Градуированная алгебра Ли

В математике градуированная алгебра Ли — это алгебра Ли, наделенная градуировкой , совместимой со скобкой Ли . Другими словами, градуированная алгебра Ли — это алгебра Ли, которая также является неассоциативной градуированной алгеброй относительно операции скобки. Выбор разложения Картана наделяет любую полупростую алгебру Ли структурой градуированной алгебры Ли. Любая параболическая алгебра Ли также является градуированной алгеброй Ли.

Градуированная супералгебра Ли ^[1] расширяет понятие градуированной алгебры Ли таким образом, что скобка Ли больше не считается обязательно антикоммутативной . Они возникают при изучении дифференцирований на градуированных алгебрах , в теории деформаций Мюррея Герстенхабера , Кунихико Кодайры и Дональда Спенсера , а также в теории производных Ли .

Суперградуированная супералгебра Ли. ^[2] является дальнейшим обобщением этого понятия на категорию супералгебр , в которых градуированная супералгебра Ли наделена дополнительным супералгеброй $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ -градация. Они возникают, когда кто-то формирует градуированную супералгебру Ли в классической (несуперсимметричной) обстановке, а затем тензоризирует ее для получения суперсимметричного аналога. ^[3]

Еще большие обобщения возможны для алгебр Ли над классом сплетенных моноидальных категорий, снабженных копроизведением и некоторым понятием градации, совместимой со сплетением в категории . Подсказки в этом направлении см. в разделе Супералгебра Ли # Теоретико-категорийное определение .

Градуированные алгебры Ли

В своей основной форме градуированная алгебра Ли — это обычная алгебра Ли. ${\mathfrak {g}}$ , вместе с градацией векторных пространств

{\mathfrak {g}}=\bigoplus _{i\in {\mathbb {Z} }}{\mathfrak {g}}_{i},

такой, что скобка Ли соблюдает эту градацию:

[{\mathfrak {g}}_{i},{\mathfrak {g}}_{j}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{i+j}.

Универсальная обертывающая алгебра градуированной алгебры Ли наследует градуировку.

Примеры

сл(2)

Например, алгебра Ли ${\mathfrak {sl}}(2)$ бесследовых градуируется 2 × 2 матриц генераторами:

X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\textrm {and}}\quad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.

Они удовлетворяют отношениям $[X,Y]=H$ , $[H,X]=2X$ , и $[H,Y]=-2Y$ . Следовательно, с ${\mathfrak {g}}_{-1}={\textrm {span}}(X)$ , ${\mathfrak {g}}_{0}={\textrm {span}}(H)$ , и ${\mathfrak {g}}_{1}={\textrm {span}}(Y)$ , разложение ${\mathfrak {sl}}(2)={\mathfrak {g}}_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ представляет ${\mathfrak {sl}}(2)$ как градуированная алгебра Ли.

Свободная алгебра Ли

Свободная алгебра Ли на множестве X естественным образом имеет градуировку, определяемую минимальным количеством членов, необходимых для создания группового элемента. Это возникает, например, как ассоциированная градуированная алгебра Ли с нижним центральным рядом группы свободной .

Обобщения

Если $\Gamma$ — любой коммутативный моноид , то понятие $\Gamma$ -градуированная алгебра Ли обобщает алгебру обычного ( $\mathbb {Z}$ -) градуировали алгебру Ли так, чтобы определяющие соотношения сохранялись с целыми числами $\mathbb {Z}$ заменен на $\Gamma$ . В частности, любая полупростая алгебра Ли градуируется по корневым пространствам ее присоединенного представления .

Градуированные супералгебры Ли

Градуированная супералгебра Ли над полем k (не характеристики 2) состоит из градуированного векторного пространства E над k и билинейной скобки операции .

[-,-]:E\otimes _{k}E\to E

такие, что выполняются следующие аксиомы.

[-, -] учитывает градацию E : $[E_{i},E_{j}]\subseteq E_{i+j}.$
( Симметрия ) Для всех x в E _i и y в E _j , $[x,y]=-(-1)^{ij}\,[y,x]$
( тождество Якоби ) Для всех x в E _i , y в E _j и z в E _k , $(-1)^{ik}[x,[y,z]]+(-1)^{ij}[y,[z,x]]+(-1)^{jk}[z,[x,y]]=0.$ (Если k имеет характеристику 3, то тождество Якоби необходимо дополнить условием $[x,[x,x]]=0$ для всех x в E _{нечетно} .)

Обратите внимание, например, что когда E несет тривиальную градуировку, градуированная супералгебра Ли над k является просто обычной алгеброй Ли. Когда градуировка E сосредоточена в четных степенях, восстанавливается определение ( Z -) градуированной алгебры Ли.

Примеры и приложения

Самый простой пример градуированной супералгебры Ли встречается при изучении дифференцирований градуированных алгебр. Если A — градуированная k -алгебра с градуировкой

A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A_{i},

тогда градуированное k -дифференцирование d на A степени l определяется формулой

$dx=0$ для $x\in k$ ,
$d\colon A_{i}\to A_{i+l}$ , и
$d(xy)=(dx)y+(-1)^{il}x(dy)$ для $x\in A_{i}$ .

