Сплайн (математика)

В математике сплайн , — функция определяемая кусочно полиномами . это В интерполяции задачах сплайн-интерполяция часто предпочтительнее полиномиальной интерполяции , поскольку она дает аналогичные результаты даже при использовании полиномов низкой степени , избегая при этом явления Рунге для более высоких степеней.

В таких областях информатики , как автоматизированное проектирование и компьютерная графика , термин «сплайн» чаще относится к кусочно-полиномиальной ( параметрической ) кривой . Сплайны являются популярными кривыми в этих областях из-за простоты их конструкции, простоты и точности оценки, а также их способности аппроксимировать сложные формы посредством подбора кривой и интерактивного проектирования кривых.

Термин «сплайн» происходит от гибких сплайновых устройств, используемых судостроителями и чертежниками для рисования плавных форм.

Введение [ править ]

Термин «сплайн» используется для обозначения широкого класса функций, которые используются в приложениях, требующих интерполяции и/или сглаживания данных. Данные могут быть одномерными или многомерными. Сплайн-функции для интерполяции обычно определяются как минимизаторы подходящих показателей шероховатости (например, интегрального квадрата кривизны) с учетом ограничений интерполяции. Сглаживающие сплайны можно рассматривать как обобщение интерполяционных сплайнов, где функции определяются так, чтобы минимизировать взвешенную комбинацию среднеквадратической ошибки аппроксимации наблюдаемых данных и меры шероховатости. Для ряда содержательных определений меры шероховатости сплайн-функции оказываются конечномерными по своей природе, что является основной причиной их полезности в вычислениях и представлении. В оставшейся части этого раздела мы полностью сосредоточимся на одномерных полиномиальных сплайнах и используем термин «сплайн» в этом ограниченном смысле.

Определение [ править ]

Мы начнем с ограничения нашего обсуждения полиномами от одной переменной . В данном случае сплайн представляет собой кусочно- полиномиальную функцию . Эта функция, назовем ее $S$ , принимает значения из интервала $[a, b]$ и отображает их в $\mathbb {R} ,$ набор действительных чисел ,

S:[a,b]\to \mathbb {R} .

Мы хотим,

чтобы S

было кусочно определено. Для этого пусть интервал

[a, b]

покрывается

k

упорядоченными непересекающимися подинтервалами,

{\begin{aligned}&[t_{i},t_{i+1}],\quad i=0,\ldots ,k-1\\[4pt]&[a,b]=[t_{0},t_{1})\cup [t_{1},t_{2})\cup \cdots \cup [t_{k-2},t_{k-1})\cup [t_{k-1},t_{k})\cup [t_{k}]\\[4pt]&a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b\end{aligned}}

На каждой из этих $k$ «кусков» $[a, b]$ полином, назовем его $Pi .$ мы хотим определить

P_{i}:[t_{i},t_{i+1}]\to \mathbb {R} .

На

i

подинтервале

[a, b]

- м

S

определяется

Pi как

,

{\begin{aligned}S(t)&=P_{0}(t),&&t_{0}\leq t<t_{1},\\[2pt]S(t)&=P_{1}(t),&&t_{1}\leq t<t_{2},\\&\vdots \\S(t)&=P_{k-1}(t),&&t_{k-1}\leq t\leq t_{k}.\end{aligned}}

Данные $k + 1$ точек $t i$ называются узлами . Вектор $t = (t 0, \dots, t k)$ называется вектором узла сплайна. Если узлы равномерно распределены на интервале $[a, b],$ мы говорим, что сплайн равномерен , в противном случае мы говорим, что он неоднороден .

Если каждая из частей полинома $P i$ имеет степень не выше $n$ , то говорят, что сплайн имеет степень $\leq n$ (или порядок $n + 1$ ).

