Кубический сплайн Эрмита

В численном анализе кубический сплайн Эрмита или кубический интерполятор Эрмита представляет собой сплайн третьей степени, , каждая часть которого представляет собой полином заданный в форме Эрмита , то есть его значениями и первыми производными в конечных точках соответствующего интервала области значений . ^[1]

Кубические сплайны Эрмита обычно используются для интерполяции числовых данных, заданных при заданных значениях аргументов. $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ , чтобы получить непрерывную функцию . Данные должны состоять из желаемого значения функции и производной в каждом $x_{k}$ . (Если указаны только значения, производные необходимо оценить по ним.) Формула Эрмита применяется к каждому интервалу $(x_{k},x_{k+1})$ отдельно. Полученный сплайн будет непрерывным и будет иметь непрерывную первую производную.

Кубические полиномиальные сплайны можно задать другими способами, кубик Безье наиболее распространенным из которых является . Однако эти два метода предоставляют один и тот же набор сплайнов, и данные можно легко преобразовать между формами Безье и Эрмита; поэтому имена часто используются так, как если бы они были синонимами.

Кубические полиномиальные сплайны широко используются в компьютерной графике и геометрическом моделировании для получения кривых движения или траекторий , проходящих через заданные точки плоскости или трехмерного пространства . В этих приложениях каждая координата плоскости или пространства отдельно интерполируется кубической сплайн-функцией отдельного параметра t . Кубические полиномиальные сплайны также широко используются в приложениях структурного анализа, таких как теория балок Эйлера – Бернулли . Кубические полиномиальные сплайны также применялись для анализа смертности. ^[2] и прогнозирование смертности. ^[3]

Кубические сплайны можно расширить до функций двух или более параметров несколькими способами. Бикубические сплайны ( бикубическая интерполяция ) часто используются для интерполяции данных в регулярной прямоугольной сетке, таких как пикселей значения в цифровом изображении или данные о высоте на местности. Бикубические участки поверхности , определяемые тремя бикубическими сплайнами, являются важным инструментом в компьютерной графике.

Кубические сплайны часто называют csplines , особенно в компьютерной графике. Сплайны Эрмита названы в честь Чарльза Эрмита .

Интерполяция на одном интервале

Единичный интервал [0, 1]

Четыре базисные функции Эрмита. Интерполянт в каждом подинтервале представляет собой линейную комбинацию этих четырех функций.

На единичном интервале $[0,1]$ , учитывая отправную точку ${\boldsymbol {p}}_{0}$ в $t=0$ и конечная точка ${\boldsymbol {p}}_{1}$ в $t=1$ с начальной касательной ${\boldsymbol {m}}_{0}$ в $t=0$ и конечная касательная ${\boldsymbol {m}}_{1}$ в $t=1$ полином может быть определен как ${\boldsymbol {p}}(t)=\left(2t^{3}-3t^{2}+1\right){\boldsymbol {p}}_{0}+\left(t^{3}-2t^{2}+t\right){\boldsymbol {m}}_{0}+\left(-2t^{3}+3t^{2}\right){\boldsymbol {p}}_{1}+\left(t^{3}-t^{2}\right){\boldsymbol {m}}_{1},$ где t ∈ [0, 1].

Интерполяция на произвольном интервале

Интерполяция $x$ в произвольном интервале $(x_{k},x_{k+1})$ осуществляется путем сопоставления последнего с $[0,1]$ посредством аффинной (степени-1) замены переменной. Формула ${\boldsymbol {p}}(x)=h_{00}(t){\boldsymbol {p}}_{k}+h_{10}(t)(x_{k+1}-x_{k}){\boldsymbol {m}}_{k}+h_{01}(t){\boldsymbol {p}}_{k+1}+h_{11}(t)(x_{k+1}-x_{k}){\boldsymbol {m}}_{k+1},$ где $t=(x-x_{k})/(x_{k+1}-x_{k})$ , и $h$ относится к базисным функциям, определенным ниже . Обратите внимание, что значения касательных были масштабированы по $x_{k+1}-x_{k}$ по сравнению с уравнением на единичном интервале.

Уникальность

Указанная выше формула обеспечивает уникальный полиномиальный путь третьей степени между двумя точками с заданными касательными.