Пространство всех градуированных дифференцирований степени l обозначается через $\operatorname {Der} _{l}(A)$ , и прямая сумма этих пространств,

\operatorname {Der} (A)=\bigoplus _{l}\operatorname {Der} _{l}(A),

несет в себе структуру А - модуля . Это обобщает понятие вывода коммутативных алгебр на градуированную категорию.

На Der( A ) можно определить скобку с помощью:

[ d , δ ] знак равно dδ - (-1) ^ijδd , для d ∈ Der _i ( A ) и δ ∈ Der _j ( A ).

Оснащенный этой структурой, Der( A ) наследует структуру градуированной супералгебры Ли над k .

Дальнейшие примеры:

Скобка Фрелихера –Нийенхейса — пример градуированной алгебры Ли, естественным образом возникающей при изучении связностей в дифференциальной геометрии .
Скобка Нийенхейса –Ричардсона возникает в связи с деформациями алгебр Ли.

Обобщения

Понятие градуированной супералгебры Ли можно обобщить так, что их градуировка - это не только целые числа. В частности, подписанное полукольцо состоит из пары $(\Gamma ,\epsilon )$ , где $\Gamma$ представляет собой полукольцо и $\epsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ является гомоморфизмом аддитивных групп . Тогда градуированная супалгебра Ли над знаковым полукольцом состоит из векторного пространства E, градуированного относительно аддитивной структуры на $\Gamma$ и билинейная скобка [-, -], которая учитывает градуировку E и, кроме того, удовлетворяет:

$[x,y]=-(-1)^{\epsilon (\deg x)\epsilon (\deg y)}[y,x]$ для всех однородных элементов x и y и
$(-1)^{\epsilon (\deg x)\epsilon (\deg z)}[x,[y,z]]+(-1)^{\epsilon (\deg y)\epsilon (\deg x)}[y,[z,x]]+(-1)^{\epsilon (\deg z)\epsilon (\deg y)}[z,[x,y]]=0.$

Дальнейшие примеры:

Супералгебра Ли — это градуированная супералгебра Ли над знаковым полукольцом. $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\epsilon )$ , где $\epsilon$ — тождественное отображение аддитивной структуры на кольце $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ .

Примечания

^ Приставка «супер» для этого не совсем стандартна, и некоторые авторы могут предпочесть полностью опустить ее в пользу названия градуированной супералгебры Ли просто градуированной алгеброй Ли . Эта уловка не совсем безосновательна, поскольку градуированные супералгебры Ли могут не иметь ничего общего с алгебрами суперсимметрии . Они супер только постольку, поскольку несут в себе $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ градация. Эта градация происходит естественно, а не из-за каких-либо лежащих в ее основе суперпространств. Таким образом, в смысле теории категорий они должным образом рассматриваются как обычные несуперобъекты.
^ В связи с суперсимметрией их часто называют просто градуированными супералгебрами Ли , но это противоречит предыдущему определению в этой статье.
^ Таким образом, суперградуированные супералгебры Ли пару несут $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ -градации: одна из которых суперсимметричная, а другая классическая. Пьер Делинь называет суперсимметричную суперградацией , а классическую — когомологической градацией . Эти две градации должны быть совместимыми, и часто возникают разногласия относительно того, как их следует рассматривать. См. у Делиня . обсуждение этой трудности

Ссылки

Ниженхейс, Альберт ; Ричардсон-младший, Роджер В. (1966). «Когомологии и деформации в градуированных алгебрах Ли» . Бюллетень Американского математического общества . 72 (1): 1–29. дои : 10.1090/s0002-9904-1966-11401-5 . МР 0195995 .

См. также

[1] Приставка «супер» для этого не совсем стандартна, и некоторые авторы могут предпочесть полностью опустить ее в пользу названия градуированной супералгебры Ли просто градуированной алгеброй Ли . Эта уловка не совсем безосновательна, поскольку градуированные супералгебры Ли могут не иметь ничего общего с алгебрами суперсимметрии . Они супер только постольку, поскольку несут в себе $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ градация. Эта градация происходит естественно, а не из-за каких-либо лежащих в ее основе суперпространств. Таким образом, в смысле теории категорий они должным образом рассматриваются как обычные несуперобъекты.

[2] В связи с суперсимметрией их часто называют просто градуированными супералгебрами Ли , но это противоречит предыдущему определению в этой статье.

[3] Таким образом, суперградуированные супералгебры Ли пару несут $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ -градации: одна из которых суперсимметричная, а другая классическая. Пьер Делинь называет суперсимметричную суперградацией , а классическую — когомологической градацией . Эти две градации должны быть совместимыми, и часто возникают разногласия относительно того, как их следует рассматривать. См. у Делиня . обсуждение этой трудности

[1]

[2]

[3]