Суперэллипс

Суперэллипс эллипс , также известный как кривая Ламе в честь Габриэля Ламе , представляет собой замкнутую кривую, напоминающую , сохраняющую геометрические особенности большой полуоси и малой полуоси , а также симметрию относительно них, но другую общую форму.

В декартовой системе координат множество всех точек $(x,y)$ на кривой удовлетворяют уравнению

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,

где

n,a

и

b

являются положительными числами, а вертикальные полосы вокруг числа указывают абсолютное значение числа. Трехмерное обобщение называется суперэллипсоидом (в некоторых литературах его также называют суперквадриками ). ^[1]^[2]

В полярной системе координат уравнение суперэллипса имеет вид (множество всех точек $(r,\theta )$ на кривой удовлетворяют уравнению):

r=\left(\left|{\frac {\cos(\theta )}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {\sin(\theta )}{b}}\right|^{n}\!\right)^{-1/n}\!.

Конкретные случаи [ править ]

Эта формула определяет замкнутую кривую , содержащуюся в прямоугольнике $- a \leq x \leq + a$ и $- b \leq y \leq + b$ . Параметры a и b называются полудиаметрами кривой. Общая форма кривой определяется значением показателя степени n , как показано в следующей таблице:

$0<n<1$	Суперэллипс выглядит как четырехконечная звезда с вогнутыми (загнутыми внутрь) сторонами. В частности, при n = 1/2 каждая из четырех дуг является сегментом параболы . Астроид — это частный случай a = b , n = 2/3.	Суперэллипс с n = 1 ⁄ 2 , а = б = 1
$n=1$	Кривая представляет собой ромб с углами (± a , 0) и (0, ± b ).
$1<n<2$	Кривая имеет вид ромба с такими же углами, но с выпуклыми (выгнутыми наружу) сторонами. Кривизна увеличивается без ограничений по мере приближения к крайним точкам.	Суперэллипс с n = 3 ⁄ 2 , а = б = 1
$n=2$	Кривая представляет собой обычный эллипс (в частности, круг , если a = b ).
$n>2$	Кривая внешне выглядит как прямоугольник с закругленными углами. Кривизна равна нулю в точках (± a , 0) и (0, ± b ).	Сквиркл , суперэллипс с n = 4, a = b = 1

Если n < 2, фигуру еще называют гипоэллипсом ; если n > 2, гиперэллипс .

Когда n ≥ 1 и a = b границей шара R , суперэллипс является ² в n -норме .

Крайние точки суперэллипса — это (± a , 0) и (0, ± b ), а его четыре «угла» — (± sa , ± sb ), где $s=2^{-1/n}$ (иногда называемый «сверхспособностью» ^[3]).

Математические свойства [ править ]

Когда n — положительное рациональное число p / q (в низших терминах), то каждый квадрант суперэллипса представляет собой плоскую алгебраическую кривую порядка pq . ^[4]В частности, когда a = b = 1 и n — четное целое число, то это кривая Ферма степени n . В этом случае оно неособое, но вообще оно будет сингулярным . Если числитель нечетный, то кривая состоит из частей одной и той же алгебраической кривой в разных ориентациях.

Кривая задается параметрическими уравнениями (с параметром $t$ не имея элементарной геометрической интерпретации)

\left.{\begin{aligned}x\left(t\right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}t\\y\left(t\right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}t\end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}

где каждое ± можно выбрать отдельно так, чтобы каждое значение $t$ дает четыре точки на кривой. Эквивалентно, позволяя $t$ диапазон более $0\leq t<2\pi ,$

{\begin{aligned}x\left(t\right)&={\left|\cos t\right|}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={\left|\sin t\right|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t)\end{aligned}}

где функция знаковая

\operatorname {sgn}(w)={\begin{cases}-1,&w<0\\0,&w=0\\+1,&w>0.\end{cases}}

Здесь $t$ не является углом между положительной горизонтальной осью и лучом от начала координат до точки, так как тангенс этого угла равен y / x , тогда как в параметрических выражениях ${\textstyle {\frac {y}{x}}={\frac {b}{a}}(\tan t)^{2/n}\neq \tan t.}$

Площадь [ править ]

Площадь гамма - внутри суперэллипса можно выразить через функцию как

\mathrm {Area} =4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}},

или с точки зрения бета-функции как

\mathrm {Area} ={\frac {4ab}{n}}\mathrm {B} \!\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}+1\right).

Периметр [ править ]

Периметр решения в суперэллипса, как и периметр эллипса , не допускает замкнутой форме, используя только элементарные функции . Точные решения для периметра суперэллипса существуют с использованием бесконечного суммирования ; ^[5]их можно было бы усечь для получения приближенных решений. Численное интегрирование — еще один вариант получения оценок периметра с произвольной точностью.

