Суперэллипс

Примеры суперэллипсов для $a=1,\ b=0.75$

Суперэллипс , также известный как кривая Ламе в честь Габриэля Ламе , представляет собой замкнутую кривую, напоминающую эллипс , сохраняющую геометрические особенности большой полуоси и малой полуоси , а также симметрию относительно них, но другую общую форму.

В декартовой системе координат множество всех точек $(x,y)$ на кривой удовлетворяют уравнению

$$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,$$

где $n,a$ и $b$ являются положительными числами, а вертикальные полосы вокруг числа указывают абсолютное значение числа. Трехмерное обобщение называется суперэллипсоидом (в некоторых литературах его также называют суперквадриками ).

В полярной системе координат уравнение суперэллипса имеет вид (множество всех точек $(r,\theta )$ на кривой удовлетворяют уравнению):

$$r=\left(\left|{\frac {\cos(\theta )}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {\sin(\theta )}{b}}\right|^{n}\!\right)^{-1/n}\!.$$

Конкретные случаи

Эта формула определяет замкнутую кривую, содержащуюся в прямоугольнике – a ≤ x ≤ + a и – b ≤ y ≤ + b . Параметры a и b называются полудиаметрами кривой.Общая форма кривой определяется значением показателя степени n , как показано в следующей таблице:

$0<n<1$	Суперэллипс выглядит как четырехконечная звезда с вогнутыми (загнутыми внутрь) сторонами. В частности, при n = 1/2 каждая из четырех дуг является сегментом параболы . Астроид — это частный случай a = b , n = 2/3.	Суперэллипс с n = 1 ⁄ 2 , а = б = 1
$n=1$	Кривая представляет собой ромб с углами (± a , 0) и (0, ± b ).
$1<n<2$	Кривая имеет вид ромба с такими же углами, но с выпуклыми (выгнутыми наружу) сторонами. Кривизна увеличивается без ограничений по мере приближения к крайним точкам.	Суперэллипс с n = 3 ⁄ 2 , а = б = 1
$n=2$	Кривая представляет собой обычный эллипс (в частности, круг , если a = b ).
$n>2$	Кривая внешне выглядит как прямоугольник с закругленными углами. Кривизна равна нулю в точках (± a , 0) и (0, ± b ).	Сквиркл , суперэллипс с n = 4, a = b = 1

Если n < 2, фигуру еще называют гипоэллипсом ; если n > 2, гиперэллипс .

Когда n ≥ 1 и a = b суперэллипс является границей шара R , ² в n -норме .

Крайние точки суперэллипса — это (± a , 0) и (0, ± b ), а его четыре «угла» — (± sa , ± sb ), где $s=2^{-1/n}$ (иногда называемый «сверхспособностью» ).

Математические свойства

Когда n — положительное рациональное число p / q (в низших терминах), то каждый квадрант суперэллипса представляет собой плоскую алгебраическую кривую порядка pq . В частности, когда a = b = 1 и n — четное целое число, то это кривая Ферма степени n . В этом случае оно неособое, но вообще оно будет сингулярным . Если числитель нечетный, то кривая состоит из частей одной и той же алгебраической кривой в разных ориентациях.

Кривая задается параметрическими уравнениями (с параметром $t$ не имея элементарной геометрической интерпретации)

$$\left.{\begin{aligned}x\left(t\right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}t\\y\left(t\right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}t\end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}$$

где каждое ± можно выбрать отдельно так, чтобы каждое значение $t$ дает четыре точки на кривой. Эквивалентно, позволяя $t$ диапазон более $0\leq t<2\pi ,$

$${\begin{aligned}x\left(t\right)&={\left|\cos t\right|}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={\left|\sin t\right|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t)\end{aligned}}$$

где функция знаковая

$$\operatorname {sgn}(w)={\begin{cases}-1,&w<0\\0,&w=0\\+1,&w>0.\end{cases}}$$

Здесь $t$ не является углом между положительной горизонтальной осью и лучом от начала координат до точки, так как тангенс этого угла равен y / x, тогда как в параметрических выражениях ${\textstyle {\frac {y}{x}}={\frac {b}{a}}(\tan t)^{2/n}\neq \tan t.}$

Площадь

Площадь внутри суперэллипса можно выразить через гамма-функцию как

$$\mathrm {Area} =4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}},$$

или с точки зрения бета-функции как

$\mathrm {Area} ={\frac {4ab}{n}}\mathrm {B} \!\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}+1\right).$

Периметр

Периметр суперэллипса , как и периметр эллипса , не допускает решения в замкнутой форме, используя только элементарные функции . Точные решения для периметра суперэллипса существуют с использованием бесконечного суммирования ; их можно было бы усечь для получения приближенных решений. Численное интегрирование — еще один вариант получения оценок периметра с произвольной точностью.

Аппроксимация в закрытой форме, полученная с помощью символьной регрессии, также является вариантом, сочетающим в себе экономию и точность. Рассмотрим суперэллипс с центром в начале двумерной плоскости. Теперь представьте, что суперэллипс (с параметром формы $n$) растянута так, что первый квадрант (например, $x>0$, $y>0$) представляет собой дугу из $(1,0)$ к $(0,h)$, с $h\geq 1$. Затем длина дуги суперэллипса внутри этого квадранта аппроксимируется следующей функцией $h$ и $n$:

h + (((((n-0.88487077) * h + 0.2588574 / h) ^ exp(n / -0.90069205)) + h) + 0.09919785) ^ (-1.4812293 / n)

Это приближение длины дуги в одном квадранте имеет точность в пределах ±0,2% для всех значений $n$и может использоваться для эффективной оценки общего периметра суперэллипса.

