Сквиркл

Не путать с квадратом круга .

Сквиркл с центром в начале координат ( a = b = 0 ) с малым радиусом r = 1 : x ⁴ + и ⁴ = 1

Белка фигура — это , промежуточная между квадратом и кругом . Существует как минимум два определения слова «белый», наиболее распространенное из которых основано на суперэллипсе . Слово «белка» представляет собой смесь слов «квадрат» и «круг». Сквирлы нашли применение в дизайне и оптике .

Белка на основе суперэллипса

В системе координат суперэллипс декартовой определяется уравнением

$$\left|{\frac {x-a}{r_{a}}}\right|^{n}+\left|{\frac {y-b}{r_{b}}}\right|^{n}=1,$$

где r _a и r _b — большая и малая полуоси, a и b — координаты x и y центра эллипса, а n — положительное число. Тогда белка определяется как суперэллипс с = _ra r b _и n = 4 . Его уравнение:

$$\left(x-a\right)^{4}+\left(y-b\right)^{4}=r^{4}$$

где r — малый радиус завитка. Сравните это с уравнением окружности . Когда белочка центрирована в начале координат, тогда a = b = 0 , и это называется специальной квартикой Ламе .

Площадь внутри белка можно выразить через гамма-функцию Γ как

$$\mathrm {Area} =4r^{2}{\frac {\left(\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {1}{4}}\right)\right)^{2}}{\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {2}{4}}\right)}}={\frac {8r^{2}\left(\operatorname {\Gamma } \left({\frac {5}{4}}\right)\right)^{2}}{\sqrt {\pi }}}=\varpi {\sqrt {2}}\,r^{2}\approx 3.708149\,r^{2},$$

где r - малый радиус сквиркла, а $\varpi$ — константа лемнискаты .

p обозначение

В терминах p -нормы ‖ · ‖ _p на R ² , белка может быть выражена как:

$$\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{c}\right\|_{p}=r$$

где p = 4 , x _c = ( a , b ) — вектор, обозначающий центр белка, и x = ( x , y ) . По сути, это по-прежнему «круг» точек на расстоянии r от центра, но расстояние определяется по-другому. Для сравнения: обычный круг — это случай p = 2 , тогда как квадрат — это случай p → ∞ ( супремальная норма ), а повернутый квадрат — это p = 1 ( норма такси ). Это позволяет сделать прямое обобщение на сферический куб или sphube в R. ³ , или гиперсфаб в высших измерениях.

Белка Фернандес-Гуасти

Еще один сквиркл пришел с работы в оптике. Его можно назвать белком Фернандеса-Гуасти в честь одного из его авторов, чтобы отличить его от белка, связанного с суперэллипсом, изображенного выше. Этот вид белка с центром в начале координат можно определить уравнением:

$$x^{2}+y^{2}-{\frac {s^{2}}{r^{2}}}x^{2}y^{2}=r^{2}$$

где r — меньший радиус сквиркла, s — параметр прямоугольности, а x и y находятся в интервале [− r , r ] . Если s = 0 , уравнение представляет собой круг; если s = 1 , это квадрат. Это уравнение позволяет плавно параметризовать переход к квадрату из круга, не затрагивая бесконечность .

Подобные формы

Белка ( синий ) по сравнению со скругленным квадратом ( красный ). (Увеличенное изображение)

Форма, похожая на белочку, называется закругленный квадрат может быть получен путем разделения четырех четвертей круга и соединения их свободных концов прямыми линиями или путем разделения четырех сторон квадрата и соединения их четвертькругами. Такая форма очень похожа на белку, но не идентична ей. Хотя построение закругленного квадрата может быть концептуально и физически проще, у сквиркла ​​более простое уравнение, и его гораздо легче обобщить. Одним из последствий этого является то, что сквиркл и другие суперэллипсы можно довольно легко масштабировать вверх или вниз. Это полезно, например, если нужно создать вложенные белки.

Различные формы усеченного круга

Другая подобная форма — усеченный круг , граница пересечения областей , заключенных в квадрат и концентрический круг, диаметр которого больше длины стороны квадрата и меньше длины диагонали квадрата. (чтобы каждая фигура имела внутренние точки, не находящиеся внутри другой). Таким формам не хватает касательной непрерывности, которой обладают как суперэллипсы, так и закругленные квадраты.

можно Скругленный куб определить в терминах суперэллипсоидов .

Использует

Сквирлы полезны в оптике . Если свет проходит через двумерную квадратную апертуру, центральное пятно дифракционной картины можно точно смоделировать в виде белка или суперкруга. Если используется прямоугольная апертура, пятно можно аппроксимировать суперэллипсом .

Сквирлы также использовались для изготовления обеденных тарелок . Круглая тарелка имеет большую площадь (и, следовательно, может вместить больше еды), чем круглая тарелка того же радиуса, но при этом занимает одинаковое пространство в прямоугольном или квадратном шкафу.

Многие модели телефонов Nokia оснащены кнопкой сенсорной панели в форме прямоугольника. второго поколения как и Microsoft Zune . Apple использует приближение белочки (на самом деле суперэллипс пятой степени) для значков в iOS , iPadOS , macOS и кнопок «Домой» на некоторых устройствах Apple. Одной из форм адаптивных значков, представленных в операционной системе Android Oreo, является белка. Samsung использует значки в форме прямоугольника в своем программном обеспечении Android One UI , а также в Samsung Experience и TouchWiz .

Итальянский производитель автомобилей Fiat использовал многочисленные элементы дизайна интерьера и экстерьера Panda третьего поколения .

См. также

• Астроид
• Эллипс
• Эллипсоид
• л ^п пространства
• Овал
• Скворунд
• Суперяйцо

Внешние ссылки

• Какова площадь Сквиркла? на YouTube Мэтта Паркера
• Онлайн калькулятор суперкруга и суперэллипса
• Веб-генератор суперкругов