Квинтик Консани – Шолтен

Кусочек квинтики Консани-Шолтена

В математических областях алгебраической геометрии и арифметической геометрии квинтика Консани-Шолтена представляет собой алгебраическую гиперповерхность (множество решений одного полиномиального уравнения с несколькими переменными), изученную в 2001 году Катериной Консани и Джаспером Шолтеном. Он использовался в качестве тестового примера для программы Ленглендса .

Определение

Консани и Шолтен определяют свою гиперповерхность из ( проективизированного ) набора решений уравнения

$P(x,y)=P(z,w)$

в четырех комплексных переменных, где

$P(x,y)=x^{5}+y^{5}-(5xy-5)(x^{2}+y^{2}-x-y).$

В этой форме результирующая гиперповерхность является особой : она имеет 120 двойных точек . Его алмаз Ходжа

			1
		0		0
	0		141		0
1		1		1		1
	0		141		0
		0		0
			1

Сама квинтика Консани–Шолтона представляет собой неособую гиперповерхность, полученную раздутием этих особенностей. Как неособое трехмерное многообразие квинтики , это многообразие Калаби–Яу .

Модульность

Согласно программе Ленглендса для любого тройного Калаби–Яу $X$ над $\mathbb {Q}$ , представления Галуа задающие действие абсолютной группы Галуа на $\ell$-адические этальные когомологии $H^{3}(X_{\bar {\mathbb {Q} }},\mathbb {Q} _{\ell })$ (для простых чисел $\ell$ хорошей редукции , что для этой кривой означает любое простое число, кроме 2, 3 или 5), должно иметь ту же L-серию , что и автоморфная форма . Это было известно для «жестких» трехмерных многообразий Калаби – Яу, для которых семейство представлений Галуа имеет размерность два, благодаря доказательству гипотезы Серра о модулярности . Квинтика Консани-Шолтона представляет собой нежесткий пример, размерность которого равна четырем. Консани и Шолтен построили модулярную форму Гильберта и предположили, что ее L-ряд согласуется с представлениями Галуа для их кривой; это было доказано Dieulefait, Pacetti & Schütt (2012) .