Доказательство. Позволять $P,Q$ — два полинома третьей степени, удовлетворяющие заданным граничным условиям. Определять $R=Q-P,$ затем:

R(0)=Q(0)-P(0)=0,

R(1)=Q(1)-P(1)=0.

Поскольку оба $Q$ и $P$ являются полиномами третьей степени, $R$ является полиномом не более третьей степени. Так $R$ должно быть вида $R(x)=ax(x-1)(x-r).$ Вычисление производной дает $R'(x)=ax(x-1)+ax(x-r)+a(x-1)(x-r).$

Мы знаем, кроме того, что

R'(0)=Q'(0)-P'(0)=0,

R'(0)=0=ar,

( 1 )

R'(1)=Q'(1)-P'(1)=0,

R'(1)=0=a(1-r).

( 2 )

Сложив ( 1 ) и ( 2 ), получаем, что $a=0$ , и поэтому $R=0,$ таким образом $P=Q.$

Представительства

Мы можем записать интерполяционный полином как ${\boldsymbol {p}}(t)=h_{00}(t){\boldsymbol {p}}_{0}+h_{10}(t)(x_{k+1}-x_{k}){\boldsymbol {m}}_{0}+h_{01}(t){\boldsymbol {p}}_{1}+h_{11}(t)(x_{k+1}-x_{k}){\boldsymbol {m}}_{1}$ где $h_{00}$ , $h_{10}$ , $h_{01}$ , $h_{11}$ являются базисными функциями Эрмита.Их можно записать по-разному, каждый из которых раскрывает разные свойства:

	расширенный	факторизованный	Бернштейн
$h_{00}(t)$	$2t^{3}-3t^{2}+1$	$(1+2t)(1-t)^{2}$	$B_{0}(t)+B_{1}(t)$
$h_{10}(t)$	$t^{3}-2t^{2}+t$	$t(1-t)^{2}$	${\tfrac {1}{3}}B_{1}(t)$
$h_{01}(t)$	$-2t^{3}+3t^{2}$	$t^{2}(3-2t)$	$B_{3}(t)+B_{2}(t)$
$h_{11}(t)$	$t^{3}-t^{2}$	$t^{2}(t-1)$	$-{\tfrac {1}{3}}B_{2}(t)$

В «развернутом» столбце показано представление, использованное в приведенном выше определении.Столбец «факторизованный» сразу показывает, что $h_{10}$ и $h_{11}$ на границах равны нулю.Далее вы можете сделать вывод, что $h_{01}$ и $h_{11}$ иметь нуль кратности 2 в 0, и $h_{00}$ и $h_{10}$ имеют такой ноль в 1, поэтому на этих границах они имеют наклон 0.В столбце «Бернштейн» показано разложение базисных функций Эрмита на полиномы Бернштейна третьего порядка: $B_{k}(t)={\binom {3}{k}}\cdot t^{k}\cdot (1-t)^{3-k}.$

Используя эту связь, вы можете выразить кубическую интерполяцию Эрмита через кубические кривые Безье относительно четырех значений. ${\textstyle {\boldsymbol {p}}_{0},{\boldsymbol {p}}_{0}+{\frac {1}{3}}{\boldsymbol {m}}_{0},{\boldsymbol {p}}_{1}-{\frac {1}{3}}{\boldsymbol {m}}_{1},{\boldsymbol {p}}_{1}}$ и делаем интерполяцию Эрмита с помощью алгоритма де Кастельжо .Он показывает, что в кубическом патче Безье две контрольные точки в середине определяют касательные интерполяционной кривой в соответствующих внешних точках.

Мы также можем записать полином в стандартной форме как ${\boldsymbol {p}}(t)=\left(2{\boldsymbol {p}}_{0}+{\boldsymbol {m}}_{0}-2{\boldsymbol {p}}_{1}+{\boldsymbol {m}}_{1}\right)t^{3}+\left(-3{\boldsymbol {p}}_{0}+3{\boldsymbol {p}}_{1}-2{\boldsymbol {m}}_{0}-{\boldsymbol {m}}_{1}\right)t^{2}+{\boldsymbol {m}}_{0}t+{\boldsymbol {p}}_{0}$ где контрольные точки и касательные являются коэффициентами. Это позволяет эффективно оценивать полином при различных значениях t, поскольку постоянные коэффициенты можно вычислить один раз и использовать повторно.

