K-эквивалентность

В математике , ${\mathcal {K}}$-эквивалентность , или контактная эквивалентность , — это отношение эквивалентности между ростками отображения . Он был представлен Джоном Мэзером в его плодотворной работе по теории сингулярностей в 1960-х годах как технический инструмент для изучения стабильных карт. С тех пор оно оказалось важным само по себе. Грубо говоря, два ростка отображения ƒ , g суть $\scriptstyle {\mathcal {K}}$-эквивалентно, если ƒ ⁻¹ (0) и г ⁻¹ (0) диффеоморфны .

Определение

Два микроба карты $f,g:X\to (Y,0)$ являются $\scriptstyle {\mathcal {K}}$-эквивалентен, если существует диффеоморфизм

$\Psi :X\times Y\to X\times Y$

вида Ψ(x,y) = (φ(x),ψ(x,y)), удовлетворяющего

$\Psi (x,0)=(\varphi (x),0)$, и

$\Psi (x,f(x))=(\varphi (x),g(\varphi (x)))$.

Другими словами, Ψ отображает график f в график g , а также график нулевого отображения в себя. В частности, диффеоморфизм φ отображает f ⁻¹ (0) до г ⁻¹ (0). Название «контакт» объясняется тем, что эта эквивалентность измеряет контакт между графиком f и графиком нулевой карты.

Контактная эквивалентность — это подходящее отношение эквивалентности для изучения множеств решений уравнений, которое находит множество приложений в динамических системах и теории бифуркаций , например, .

Легко видеть, что это отношение эквивалентности слабее , чем A-эквивалентность , поскольку любая пара $\scriptstyle {\mathcal {A}}$-эквивалентные ростки отображения обязательно $\scriptstyle {\mathcal {K}}$-эквивалент.

K _V -эквивалентность

Эта модификация $\scriptstyle {\mathcal {K}}$-эквивалентность была введена Джеймсом Дэймоном в 1980-х годах. Здесь V — подмножество (или подмногообразие) Y , и указанный выше диффеоморфизм Ψ необходим для сохранения не $X\times \{0\}$ но $X\times V$ (то есть, $y\in V\Rightarrow \psi (x,y)\in V$). В частности, Ψ отображает f ⁻¹ (V) to g ⁻¹ (V).

См. также

• A-эквивалентность

Ссылки

• Ж. Мартине, Особенности гладких функций и отображений , том 58 серии лекций LMS. Издательство Кембриджского университета, 1982.
• Дж. Дэймон, Теоремы о развертывании и определенности для подгрупп $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ и $\scriptstyle {\mathcal {K}}$. Мемуары амер. Математика. Соц. 50 , нет. 306 (1984).