Аппроксимация в закрытой форме, полученная с помощью символической регрессии, также является вариантом, который сочетает в себе экономию и точность. Рассмотрим суперэллипс с центром в начале двумерной плоскости. Теперь представьте, что суперэллипс (с параметром формы $n$ ) растянута так, что первый квадрант (например, $x>0$ , $y>0$ ) представляет собой дугу из $(1,0)$ к $(0,h)$ , с $h\geq 1$ . Затем длина дуги суперэллипса внутри этого квадранта аппроксимируется следующей функцией $h$ и $n$ : ^[6]

h + (((((n-0.88487077) * h + 0.2588574 / h) ^ exp(n / -0.90069205)) + h) + 0.09919785) ^ (-1.4812293 / n)

Это приближение длины дуги в одном квадранте имеет точность в пределах ±0,2% для всех значений $n$ и может использоваться для эффективной оценки общего периметра суперэллипса.

Кривая педали [ править ]

относительно Кривую педали легко вычислить. В частности, педаль

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,

дается в полярных координатах выражением ^[7]

(a\cos \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}+(b\sin \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}=r^{\tfrac {n}{n-1}}.

Обобщения [ править ]

Вариации суперэллипса с разными показателями

Суперэллипс далее обобщается как:

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1;\qquad m,n>0.

или

{\begin{aligned}x\left(t\right)&={\left|\cos t\right|}^{\frac {2}{m}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={\left|\sin t\right|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t).\end{aligned}}

Обратите внимание, что $t$ — параметр, не связанный с физическим углом через элементарные функции.

История [ править ]

Общее декартово обозначение формы принадлежит французскому математику Габриэлю Ламе (1795–1870), который обобщил уравнение эллипса.

Внешние контуры букв «о» и «О» в шрифте Melior Цапфа описываются суперэллипсами с n = log(1/2) / log (7/9) ≈ 2,758.

Германа Цапфа , В шрифте Melior опубликованном в 1952 году, для таких букв, как o , используются суперэллипсы . Тридцать лет спустя Дональд Кнут встроил возможность выбора между истинными эллипсами и суперэллипсами (оба аппроксимированными кубическими сплайнами ) в свое Computer Modern семейство шрифтов .

Название суперэллипсу дал датский поэт и учёный Пит Хейн (1905–1996), хотя он и не открыл его, как иногда утверждают. В 1959 году градостроители Стокгольма ( Швеция) объявили о вызове на проектирование кольцевой развязки на городской площади Сергельс Торг . Победившее предложение Пита Хейна основывалось на суперэллипсе с n = 2,5 и a / b = 6/5. ^[8] Как он это объяснил:

Человек — это животное, которое рисует линии, о которые потом сам спотыкается. Во всей модели цивилизации существовало две тенденции: одна — к прямым линиям и прямоугольным узорам, другая — к круговым линиям. Обе тенденции имеют свои причины, механические и психологические. Вещи, выполненные с прямыми линиями, хорошо сочетаются друг с другом и экономят пространство. И мы можем легко перемещаться — физически или мысленно — вокруг предметов, сделанных из круглых линий. Но мы находимся в смирительной рубашке и вынуждены принимать то или другое, хотя зачастую лучше использовать промежуточную форму. Нарисовать что-то от руки — например, лоскутную развязку, которую они попробовали в Стокгольме, — не получится. Он не фиксирован, не определен, как круг или квадрат. Вы не знаете, что это такое. Это не эстетично. Суперэллипс решил проблему. Он не круглый и не прямоугольный, а нечто среднее. И все же оно фиксировано, оно определенно, оно имеет единство.

Сергельсторг был завершен в 1967 году. Тем временем Пит Хейн продолжал использовать суперэллипс в других артефактах, таких как кровати, блюда, столы и т. д. ^[9] Вращая суперэллипс вокруг самой длинной оси, он создал суперяйцо , твёрдую яйцеобразную форму, которая могла стоять вертикально на плоской поверхности и продавалась как новинка .

В 1968 году, когда участники переговоров в Париже по поводу войны во Вьетнаме не смогли договориться о форме стола для переговоров, Балински, Кирон Андервуд предложили использовать суперэллиптический стол и Холт в письме в газету «Нью-Йорк Таймс» . ^[8] Суперэллипс был использован в форме Олимпийского стадиона Ацтека 1968 года в Мехико .

Второй этаж первоначального Всемирного торгового центра в Нью-Йорке представлял собой большой нависающий балкон в форме суперэллипса.

Уолдо Р. Тоблер разработал картографическую проекцию , гиперэллиптическую проекцию Тоблера , опубликованную в 1973 году. ^[10] в которой меридианы представляют собой дуги суперэллипсов.

Логотип новостной компании The Local представляет собой наклоненный суперэллипс, соответствующий пропорциям Сергельс Торга. В логотипе « Питтсбург Стилерс» используются три соединенных суперэллипса .