Интерполяция набора данных

Набор данных, $(x_{k},{\boldsymbol {p}}_{k})$ для $k=1,\ldots ,n$ , можно интерполировать, применив описанную выше процедуру к каждому интервалу, где касательные выбираются разумным образом, что означает, что касательные для интервалов, имеющих общие конечные точки, равны. Тогда интерполированная кривая состоит из кусочно-кубических сплайнов Эрмита и глобально непрерывно дифференцируема по $(x_{1},x_{n})$ .

Выбор касательных не уникален, доступно несколько вариантов.

Конечная разница

Самый простой выбор — разница в три пункта, не требующая постоянной длины интервала:

{\boldsymbol {m}}_{k}={\frac {1}{2}}\left({\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k}}{x_{k+1}-x_{k}}}+{\frac {{\boldsymbol {p}}_{k}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}}\right)

для внутренних точек $k=2,\dots ,n-1$ и односторонняя разница в конечных точках набора данных.

Кардинальный сплайн

Кардинальный сплайн , иногда называемый каноническим сплайном . ^[4] получается ^[5] если

{\boldsymbol {m}}_{k}=(1-c){\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{x_{k+1}-x_{k-1}}}

используется для вычисления тангенсов. Параметр $c$ — это параметр натяжения , который должен находиться в интервале $[0, 1]$ . В каком-то смысле это можно интерпретировать как «длину» касательной. Выбор $c = 1$ дает все нулевые касательные, а выбор $c = 0$ дает сплайн Катмулла – Рома в случае равномерной параметризации.

Сплайн Катмулла – Рома

Для касательных, выбранных в качестве

{\boldsymbol {m}}_{k}={\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{2}}

сплайна . получен сплайн Катмулла–Рома, являющийся частным случаем кардинального Это предполагает равномерное расстояние между параметрами.

Кривая названа в честь Эдвина Кэтмалла и Рафаэля Рома . Основное преимущество этого метода заключается в том, что точки исходного набора точек также являются контрольными точками сплайновой кривой. ^[7] На обоих концах кривой требуются две дополнительные точки. Единая реализация Catmull-Rom может создавать циклы и самопересечения. Хордальная и Катмулла – Рома. центростремительная реализации ^[8] решите эту задачу, но используйте немного другой расчет. ^[9] В компьютерной графике сплайны Катмулла-Рома часто используются для получения плавного интерполированного движения между ключевыми кадрами . Например, большинство анимаций траектории камеры, созданных на основе дискретных ключевых кадров, обрабатываются с помощью сплайнов Catmull-Rom. Они популярны главным образом потому, что их относительно легко вычислить, они гарантируют точное попадание в каждую позицию ключевого кадра, а также гарантируют, что касательные сгенерированной кривой непрерывны на нескольких сегментах.

Сплайн Кочанека – Бартельса

Сплайн Кочанека – Бартельса представляет собой дальнейшее обобщение того, как выбирать касательные с учетом точек данных. ${\boldsymbol {p}}_{k-1}$ , ${\boldsymbol {p}}_{k}$ и ${\boldsymbol {p}}_{k+1}$ , с тремя возможными параметрами: напряжением, смещением и параметром непрерывности.

Монотонная кубическая интерполяция

набора данных используется кубический сплайн Эрмита любого из перечисленных выше типов для интерполяции монотонного Если , интерполируемая функция не обязательно будет монотонной, но монотонность можно сохранить путем регулировки тангенсов.

Интерполяция на единичном интервале с совпадающими производными в конечных точках

Рассмотрим единую координату точек ${\boldsymbol {p}}_{n-1},{\boldsymbol {p}}_{n},{\boldsymbol {p}}_{n+1}$ и ${\boldsymbol {p}}_{n+2}$ как значения, которые функция f ( x ) принимает в целочисленных ординатах x = n - 1, n , n + 1 и n + 2,

p_{n}=f(n)\quad \forall n\in \mathbb {Z} .

