Раскладывание (функции)

В математике разверткой гладкой вещественной функции ƒ на гладком многообразии называется определенное семейство функций, включающее ƒ .

Определение

Позволять $M$ — гладкое многообразие и рассмотрим гладкое отображение $f:M\to \mathbb {R} .$ Предположим, что для данного $x_{0}\in M$ и $y_{0}\in \mathbb {R}$ у нас есть $f(x_{0})=y_{0}$ . Позволять $N$ быть гладким $k$ -мерное многообразие и рассмотрим семейство отображений (параметризованное $N$ ) предоставлено $F:M\times N\to \mathbb {R} .$ Мы говорим, что $F$ это $k$ -параметрическое развёртывание $f$ если $F(x,0)=f(x)$ для всех $x.$ Другими словами, функции $f:M\to \mathbb {R}$ и $F:M\times \{0\}\to \mathbb {R}$ одинаковы: функция $f$ содержится в семье или разворачивается ею $F.$

Пример

Позволять $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ быть предоставлено $f(x,y)=x^{2}+y^{5}.$ Пример разворачивания $f$ было бы $F:\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ данный

F((x,y),(a,b,c))=x^{2}+y^{5}+ay+by^{2}+cy^{3}.

Как и в случае с разворачиваниями, $x$ и $y$ называются переменными, а $a,$ $b,$ и $c$ называются параметрами, поскольку они параметризуют развертывание.

Хорошие развороты

На практике мы требуем, чтобы развертки обладали определенными свойствами. В $\mathbb {R}$ , $f$ является гладким отображением из $M$ к $\mathbb {R}$ и поэтому принадлежит функциональному пространству $C^{\infty }(M,\mathbb {R} ).$ Варьируя параметры развертки, мы получаем разные элементы функционального пространства. Таким образом, развертка индуцирует функцию $\Phi :N\to C^{\infty }(M,\mathbb {R} ).$ Пространство $\operatorname {diff} (M)\times \operatorname {diff} (\mathbb {R} )$ , где $\operatorname {diff} (M)$ обозначает группу диффеоморфизмов $M$ и т. д., действует на $C^{\infty }(M,\mathbb {R} ).$ Действие дается $(\phi ,\psi )\cdot f=\psi \circ f\circ \phi ^{-1}.$ Если $g$ на орбите лежит $f$ под этим действием происходит диффеоморфная замена координат в $M$ и $\mathbb {R}$ , что занимает $g$ к $f$ (и наоборот). Одно свойство, которое мы можем наложить, заключается в том, что

\operatorname {Im} (\Phi )\pitchfork \operatorname {orb} (f)

где " $\pitchfork$ «обозначает « поперечное ». Это свойство гарантирует, что при изменении параметров развертывания мы можем предсказать, зная, как расслояется орбита. $C^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ – как будут меняться результирующие функции.

Версальные разворачивания

Есть идея версального развертывания. Каждое версальное развертывание обладает тем свойством, что $\operatorname {Im} (\Phi )\pitchfork \operatorname {orb} (f)$ , но обратное неверно. Позволять $x_{1},\ldots ,x_{n}$ быть локальными координатами на $M$ , и пусть ${\mathcal {O}}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ обозначим кольцо гладких функций. Определим идеал якобиан $f$ , обозначенный $J_{f}$ , следующее:

J_{f}:=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right\rangle .

Тогда основа для версального раскрытия $f$ определяется коэффициентом

{\frac {{\mathcal {O}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{J_{f}}}

.

Этот фактор известен как локальная алгебра $f$ . Размерность локальной алгебры называется числом Милнора. $f$ . Минимальное количество параметров развертки для версальной развертки равно числу Милнора; это не значит, что каждое развертывание с таким количеством параметров будет версальным. Рассмотрим функцию $f(x,y)=x^{2}+y^{5}$ . Расчет показывает, что

{\frac {{\mathcal {O}}(x,y)}{\langle 2x,5y^{4}\rangle }}=\{y,y^{2},y^{3}\}\ .

Это означает, что $\{y,y^{2},y^{3}\}$ дать основу для версального развертывания, и это

F((x,y),(a,b,c))=x^{2}+y^{5}+ay+by^{2}+cy^{3}

представляет собой версальное развертывание. Версальная развертка с минимально возможным числом параметров развертки называется миниуниверсальной разверткой.

Бифуркационные множества развёрток

Важным объектом, связанным с разверткой, является ее бифуркационное множество. Этот набор находится в пространстве параметров развертки и дает все значения параметров, для которых результирующая функция имеет вырожденные особенности.

Другая терминология

Иногда развертки называют деформациями, версальные развертки — версальными деформациями и т. д.

Ссылки

В. И. Арнольд, С. М. Гусейн-Заде и А. Н. Варченко, Особенности дифференцируемых отображений , Том 1, Биркхойзер, (1985).
Дж. В. Брюс и П. Дж. Гиблин, Кривые и особенности , второе издание, издательство Кембриджского университета, (1992).