В вычислениях мобильная операционная система iOS использует кривую суперэллипса для значков приложений, заменяя стиль закругленных углов , использовавшийся до версии 6. ^[11]

См. также [ править ]

Астроид , суперэллипс с n = 2 ⁄ 3 и a = b — гипоциклоида с четырьмя точками возврата.
- Дельтовидная кривая , гипоциклоида трех створок.
Сквиркл , суперэллипс с n = 4 и a = b , выглядит как «Четырёхугольное колесо».
- Треугольник Рело , «Треугольное колесо».
Суперформула , обобщение суперэллипса.
Суперквадрики : суперэллипсоиды и супертороиды , трёхмерные «родственники» суперэллипсов.
Суперэллиптическая кривая , уравнение вида Y ^н знак равно ж ( Икс ).
л ^п пространства

Ссылки [ править ]

^ Барр (1981). «Суперквадрики и преобразования, сохраняющие угол» . IEEE Компьютерная графика и приложения . 1 (1): 11–23. дои : 10.1109/MCG.1981.1673799 . ISSN 1558-1756 . S2CID 9389947 .
^ Лю, Вэйсяо; Ву, Ювэй; Руан, Сипу; Чирикджян, Грегори С. (2022). «Надежное и точное суперквадричное восстановление: вероятностный подход» . Конференция IEEE/CVF 2022 года по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR) . стр. 2666–2675. arXiv : 2111.14517 . дои : 10.1109/CVPR52688.2022.00270 . ISBN 978-1-6654-6946-3 . S2CID 244715106 .
^ Дональд Кнут: Метафонтбук , с. 126
^ «Астроид» (PDF) . Код Ха . Проверено 14 марта 2023 г.
^ «Суперэллипс (кривая Ламе)» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2022 года . Проверено 9 ноября 2023 г.
^ Шарп, Питер. «АэроПесочница» . Гитхаб . Проверено 9 ноября 2023 г.
^ Дж. Эдвардс (1892). Дифференциальное исчисление . Лондон: MacMillan and Co., стр. 164 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Гарднер, Мартин (1977), «Суперэллипс Пита Хейна» , Математический карнавал. Новый обзор интересных вопросов и головоломок от Scientific American , Нью-Йорк: Vintage Press , стр. 240–254 , ISBN 978-0-394-72349-5
↑ Суперэллипс , в «Путеводителе по жизни, Вселенной и всему остальному» ( BBC 27 июня 2003 г.)
^ Тоблер, Уолдо (1973), «Гиперэллиптические и другие новые псевдоцилиндрические равновеликие картографические проекции», Journal of Geophysical Research , 78 (11): 1753–1759, Бибкод : 1973JGR....78.1753T , CiteSeerX 10.1.1.495.6424 , дои : 10.1029/JB078i011p01753 .
^ Минттинен, Иво. «Руководство по проектированию iOS» .

Внешние ссылки [ править ]

Соколов, Д.Д. (2001) [1994], «Кривая Ламе» , Энциклопедия Математики , EMS Press
«Кривая Ламе» в MathCurve.
Вайсштейн, Эрик В. «Суперэллипс» . Математический мир .
О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Хромые кривые» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
«Супер Эллипс» на 2dcurves.com
Калькулятор суперэллипсов и генератор шаблонов
Набор инструментов для подгонки суперэллипсов в MATLAB
Код C для подгонки суперэллипсов

[1] Барр (1981). «Суперквадрики и преобразования, сохраняющие угол» . IEEE Компьютерная графика и приложения . 1 (1): 11–23. дои : 10.1109/MCG.1981.1673799 . ISSN 1558-1756 . S2CID 9389947 .

[2] Лю, Вэйсяо; Ву, Ювэй; Руан, Сипу; Чирикджян, Грегори С. (2022). «Надежное и точное суперквадричное восстановление: вероятностный подход» . Конференция IEEE/CVF 2022 года по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR) . стр. 2666–2675. arXiv : 2111.14517 . дои : 10.1109/CVPR52688.2022.00270 . ISBN 978-1-6654-6946-3 . S2CID 244715106 .

[3] Дональд Кнут: Метафонтбук , с. 126

[4] «Астроид» (PDF) . Код Ха . Проверено 14 марта 2023 г.

[5] «Суперэллипс (кривая Ламе)» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2022 года . Проверено 9 ноября 2023 г.

[6] Шарп, Питер. «АэроПесочница» . Гитхаб . Проверено 9 ноября 2023 г.

[7] Дж. Эдвардс (1892). Дифференциальное исчисление . Лондон: MacMillan and Co., стр. 164 .

[gardner-8] Перейти обратно: ^а ^б Гарднер, Мартин (1977), «Суперэллипс Пита Хейна» , Математический карнавал. Новый обзор интересных вопросов и головоломок от Scientific American , Нью-Йорк: Vintage Press , стр. 240–254 , ISBN 978-0-394-72349-5

[bbc-9] Суперэллипс , в «Путеводителе по жизни, Вселенной и всему остальному» ( BBC 27 июня 2003 г.)

[10] Тоблер, Уолдо (1973), «Гиперэллиптические и другие новые псевдоцилиндрические равновеликие картографические проекции», Journal of Geophysical Research , 78 (11): 1753–1759, Бибкод : 1973JGR....78.1753T , CiteSeerX 10.1.1.495.6424 , дои : 10.1029/JB078i011p01753 .

[11] Минттинен, Иво. «Руководство по проектированию iOS» .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]