Кроме того, предположим, что касательные в конечных точках определяются как центрированные разности соседних точек: $m_{n}={\frac {f(n+1)-f(n-1)}{2}}={\frac {p_{n+1}-p_{n-1}}{2}}\quad \forall n\in \mathbb {Z} .$

Чтобы оценить интерполированное значение f ( x ) для действительного x , сначала разделите x на целую часть n и дробную часть u :

x=n+u,

n=\lfloor x\rfloor =\operatorname {floor} (x),

u=x-n=x-\lfloor x\rfloor ,

0\leq u<1,

где $\lfloor x\rfloor$ обозначает функцию пола , которая возвращает наибольшее целое число, не превышающее x .

Тогда сплайн Катмулла–Рома будет ^[10] ${\begin{aligned}f(x)=f(n+u)&={\text{CINT}}_{u}(p_{n-1},p_{n},p_{n+1},p_{n+2})\\&={\begin{bmatrix}1&u&u^{2}&u^{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1&0&0\\-{\tfrac {1}{2}}&0&{\tfrac {1}{2}}&0\\1&-{\tfrac {5}{2}}&2&-{\tfrac {1}{2}}\\-{\tfrac {1}{2}}&{\tfrac {3}{2}}&-{\tfrac {3}{2}}&{\tfrac {1}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{n-1}\\p_{n}\\p_{n+1}\\p_{n+2}\end{bmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}-u^{3}+2u^{2}-u\\3u^{3}-5u^{2}+2\\-3u^{3}+4u^{2}+u\\u^{3}-u^{2}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }{\begin{bmatrix}p_{n-1}\\p_{n}\\p_{n+1}\\p_{n+2}\end{bmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}u{\big (}(2-u)u-1{\big )}\\u^{2}(3u-5)+2\\u{\big (}(4-3u)u+1{\big )}\\u^{2}(u-1)\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }{\begin{bmatrix}p_{n-1}\\p_{n}\\p_{n+1}\\p_{n+2}\end{bmatrix}}\\&={\tfrac {1}{2}}{\Big (}{\big (}u^{2}(2-u)-u{\big )}p_{n-1}+{\big (}u^{2}(3u-5)+2{\big )}p_{n}+{\big (}u^{2}(4-3u)+u{\big )}p_{n+1}+u^{2}(u-1)p_{n+2}{\Big )}\\&={\tfrac {1}{2}}{\big (}(-u^{3}+2u^{2}-u)p_{n-1}+(3u^{3}-5u^{2}+2)p_{n}+(-3u^{3}+4u^{2}+u)p_{n+1}+(u^{3}-u^{2})p_{n+2}{\big )}\\&={\tfrac {1}{2}}{\big (}(-p_{n-1}+3p_{n}-3p_{n+1}+p_{n+2})u^{3}+(2p_{n-1}-5p_{n}+4p_{n+1}-p_{n+2})u^{2}+(-p_{n-1}+p_{n+1})u+2p_{n}{\big )}\\&={\tfrac {1}{2}}{\Big (}{\big (}(-p_{n-1}+3p_{n}-3p_{n+1}+p_{n+2})u+(2p_{n-1}-5p_{n}+4p_{n+1}-p_{n+2}){\big )}u+(-p_{n-1}+p_{n+1}){\Big )}u+p_{n},\end{aligned}}$ где $\mathrm {T}$ обозначает транспонирование матрицы . Нижнее равенство изображает применение метода Горнера .

Эта запись актуальна для трикубической интерполяции , где одна оптимизация требует вычисления CINT _u шестнадцать раз с одинаковыми u и разными p .

См. также

Бикубическая интерполяция , обобщение на два измерения.
Трикубическая интерполяция , обобщение на три измерения.
Интерполяция Эрмита
Многомерная интерполяция
Сплайн-интерполяция
Дискретная сплайн-интерполяция