Если $S\in C^{r_{i}}$ в окрестности точки $t i$ , то сплайн называется гладким (по крайней мере) $C^{r_{i}}$ в $t я$ . То есть в момент $t i$ две части полинома $P i -1$ и $Pi имеют$ общие значения производной от производной порядка 0 (значение функции) до производной порядка $r i$ (другими словами, две соседние части полинома связаны с потерей гладкости не более $n - r i$ )

{\begin{aligned}P_{i-1}^{(0)}(t_{i})&=P_{i}^{(0)}(t_{i}),\\[2pt]P_{i-1}^{(1)}(t_{i})&=P_{i}^{(1)}(t_{i}),\\\vdots &\\P_{i-1}^{(r_{i})}(t_{i})&=P_{i}^{(r_{i})}(t_{i}).\end{aligned}}

Вектор $r = (r 1, \dots, rk такой , -1)$ что сплайн имеет гладкость $C^{r_{i}}$ в момент $t i$ для $i = 1, \dots, k - 1$ называется вектором гладкости сплайна.

Учитывая вектор узла $t$ , степень $n$ и вектор гладкости $r$ для $t$ , можно рассмотреть набор всех сплайнов степени $\leq n,$ имеющих вектор узла $t$ и вектор гладкости $r$ . Оснащенный операцией сложения двух функций (поточечное сложение) и взятия действительных кратных функций, этот набор становится реальным векторным пространством. Это сплайн-пространство обычно обозначается $S_{n}^{\mathbf {r} }(\mathbf {t} ).$

При математическом изучении полиномиальных сплайнов вопрос о том, что происходит, когда два узла, скажем, $и ti$ t $i +1,$ приближаются друг к другу и становятся совпадающими, имеет простой ответ. Кусочек полинома $Pi t ())$ исчезает, а кусочки $Pi - 1 (t соединяются с$ и $Pi + 1 (t)$ суммой потерь гладкости $ti для$ и $ti + 1$ . То есть,

S(t)\in C^{n-j_{i}-j_{i+1}}[t_{i}=t_{i+1}],

где

j я знак равно п - р я

. Это приводит к более общему пониманию вектора узла. Утрату непрерывности в любой точке можно рассматривать как результат наличия нескольких узлов, расположенных в этой точке, а тип сплайна можно полностью охарактеризовать его степенью

n

и расширенным вектором узла.

(t_{0},t_{1},\cdots ,t_{1},t_{2},\cdots ,t_{2},t_{3},\cdots ,t_{k-2},t_{k-1},\cdots ,t_{k-1},t_{k})

где $t i$ повторяется $j i$ раз для $i = 1, \dots, k - 1$ .

Параметрическая кривая на отрезке $[a, b]$

G(t)={\bigl (}X(t),Y(t){\bigr )},\quad t\in [a,b]

является сплайновой кривой , если

X

и

Y

являются сплайн-функциями одной и той же степени с одинаковыми расширенными векторами узлов на этом интервале.

Примеры [ править ]

Предположим, что интервал $[a, b]$ равен $[0, 3]$ , а подинтервалы — $[0, 1], [1, 2], [2, 3]$ . Предположим, что части полинома должны иметь степень 2, а части на $[0, 1]$ и $[1, 2]$ должны объединяться по значению и первой производной (при $t = 1$ ), а части на $[1, 2]$ и $[ 2, 3]$ объединяются просто по значению (при $t = 2$ ). Это определит тип сплайна $S (t),$ для которого

{\begin{aligned}S(t)&=P_{0}(t)=-1+4t-t^{2},&&0\leq t<1\\[2pt]S(t)&=P_{1}(t)=2t,&&1\leq t<2\\[2pt]S(t)&=P_{2}(t)=2-t+t^{2},&&2\leq t\leq 3\end{aligned}}

будет членом этого типа, а также

{\begin{aligned}S(t)&=P_{0}(t)=-2-2t^{2},&&0\leq t<1\\[2pt]S(t)&=P_{1}(t)=1-6t+t^{2},&&1\leq t<2\\[2pt]S(t)&=P_{2}(t)=-1+t-2t^{2},&&2\leq t\leq 3\end{aligned}}

был бы членом этого типа. (Примечание: хотя часть полинома $2 t$ не является квадратичной, результат по-прежнему называется квадратичным сплайном. Это показывает, что степень сплайна равна максимальной степени его полиномиальных частей.) Расширенный вектор узла для этого типа сплайна будет $(0, 1, 2, 2, 3)$ .

