имеют все производные непрерывными) на множестве, на котором они аналитичны, такие примеры, как функции выпуклости (упомянутые выше), показывают, что обратное неверно для функций на действительных числах: существуют гладкие действительные функции. функции, которые не являются аналитическими. Простые примеры функций, которые являются гладкими, но не аналитическими ни в какой точке, можно составить с помощью рядов Фурье ; другой пример — функция Фабиуса . Хотя может показаться, что такие функции являются скорее исключением, чем правилом, оказывается, что аналитические функции очень тонко разбросаны среди гладких; более строго, аналитические функции образуют скудное подмножество гладких функций. Более того, для любого открытого подмножества A вещественной прямой существуют гладкие функции, аналитические только на A и нигде более. ^{[ нужна ссылка ]}.

Полезно сравнить ситуацию с повсеместностью трансцендентных чисел на действительной линии. Как на реальной линии, так и на множестве гладких функций примеры, которые приходят на первый взгляд (алгебраические/рациональные числа и аналитические функции), ведут себя гораздо лучше, чем большинство случаев: трансцендентные числа и нигде не аналитические функции имеют полную меру. (их дополнения скудны).

Описанная таким образом ситуация резко контрастирует со сложными дифференцируемыми функциями. Если комплексная функция дифференцируема только один раз на открытом множестве, она одновременно бесконечно дифференцируема и аналитична на этом множестве. ^{[ нужна ссылка ]}.

Гладкие перегородки единства

Гладкие функции с заданным замкнутым носителем используются при построении гладких разбиений единицы (см. Глоссарий разбиений единицы и топологии ); они необходимы при изучении гладких многообразий , например, чтобы показать, что римановы метрики могут быть определены глобально, начиная с их локального существования. Простым случаем является функция рельефа на действительной линии, то есть гладкая функция f , которая принимает значение 0 вне интервала [ a , b ] и такая, что $f(x)>0\quad {\text{ for }}\quad a<x<b.\,$

Учитывая количество перекрывающихся интервалов на прямой, функции рельефа можно построить на каждом из них, а также на полубесконечных интервалах. $(-\infty ,c]$ и $[d,+\infty )$ чтобы охватить всю строку, так что сумма функций всегда равна 1.

Судя по только что сказанному, разбиения единицы неприменимы к голоморфным функциям ; их различное поведение относительно существования и аналитического продолжения является одним из корней теории пучков . Напротив, пучки гладких функций, как правило, не несут много топологической информации.

Гладкие функции на многообразиях и между ними

Учитывая гладкое многообразие $M$ , размерности $m,$ и атлас ${\mathfrak {U}}=\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha },$ тогда карта $f:M\to \mathbb {R}$ идет гладко $M$ если для всех $p\in M$ существует диаграмма $(U,\phi )\in {\mathfrak {U}},$ такой, что $p\in U,$ и $f\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \mathbb {R}$ — гладкая функция из окрестности $\phi (p)$ в $\mathbb {R} ^{m}$ к $\mathbb {R}$ (все частные производные до данного порядка непрерывны). Гладкость можно проверить по отношению к любой карте атласа, содержащей $p,$ поскольку требования плавности функций перехода между диаграммами гарантируют, что если $f$ рядом гладко $p$ на одном графике рядом будет гладко $p$ в любой другой диаграмме.

Если $F:M\to N$ это карта из $M$ к $n$ -мерное многообразие $N$ , затем $F$ является гладким, если для каждого $p\in M,$ есть диаграмма $(U,\phi )$ содержащий $p,$ и диаграмма $(V,\psi )$ содержащий $F(p)$ такой, что $F(U)\subset V,$ и $\psi \circ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)$ является гладкой функцией от $\mathbb {R} ^{n}.$

Гладкие отображения между многообразиями вызывают линейные отображения между касательными пространствами : для $F:M\to N$ , в каждой точке прямое (или дифференциал) отображает касательные векторы в $p$ к касательным векторам в $F(p)$ : $F_{*,p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N,$ а на уровне касательного расслоения форвард является гомоморфизмом векторного расслоения : $F_{*}:TM\to TN.$ Двойником продвижения вперед является откат , который «тянет» ковекторы на себя. $N$ вернемся к ковекторам на $M,$ и $k$ -формы для $k$ -формы: $F^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M).$ Таким образом, гладкие функции между многообразиями могут переносить локальные данные , такие как векторные поля и дифференциальные формы , из одного многообразия в другое или вниз в евклидово пространство, где такие вычисления, как интегрирование, хорошо понятны.