Ссылки

^ Эрвин Крейциг (2005). Высшая инженерная математика (9-е изд.). Уайли. п. 816. ИСБН 9780471488859 .
^ Стивен Ричардс (2020). «Сплайновая модель Эрмита послепенсионной смертности». Скандинавский актуарный журнал . Тейлор и Фрэнсис: 110–127. дои : 10.1080/03461238.2019.1642239 .
^ Сиксиан Тан, Джеки Ли и Леони Тикл (2022). «Сплайновый подход Эрмита для моделирования смертности населения». Анналы актуарной науки . Издательство Кембриджского университета: 1–42. дои : 10.1017/S1748499522000173 .
^ Петцольд, Чарльз (2009). «Канонические сплайны в WPF и Silverlight» .
^ «Кардинальные сплайны» . Сеть разработчиков Microsoft . Проверено 27 мая 2018 г.
^ Кубическая интерполяция не уникальна: эта модель, использующая сплайн Катмулла-Рома и базисные полиномы Лагранжа, проходит через все четыре точки. Примечание. Если черная точка находится слева от желтой точки, расстояние по горизонтали желтого будет отрицательным; если черная точка находится справа от зеленой точки, зеленое расстояние по горизонтали отрицательное.
^ Кэтмалл, Эдвин ; Ром, Рафаэль (1974), «Класс локальных интерполирующих сплайнов», в Барнхилле, РЭ; Ризенфельд, РФ (ред.), Компьютерное геометрическое проектирование , Нью-Йорк: Academic Press, стр. 317–326.
^ Н. Дин, М.С. Флоатер и К. Хорманн. Подразделение кривой по четырем точкам на основе повторяющихся хордальных и центростремительных параметризаций. Компьютерное геометрическое проектирование, 26(3):279–286, 2009.
^ П. Дж. Барри и Р. Н. Голдман. Алгоритм рекурсивного вычисления для класса сплайнов Катмулла-Рома. SIGGRAPH Компьютерная графика, 22 (4): 199–204, 1988.
^ Две иерархии сплайн-интерполяций. Практические алгоритмы для многомерных сплайнов высшего порядка .

Внешние ссылки

Сплайновые кривые , Университет профессора Дональда Х. Хауса Клемсона
Многомерная интерполяция и аппроксимация Эрмита , профессор Чандраджит Баджадж, Университет Пердью
Введение в сплайны Катмулла – Рома , MVPs.org
Интерполяция кардинальных сплайнов и сплайнов Катмулла – Рома
Методы интерполяции: линейный, косинусный, кубический и эрмитный (с источниками C)
Общие сплайновые уравнения

[kreyszig-1] Эрвин Крейциг (2005). Высшая инженерная математика (9-е изд.). Уайли. п. 816. ИСБН 9780471488859 .

[richards-2] Стивен Ричардс (2020). «Сплайновая модель Эрмита послепенсионной смертности». Скандинавский актуарный журнал . Тейлор и Фрэнсис: 110–127. дои : 10.1080/03461238.2019.1642239 .

[tanglieandtickle-3] Сиксиан Тан, Джеки Ли и Леони Тикл (2022). «Сплайновый подход Эрмита для моделирования смертности населения». Анналы актуарной науки . Издательство Кембриджского университета: 1–42. дои : 10.1017/S1748499522000173 .

[4] Петцольд, Чарльз (2009). «Канонические сплайны в WPF и Silverlight» .

[5] «Кардинальные сплайны» . Сеть разработчиков Microsoft . Проверено 27 мая 2018 г.

[6] Кубическая интерполяция не уникальна: эта модель, использующая сплайн Катмулла-Рома и базисные полиномы Лагранжа, проходит через все четыре точки. Примечание. Если черная точка находится слева от желтой точки, расстояние по горизонтали желтого будет отрицательным; если черная точка находится справа от зеленой точки, зеленое расстояние по горизонтали отрицательное.

[7] Кэтмалл, Эдвин ; Ром, Рафаэль (1974), «Класс локальных интерполирующих сплайнов», в Барнхилле, РЭ; Ризенфельд, РФ (ред.), Компьютерное геометрическое проектирование , Нью-Йорк: Academic Press, стр. 317–326.

[8] Н. Дин, М.С. Флоатер и К. Хорманн. Подразделение кривой по четырем точкам на основе повторяющихся хордальных и центростремительных параметризаций. Компьютерное геометрическое проектирование, 26(3):279–286, 2009.

[9] П. Дж. Барри и Р. Н. Голдман. Алгоритм рекурсивного вычисления для класса сплайнов Катмулла-Рома. SIGGRAPH Компьютерная графика, 22 (4): 199–204, 1988.

[10] Две иерархии сплайн-интерполяций. Практические алгоритмы для многомерных сплайнов высшего порядка .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]