Самый простой сплайн имеет степень 0. Его еще называют ступенчатой функцией . Следующий по простоте сплайн имеет степень 1. Его еще называют линейным сплайном . Замкнутый линейный сплайн (т. е. первый узел и последний совпадают) на плоскости — это просто многоугольник .

Обычным сплайном является натуральный кубический сплайн . Кубический сплайн имеет степень 3 с непрерывностью $C. 2$ , т.е. значения, а также первая и вторая производные непрерывны. Естественный означает, что вторые производные сплайн-полиномов равны нулю в конечных точках интервала интерполяции.

S''(a)\,=S''(b)=0.

Таким образом, график сплайна представляет собой прямую линию вне отрезка, но все же гладкую.

Алгоритм вычисления натуральных кубических сплайнов [ править ]

Кубические сплайны имеют вид

S_{j}(x)=a_{j}+b_{j}(x-x_{j})+c_{j}(x-x_{j})^{2}+d_{j}(x-x_{j})^{3}.

Дан набор координат

C={\bigl [}(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n}){\bigr ]},

мы хотим найти набор из

n

сплайнов

S i (x)

для

i = 0, \dots, n - 1

.

Они должны удовлетворять:

{\begin{aligned}S_{i}(x_{i})&=y_{i}=S_{i-1}(x_{i}),&&i=1,\ \ldots ,\ n-1,\\[4pt]S_{0}(x_{0})&=y_{0},\\[4pt]S_{n-1}(x_{n})&=y_{n},\\[4pt]S'_{i}(x_{i})&=S'_{i-1}(x_{i}),&&i=1,\ \ldots ,\ n-1,\\[4pt]S''_{i}(x_{i})&=S''_{i-1}(x_{i}),&&i=1,\ \ldots ,\ n-1,\\[4pt]S''_{0}(x_{0})&=S''_{n-1}(x_{n})=0.\end{aligned}}

Определим один кубический сплайн $S$ как набор из 5 элементов $(a, b, c, d, x t)$ , где $a, b, c, d$ соответствуют коэффициентам в форме, показанной ранее, а $x t$ равен $x j$ .

Алгоритм расчета натуральных кубических сплайнов:
Входные данные: набор координат $C$ , где $| С | = п + 1$
Выход: установить сплайны, состоящие из $n$ пятёрок.

Создайте новый массив $a$ размером $n + 1$ и для $i = 0,\dots, n$ установите $a_{i}=y_{i}\,$
Создайте новые массивы $b$ и $d$ , каждый размером $n$ .
Создайте новый массив $h$ размера $n$ и для $i = 0,\dots, n - 1$ установите $h_{i}=x_{i+1}-x_{i}\,$
Создайте новый массив $α$ размера $n$ и для $i = 1,\dots, n - 1$ установите $\alpha _{i}={\frac {3}{h_{i}}}(a_{i+1}-a_{i})-{\frac {3}{h_{i-1}}}(a_{i}-a_{i-1}).$
Создайте новые массивы $c, l, µ, z$ , каждый размером $n + 1$ .
Набор $l_{0}=1,{\mu }_{0}=z_{0}=0\,$
Для $i = 1, \dots, n - 1$ задайте следующее: ${\begin{aligned}l_{i}&=2(x_{i+1}-x_{i-1})-h_{i-1}\mu _{i-1},\\\mu _{i}&={\frac {h_{i}}{l_{i}}},\\z_{i}&={\frac {\alpha _{i}-h_{i-1}z_{i-1}}{l_{i}}}.\end{aligned}}$
Набор $l_{n}=1;z_{n}=c_{n}=0.\,$
Для $j = n - 1, n - 2, \dots, 0$ установите следующее: ${\begin{aligned}c_{j}&=z_{j}-\mu _{j}c_{j+1},\\[4pt]b_{j}&={\frac {a_{j+1}-a_{j}}{h_{j}}}-{\frac {h_{j}(c_{j+1}+2c_{j})}{3}},\\[4pt]d_{j}&={\frac {c_{j+1}-c_{j}}{3h_{j}}}.\end{aligned}}$
Создать новый набор Splines и назови это output_set. Заполните его $n$ сплайнами $S$ .
Для $i = 0, \dots, n - 1$ зададим следующее: ${\begin{aligned}S_{i,a}=a_{i},\\S_{i,b}=b_{i},\\S_{i,c}=c_{i},\\S_{i,d}=d_{i},\\S_{i,x}=x_{i}.\end{aligned}}$
Выход output_set