Прообразы и движения вдоль гладких функций, вообще говоря, не являются многообразиями без дополнительных предположений. Прообразы регулярных точек (т. е. если дифференциал на прообразе не обращается в нуль) являются многообразиями; это теорема о прообразе . Точно так же продвижение вдоль вложений является многообразием. ^[10]

Гладкие функции между подмножествами многообразий

Существует соответствующее понятие гладкого отображения для произвольных подмножеств многообразий. Если $f:X\to Y$ - это функция которой , область определения и диапазон являются подмножествами многообразий. $X\subseteq M$ и $Y\subseteq N$ соответственно. $f$ называется гладким, если для всех $x\in X$ есть открытый набор $U\subseteq M$ с $x\in U$ и плавная функция $F:U\to N$ такой, что $F(p)=f(p)$ для всех $p\in U\cap X.$

См. также

Непрерывность — математический анализ точек разрыва.
Лемма Адамара
Неаналитическая гладкая функция - математические функции, которые являются гладкими, но не аналитическими.
Квазианалитическая функция
Сингулярность (математика) - точка, в которой функция, кривая или другой математический объект ведет себя нерегулярно.
Извилистость - соотношение длины дуги и расстояния по прямой между двумя точками волнообразной функции.
Гладкая схема — тип схемы.
Гладкое число - целое число, имеющее только небольшие простые множители (теория чисел).
Сглаживание – подгонка аппроксимирующей функции к данным.
Сплайн — математическая функция, кусочно определяемая полиномами.
Sobolev mapping

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Гладкая функция» . mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 16 декабря 2019 г. Проверено 13 декабря 2019 г.
^ Уорнер, Фрэнк В. (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . Спрингер. п. 5 [Определение 1.2]. ISBN 978-0-387-90894-6 . Архивировано из оригинала 1 октября 2015 г. Проверено 28 ноября 2014 г.
^ Анри Картан (1977). Курс дифференциального исчисления . Париж: Германн.
^ Барски, Брайан А. (1981). Бета-сплайн: локальное представление, основанное на параметрах формы и фундаментальных геометрических мерах (доктор философии). Университет Юты, Солт-Лейк-Сити, Юта.
^ Брайан А. Барски (1988). Компьютерная графика и геометрическое моделирование с использованием бета-сплайнов . Шпрингер-Верлаг, Гейдельберг. ISBN 978-3-642-72294-3 .
^ Ричард Х. Бартельс; Джон С. Битти; Брайан А. Барски (1987). Введение в сплайны для использования в компьютерной графике и геометрическом моделировании . Морган Кауфманн. Глава 13. Параметрическая и геометрическая непрерывность. ISBN 978-1-55860-400-1 .
^ ван де Панн, Мишель (1996). «Параметрические кривые» . Интернет-заметки осени 1996 г. Университет Торонто, Канада. Архивировано из оригинала 26 ноября 2020 г. Проверено 1 сентября 2019 г.
^ Jump up to: ^а ^б Барски, Брайан А.; ДеРоуз, Тони Д. (1989). «Геометрическая непрерывность параметрических кривых: три эквивалентные характеристики». IEEE Компьютерная графика и приложения . 9 (6): 60–68. дои : 10.1109/38.41470 . S2CID 17893586 .
^ Хартманн, Эрих (2003). «Геометрия и алгоритмы автоматизированного проектирования» (PDF) . Технический университет Дармштадта . п. 55. Архивировано (PDF) из оригинала 23 октября 2020 г. Проверено 31 августа 2019 г.
^ Гиймен, Виктор; Поллак, Алан (1974). Дифференциальная топология . Энглвуд Клиффс: Прентис-Холл. ISBN 0-13-212605-2 .

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Гладкая функция» . mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 16 декабря 2019 г. Проверено 13 декабря 2019 г.

[def_diff-2] Уорнер, Фрэнк В. (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . Спрингер. п. 5 [Определение 1.2]. ISBN 978-0-387-90894-6 . Архивировано из оригинала 1 октября 2015 г. Проверено 28 ноября 2014 г.

[3] Анри Картан (1977). Курс дифференциального исчисления . Париж: Германн.

[Barsky1981-4] Барски, Брайан А. (1981). Бета-сплайн: локальное представление, основанное на параметрах формы и фундаментальных геометрических мерах (доктор философии). Университет Юты, Солт-Лейк-Сити, Юта.

[Barsky1988-5] Брайан А. Барски (1988). Компьютерная графика и геометрическое моделирование с использованием бета-сплайнов . Шпрингер-Верлаг, Гейдельберг. ISBN 978-3-642-72294-3 .

[BartelsBeattyBarsky1987-6] Ричард Х. Бартельс; Джон С. Битти; Брайан А. Барски (1987). Введение в сплайны для использования в компьютерной графике и геометрическом моделировании . Морган Кауфманн. Глава 13. Параметрическая и геометрическая непрерывность. ISBN 978-1-55860-400-1 .

[7] ван де Панн, Мишель (1996). «Параметрические кривые» . Интернет-заметки осени 1996 г. Университет Торонто, Канада. Архивировано из оригинала 26 ноября 2020 г. Проверено 1 сентября 2019 г.

[Barsky-DeRose-8] Jump up to: ^а ^б Барски, Брайан А.; ДеРоуз, Тони Д. (1989). «Геометрическая непрерывность параметрических кривых: три эквивалентные характеристики». IEEE Компьютерная графика и приложения . 9 (6): 60–68. дои : 10.1109/38.41470 . S2CID 17893586 .

[9] Хартманн, Эрих (2003). «Геометрия и алгоритмы автоматизированного проектирования» (PDF) . Технический университет Дармштадта . п. 55. Архивировано (PDF) из оригинала 23 октября 2020 г. Проверено 31 августа 2019 г.

[10] Гиймен, Виктор; Поллак, Алан (1974). Дифференциальная топология . Энглвуд Клиффс: Прентис-Холл. ISBN 0-13-212605-2 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]