Кривая педали

Кривую педали относительно легко вычислить. В частности, педаль

$$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,$$

дается в полярных координатах выражением

$$(a\cos \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}+(b\sin \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}=r^{\tfrac {n}{n-1}}.$$

Обобщения

Вариации суперэллипса с разными показателями

Суперэллипс далее обобщается как:

$$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1;\qquad m,n>0.$$

или

$${\begin{aligned}x\left(t\right)&={\left|\cos t\right|}^{\frac {2}{m}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={\left|\sin t\right|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t).\end{aligned}}$$

Обратите внимание, что $t$ — параметр, не связанный с физическим углом через элементарные функции.

История

Общее декартово обозначение формы принадлежит французскому математику Габриэлю Ламе (1795–1870), который обобщил уравнение эллипса.

Внешние контуры букв «о» и «О» в шрифте Melior Цапфа описываются суперэллипсами с n = log(1/2) / log (7/9) ≈ 2,758.

Германа Цапфа , В шрифте Melior опубликованном в 1952 году, для таких букв, как o , используются суперэллипсы . Тридцать лет спустя Дональд Кнут встроил возможность выбора между истинными эллипсами и суперэллипсами (оба аппроксимированными кубическими сплайнами ) в свое семейство шрифтов Computer Modern .

Центральный фонтан Сергельсторга очерчен суперэллипсом с n = 2,5 и a / b = 6/5.

Название суперэллипсу дал датский поэт и учёный Пит Хейн (1905–1996), хотя он и не открыл его, как иногда утверждают. В 1959 году градостроители Стокгольма ( Швеция ) объявили о конкурсе на проектирование кольцевой развязки на городской площади Сергельс Торг . Победившее предложение Пита Хейна основывалось на суперэллипсе с n = 2,5 и a / b = 6/5. Как он это объяснил:

Человек — это животное, которое рисует линии, о которые потом сам спотыкается. Во всей модели цивилизации существовало две тенденции: одна — к прямым линиям и прямоугольным узорам, другая — к круговым линиям. Обе тенденции имеют свои причины, механические и психологические. Вещи, выполненные с прямыми линиями, хорошо сочетаются друг с другом и экономят пространство. И мы можем легко перемещаться — физически или мысленно — вокруг предметов, сделанных из круглых линий. Но мы находимся в смирительной рубашке и вынуждены принимать то или другое, хотя зачастую лучше использовать промежуточную форму. Нарисовать что-то от руки — например, лоскутную развязку, которую они попробовали в Стокгольме, — не получится. Он не фиксирован, не определен, как круг или квадрат. Вы не знаете, что это такое. Это не эстетично. Суперэллипс решил проблему. Он не круглый и не прямоугольный, а нечто среднее. Однако оно фиксировано, оно определённо, оно имеет единство.

Сергельсторг был завершен в 1967 году. Тем временем Пит Хейн продолжал использовать суперэллипс в других артефактах, таких как кровати, блюда, столы и т. д. Вращая суперэллипс вокруг самой длинной оси, он создал суперяйцо , твёрдую яйцеобразную форму, которая могла стоять вертикально на плоской поверхности и продавалась как новинка .

В 1968 году, когда участники переговоров в Париже по поводу войны во Вьетнаме не смогли договориться о форме стола для переговоров, Балински, Кирон Андервуд и Холт в письме в газету « Нью-Йорк Таймс» предложили использовать суперэллиптический стол . Суперэллипс был использован в форме Олимпийского стадиона Ацтека 1968 года в Мехико .

Второй этаж первоначального Всемирного торгового центра в Нью-Йорке представлял собой большой нависающий балкон в форме суперэллипса.

Уолдо Р. Тоблер разработал картографическую проекцию , гиперэллиптическую проекцию Тоблера , опубликованную в 1973 году. в которой меридианы представляют собой дуги суперэллипсов.

Логотип новостной компании The Local представляет собой наклоненный суперэллипс, соответствующий пропорциям Сергельс Торга. В логотипе « Питтсбург Стилерс» используются три соединенных суперэллипса .

В вычислениях мобильная операционная система iOS использует кривую суперэллипса для значков приложений, заменяя стиль закругленных углов, использовавшийся до версии 6.

См. также

• Астроид , суперэллипс с n = 2 ⁄ 3 и a = b — гипоциклоида с четырьмя точками возврата.
  • Дельтовидная кривая , гипоциклоида трех створок.
• Сквиркл , суперэллипс с n = 4 и a = b , выглядит как «Четырёхугольное колесо».
  • Треугольник Рело , «Треугольное колесо».
• Суперформула , обобщение суперэллипса.
• Суперквадрики : суперэллипсоиды и супертороиды , трёхмерные «родственники» суперэллипсов.
• Суперэллиптическая кривая , уравнение вида Y ^н знак равно ж ( Икс ).
• л ^п пространства

Внешние ссылки

• Соколов, Д.Д. (2001) [1994], «Кривая Ламе» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• «Кривая Ламе» в MathCurve.
• Вайсштейн, Эрик В. «Суперэллипс» . Математический мир .
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Хромые кривые» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• «Супер Эллипс» на 2dcurves.com
• Калькулятор суперэллипсов и генератор шаблонов
• Набор инструментов для подгонки суперэллипсов в MATLAB
• Код C для подгонки суперэллипсов