Реализация С++:

#include <array>
template<int n>
std::array<std::array<float, 5>, n> natural_cubic_splines_impl(
	const std::array<float, n + 1>& x, 
	const std::array<float, n + 1>& y)
{
	std::array<float, n + 1> a;
	for (int i = 0; i <= n; i++)
		a[i] = y[i];
	std::array<float, n> b, d, h;
	for (int i = 0; i <= n - 1; i++)
		h[i] = x[i + 1] - x[i];
	std::array<float, n> alpha;
	for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
		alpha[i] = 3.0f / h[i] * (a[i + 1] - 
			a[i]) - 3.0f / h[i - 1] * (a[i] - a[i - 1]);
	std::array<float, n + 1> c, l, mu, z;
	l[0] = 1, mu[0] = z[0] = 0;
	for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
	{
		l[i] = 2 * (x[i + 1] - x[i - 1]) - h[i - 1] * mu[i - 1];
		mu[i] = h[i] / l[i];
		z[i] = (alpha[i] - h[i - 1] * z[i - 1]) / l[i];
	}
	l[n] = 1, z[n] = c[n] = 0;
	for (int j = n - 1; j >= 0; j--)
	{
		c[j] = z[j] - mu[j] * c[j + 1];
		b[j] = (a[j + 1] - a[j]) / h[j] - 
				(h[j] * (c[j + 1] + 2 * c[j])) / 3.0f;
		d[j] = (c[j + 1] - c[j]) / (3.0f * h[j]);
	}
	std::array<std::array<float, 5>, n> output_set;
	for (int i = 0; i <= n - 1; i++)
	{
		output_set[i][0] = a[i];
		output_set[i][1] = b[i];
		output_set[i][2] = c[i];
		output_set[i][3] = d[i];
		output_set[i][4] = x[i];
	}
	return output_set;
}

Примечания [ править ]

Можно задаться вопросом, какое значение имеют более чем $n$ кратных узлов в векторе узлов, поскольку это привело бы к такой непрерывности, как

S(t)\in C^{-m},\quad m>0

в месте расположения этой высокой множественности. По соглашению, любая такая ситуация указывает на простой разрыв между двумя соседними частями полинома. Это означает, что если узел

ti раз в расширенном векторе узла, все его экземпляры ,

появляется более чем

n + 1

превышающие

(n + 1)

-й , можно удалить без изменения характера сплайна, поскольку все кратности

n + 1

,

n + 2

,

n + 3

и т. д. имеют тот же смысл. Обычно предполагается, что любой вектор узла, определяющий любой тип сплайна, отбраковывается таким образом.

Классический тип сплайна степени $n,$ используемый в численном анализе, имеет непрерывность.

S(t)\in \mathrm {C} ^{n-1}[a,b],

это означает, что каждые две соседние части полинома встречаются по своему значению и первым

n - 1

производным в каждом узле. Математический сплайн, который наиболее точно моделирует плоский сплайн, представляет собой кубический (

n = 3

), дважды непрерывно дифференцируемый (

C 2

), естественный сплайн, который представляет собой сплайн этого классического типа с дополнительными условиями, наложенными в конечных точках

a

и

b

.

