Дискретная сплайн-интерполяция

области численного анализа В математической дискретная сплайн-интерполяция — это форма интерполяции , при которой интерполянт представляет собой особый тип кусочного полинома, называемый дискретным сплайном. Дискретный сплайн — это кусочный полином, у которого его центральные разности непрерывны сплайн в узлах, тогда как производные — это кусочный полином, у которого его непрерывны в узлах. Дискретные кубические сплайны — это дискретные сплайны, в которых центральные разности порядков 0, 1 и 2 должны быть непрерывными.

Дискретные сплайны были введены Мангасарином и Шумейкером в 1971 году как решение некоторых задач минимизации, связанных с различиями.

Дискретные кубические сплайны

Пусть x ₁ , x ₂ , . . ., x _{n -1} — возрастающая последовательность действительных чисел. Пусть g ( x ) — кусочный полином, определяемый формулой

$g(x)={\begin{cases}g_{1}(x)&x<x_{1}\\g_{i}(x)&x_{i-1}\leq x<x_{i}{\text{ for }}i=2,3,\ldots ,n-1\\g_{n}(x)&x\geq x_{n-1}\end{cases}}$

где g ₁ ( x ), . . ., gn _Если ( x ) — многочлены степени 3. Пусть h > 0.

$(g_{i+1}-g_{i})(x_{i}+jh)=0{\text{ for }}j=-1,0,1{\text{ and }}i=1,2,\ldots ,n-1$

тогда g ( x ) называется дискретным кубическим сплайном.

Альтернативная формулировка 1

Условия, определяющие дискретный кубический сплайн, эквивалентны следующим:

$g_{i+1}(x_{i}-h)=g_{i}(x_{i}-h)$

$g_{i+1}(x_{i})=g_{i}(x_{i})$

$g_{i+1}(x_{i}+h)=g_{i}(x_{i}+h)$

Альтернативная формулировка 2

Центральные разности порядков 0, 1 и 2 функции f ( x ) определяются следующим образом:

$D^{(0)}f(x)=f(x)$

$D^{(1)}f(x)={\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}$

$D^{(2)}f(x)={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}$

Условия, определяющие дискретный кубический сплайн, также эквивалентны

$D^{(j)}g_{i+1}(x_{i})=D^{(j)}g_{i}(x_{i}){\text{ for }}j=0,1,2{\text{ and }}i=1,2,\ldots ,n-1.$

Это говорит о том, что основные различия $D^{(j)}g(x)$ непрерывны в точке x _i .

Пример

Пусть x ₁ = 1 и x ₂ = 2, так что n = 3. Следующая функция определяет дискретный кубический сплайн:

$g(x)={\begin{cases}x^{3}&x<1\\x^{3}-2(x-1)((x-1)^{2}-h^{2})&1\leq x<2\\x^{3}-2(x-1)((x-1)^{2}-h^{2})+(x-2)((x-2)^{2}-h^{2})&x\geq 2\end{cases}}$

Дискретный кубический сплайн-интерполянт

Пусть x ₀ < x ₁ и x _n > x _{n -1} и f ( x ) — функция, определенная в замкнутом интервале [ x ₀ - h, x _n + h]. Тогда существует единственный кубический дискретный сплайн g ( x ), удовлетворяющий следующим условиям:

$g(x_{i})=f(x_{i}){\text{ for }}i=0,1,\ldots ,n.$

$D^{(1)}g_{1}(x_{0})=D^{(1)}f(x_{0}).$

$D^{(1)}g_{n}(x_{n})=D^{(1)}f(x_{n}).$

Этот уникальный дискретный кубический сплайн является дискретным сплайном, интерполяционным к f ( x ) в интервале [ x ₀ - h, x _n + h]. Этот интерполянт согласуется со значениями f ( x ) в точках x ₀ , x ₁ , . . ., х _н .

Приложения

• Дискретные кубические сплайны изначально были введены как решение некоторых задач минимизации.
• У них есть приложения для вычисления нелинейных сплайнов.
• Они используются для получения приближенного решения краевой задачи второго порядка.
• Дискретные интерполяционные сплайны использовались для построения биортогональных вейвлетов.