Алгебра Герстенхабера

Мюррей Герстенхабер в Обервольфахе в 2010 году.

В математике и теоретической физике алгебра Герстенхабера (иногда называемая алгеброй антискобок или алгеброй кос ) — это алгебраическая структура, открытая Мюрреем Герстенхабером (1963), которая сочетает в себе структуры суперкоммутативного кольца и градуированной супералгебры Ли . Используется в формализме Баталина–Вилковиского . Оно появляется также в обобщении гамильтониана формализм, известный как теория Де Дондера–Вейля , как алгебра обобщенных скобок Пуассона, определенных на дифференциальных формах.

Определение

Алгебра Герстенхабера — это градуированно-коммутативная алгебра со скобкой Ли степени −1, удовлетворяющей тождеству Пуассона . Подразумевается, что все удовлетворяет обычным соглашениям о знаках супералгебры . Точнее, алгебра имеет два произведения: одно записано как обычное умножение, а другое — как [,], и Z -градацию, называемую степенью (в теоретической физике иногда называемой призрачным числом ). Степень a элемента | обозначается а |. Они удовлетворяют тождествам

• ( ab ) c = a ( bc ) (Произведение ассоциативно)
• аб = (−1) ^{| а || б |} ba (Произведение (супер)коммутативно)
• | аб | = | а | + | б | (Продукт имеет степень 0)
• |[ а , б ]| = | а | + | б | − 1 (скобка Ли имеет степень −1)
• [ а , bc ] знак равно [ а , б ] c + (−1) ^{(| а |−1)| б |} b [ a , c ] (тождество Пуассона)
• [ а , б ] знак равно -(-1) ^{(| а |−1)(| b |−1)} [ b , a ] (Антисимметрия скобки Ли)
• [ а ,[ б , с ]] = [[ а , б ], с ] + (-1) ^{(| а |−1)(| b |−1)} [ b ,[ a , c ]] (тождество Якоби для скобки Ли)

Алгебры Герстенхабера отличаются от супералгебр Пуассона тем, что скобка Ли имеет степень −1, а не степень 0. Тождество Якоби также может быть выражено в симметричной форме

$(-1)^{(|a|-1)(|c|-1)}[a,[b,c]]+(-1)^{(|b|-1)(|a|-1)}[b,[c,a]]+(-1)^{(|c|-1)(|b|-1)}[c,[a,b]]=0.\,$

Примеры

• Герстенхабер показал, что когомологии Хохшильда H ^* ( A , A ) алгебры A является алгеброй Герстенхабера.
• Алгебра Баталина –Вилковиского имеет базовую алгебру Герстенхабера, если забыть ее Δ-оператор второго порядка.
• алгебры Внешняя алгебра Ли является алгеброй Герстенхабера.
• Дифференциальные формы на многообразии Пуассона образуют алгебру Герстенхабера.
• Мультивекторные поля на многообразии образуют алгебру Герстенхабера с помощью скобки Схоутена – Нийенхейса.

Ссылки

• Герстенхабер, Мюррей (1963). «Когомологическая структура ассоциативного кольца». Анналы математики . 78 (2): 267–288. дои : 10.2307/1970343 . JSTOR   1970343 .
• Гетцлер, Эзра (1994). «Алгебры Баталина-Вилковиского и двумерные топологические теории поля». Связь в математической физике . 159 (2): 265–285. arXiv : hep-th/9212043 . Бибкод : 1994CMaPh.159..265G . дои : 10.1007/BF02102639 .
• Косман-Шварцбах, Иветт (2001) [1994], «Алгебра Пуассона» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Канатчиков, Игорь В. (1997). «О теоретико-полевых обобщениях алгебры Пуассона». Доклады по математической физике . 40 (2): 225–234. arXiv : hep-th/9710069 . Бибкод : 1997РпМП...40..225К . дои : 10.1016/S0034-4877(97)85919-8 .