Другой тип сплайна, который широко используется в графике, например, в программах рисования, таких как Adobe Illustrator от Adobe Systems , имеет кубические части, но непрерывность сохраняется только в лучшем случае.

S(t)\in C^{1}[a,b].

Этот тип сплайна также используется в PostScript , а также в определении некоторых компьютерных типографских шрифтов.

Многие системы автоматизированного проектирования, предназначенные для высококачественной графики и анимации, используют расширенные векторы узлов. например Autodesk Maya . Системы автоматизированного проектирования часто используют расширенную концепцию сплайна, известную как неоднородный рациональный B-сплайн (NURBS).

Если доступны выборочные данные из функции или физического объекта, сплайн-интерполяция — это подход к созданию сплайна, аппроксимирующего эти данные.

Общее выражение для C ² интерполирующий кубический сплайн [ править ]

Общее выражение для $i-$ го $C 2$ интерполяционный кубический сплайн в точке x с естественным условием можно найти по формуле

S_{i}(x)={\frac {z_{i}(x-t_{i-1})^{3}}{6h_{i}}}+{\frac {z_{i-1}(t_{i}-x)^{3}}{6h_{i}}}+\left[{\frac {f(t_{i})}{h_{i}}}-{\frac {z_{i}h_{i}}{6}}\right](x-t_{i-1})+\left[{\frac {f(t_{i-1})}{h_{i}}}-{\frac {z_{i-1}h_{i}}{6}}\right](t_{i}-x)

где

$z_{i}=S_{i}''(t_{i})$ – значения второй производной в $i$ -м узле.
$h_{i}=t_{i}-t_{i-1}$
$f(t_{i}^{})$ – значения функции в $i$ -м узле.

Представления и имена [ править ]

Для данного интервала $[a, b]$ и данного расширенного вектора узла на этом интервале сплайны степени $n$ образуют векторное пространство . Вкратце это означает, что добавление любых двух сплайнов данного типа дает сплайн этого заданного типа, а умножение сплайна данного типа на любую константу дает сплайн этого заданного типа. Размерность пространство, содержащее все сплайны определенного типа, можно отсчитать от расширенного вектора узла:

{\begin{aligned}a&=t_{0}<\underbrace {t_{1}=\cdots =t_{1}} _{j_{1}}<\cdots <\underbrace {t_{k-2}=\cdots =t_{k-2}} _{j_{k-2}}<t_{k-1}=b\\[4pt]j_{i}&\leq n+1,\qquad i=1,\ldots ,k-2.\end{aligned}}

Размерность равна сумме степени плюс кратностей.

d=n+\sum _{i=1}^{k-2}j_{i}.

Если на тип сплайна наложены дополнительные линейные условия, то результирующий сплайн будет лежать в подпространстве. Например, пространство всех натуральных кубических сплайнов является подпространством пространства всех кубических C. ² сплайны.

Сплайновая литература изобилует названиями специальных типов сплайнов. Эти имена были связаны с:

Выбор, сделанный для представления сплайна, например:
- использование базовых функций для всего сплайна (что дало нам название B-splines )
- использование полиномов Бернштейна , использованных Пьером Безье для представления каждой части полинома (что дало нам название сплайны Безье )
Выбор, сделанный при формировании расширенного вектора узла, например:
- использование одиночных узлов для $C п -1$ непрерывность и равномерное распределение этих узлов на $[a, b]$ (что дает нам равномерные сплайны )
- использование узлов без ограничений на расстояние (что дает нам неравномерные сплайны )
Любые особые условия, наложенные на сплайн, например:
- обеспечение нулевых вторых производных в точках $a$ и $b$ (что дает нам естественные сплайны )
- требуя, чтобы заданные значения данных находились на сплайне (что дает нам интерполирующие сплайны )

Часто для типа сплайна, удовлетворяющего двум или более основным пунктам выше, выбиралось специальное имя. Например, сплайн Эрмита — это сплайн, который выражается с использованием полиномов Эрмита для представления каждой отдельной части полинома. Чаще всего они используются с $n = 3$ ; то есть как сплайны Кубического Эрмита . В этой степени их можно дополнительно выбрать только касательно-непрерывными ( $C 1$ ); откуда следует, что все внутренние узлы двойные. Было изобретено несколько методов, позволяющих подогнать такие сплайны к заданным точкам данных; то есть превратить их в интерполирующие сплайны и сделать это путем оценки правдоподобных значений касательных там, где встречаются каждые две части полинома (что дает нам кардинальные сплайны , сплайны Катмулла-Рома и сплайны Кочанека-Бартельса , в зависимости от используемого метода).

Для каждого из представлений необходимо найти некоторые средства оценки, чтобы значения сплайна можно было создавать по требованию. Для тех представлений, которые выражают каждую отдельную часть $Pi полинома (t)$ через некоторую основу для полиномов степени $n$ , это концептуально просто:

Для заданного значения аргумента $t$ найдите интервал, в котором он лежит $t\in [t_{i},t_{i+1}]$
Найдите полиномиальный базис, выбранный для этого интервала. $P_{0},\ldots ,P_{k-2}$
Найдите значение каждого базисного полинома в момент $t$ : $P_{0}(t),\ldots ,P_{k-2}(t)$
Найдите коэффициенты линейной комбинации тех базисных полиномов, которые дают сплайн на этом интервале $c 0, ..., c k -2.$
Сложите эту линейную комбинацию значений базового полинома, чтобы получить значение сплайна в точке $t$ :

\sum _{j=0}^{k-2}c_{j}P_{j}(t).

Однако этапы оценки и суммирования часто удачно комбинируются. Например, полиномы Бернштейна являются основой для полиномов, которые можно эффективно вычислять в линейных комбинациях с использованием специальных рекуррентных соотношений. В этом суть алгоритма Де Кастельжо , который представлен в кривых Безье и сплайнах Безье ).

Однако для представления, которое определяет сплайн как линейную комбинацию базисных сплайнов, необходимо что-то более сложное. Алгоритм де Бура — эффективный метод оценки B-сплайнов .

История [ править ]

До того, как стали использоваться компьютеры, численные расчеты выполнялись вручную. кусочно-определенные функции, такие как знаковая функция или ступенчатая функция Хотя использовались , обычно предпочтение отдавалось полиномам, поскольку с ними было легче работать. С появлением компьютеров сплайны приобрели важное значение. Сначала они использовались в качестве замены полиномов при интерполяции, затем как инструмент для построения гладких и гибких фигур в компьютерной графике.

Принято считать, что первой математической ссылкой на сплайны является статья Шенберга 1946 года , которая, вероятно, является первым местом, где слово «сплайн» используется в связи с гладкой, кусочно-полиномиальной аппроксимацией. Однако корни этих идей лежат в авиационной и судостроительной промышленности. В предисловии к книге (Bartels et al., 1987) Робин Форрест описывает « лофтинг » — технику, использовавшуюся в британской авиационной промышленности во время Второй мировой войны для изготовления шаблонов самолетов путем пропускания тонких деревянных полосок (так называемых « сплайнов ») через точки. Выложенный на полу большого дизайнерского лофта, техника заимствована из дизайна корпуса корабля. В течение многих лет в практике проектирования кораблей использовались модели для проектирования небольших размеров. Успешный дизайн затем был нанесен на миллиметровую бумагу, а ключевые точки графика были повторно нанесены на миллиметровую бумагу большего размера до полного размера. Тонкие деревянные полоски интерполировали ключевые точки в плавные кривые. Полоски будут удерживаться на месте в отдельных точках (названных Форрестом «утками»; Шенберг использовал «собак» или «крыс»), а между этими точками будут принимать формы с минимальной энергией деформации. По словам Форреста, одним из возможных стимулов для создания математической модели этого процесса была потенциальная потеря критически важных компонентов конструкции всего самолета в случае попадания в чердак вражеской бомбы. Это привело к появлению «конического лофтинга», в котором конические секции использовались для моделирования положения кривой между утками. В начале 1960-х годов конический лофтинг был заменен тем, что мы бы назвали сплайнами, на основе работы Дж. К. Фергюсоном в Boeing и (несколько позже) М. А. Сабином в British Aircraft Corporation .

Слово «сплайн» изначально было словом на диалекте Восточной Англии .

Использование сплайнов для моделирования автомобильных кузовов, по-видимому, имеет несколько независимых истоков. Кредит заявлен от имени де Кастельжау в Citroën , Пьера Безье в Renault и Биркгофа , Гарабедяна и де Бура в General Motors (см. Birkhoff and de Boor, 1965), все за работу, выполненную в самом начале 1960-х или в конце 1950-х годов. По крайней мере, одна из статей де Кастельжо была опубликована, но не широко, в 1959 году. Работа Де Бура в General Motors привела к тому, что в начале 1960-х годов был опубликован ряд статей, включая некоторые фундаментальные работы по B-сплайнам .

Работа также велась в Pratt & Whitney Aircraft, где работали двое авторов (Ahlberg et al., 1967) — первой книги, посвященной сплайнам, а также в «Модельном бассейне Дэвида Тейлора » Федора Тейлхаймера. Работа в General Motors подробно описана в (Birkhoff, 1990) и (Young, 1997). Дэвис (1997) резюмирует часть этого материала.

Ссылки [ править ]

Фергюсон, Джеймс С., Интерполяция кривой с несколькими переменными, J. ACM, vol. 11, нет. 2, стр. 221–228, апрель 1964 г.
Альберг, Нильсон и Уолш, Теория сплайнов и их приложения, 1967.
Биркгоф, Гидродинамика, расчеты реакторов и представление поверхности, в: Стив Нэш (ред.), История научных вычислений , 1990.
Бартельс, Битти и Барски, Введение в сплайны для использования в компьютерной графике и геометрическом моделировании, 1987.
Биркгоф и де Бур, Кусочно-полиномиальная интерполяция и аппроксимация, в: HL Garabedian (ред.), Proc. Симпозиум General Motors 1964 года, стр. 164–190. Эльзевир, Нью-Йорк и Амстердам, 1965 год.
Дэвис, B-сплайны и геометрический дизайн , SIAM News, vol. 29, нет. 5, 1996.
Эпперсон, История сплайнов , NA Digest, vol. 98, нет. 26, 1998.
Стер и Булирш, Введение в численный анализ. Спрингер-Верлаг . п. 93-106. ISBN 0387904204
Шёнберг, Вклад в проблему аппроксимации эквидистантных данных аналитическими функциями, Кварт. Прил. Матем., вып. 4, стр. 45–99 и 112–141, 1946.
Янг, Гаррет Биркгоф и прикладная математика, Уведомления AMS, том. 44, нет. 11, стр. 1446–1449, 1997.
Чапра, Канале, «Численные методы для инженеров», 5-е издание.
Ларри, Шумейкер, «Сплайн-функции: вычислительные методы», SIAM, ISBN 978-1-611973-89-1, (2015).

Внешние ссылки [ править ]

Теория

Интерактивное введение в сплайны , ibiblio.org

Функция Excel

Дополнительная функция XLL Excel Реализация кубического сплайна

Онлайн-утилиты

Онлайн-утилита интерполяции кубическим сплайном
Обучение посредством моделирования Интерактивное моделирование различных кубических сплайнов
Симметричные сплайновые кривые , анимация Теодора Грея , The Wolfram Demonstrations Project , 2007.

Компьютерный код

Примечания, PPT, Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab , Институт целостных численных методов
различные процедуры , NTCC
Sisl: C-библиотека с открытым исходным кодом для NURBS , SINTEF
Сплайн-интерполяция VBA , vbnumericalmethods.com