Состояние Хёрмандера

В математике , которое, если оно удовлетворено , условие Хёрмандера — это свойство векторных полей имеет множество полезных следствий в теории уравнений в частных производных и стохастических дифференциальных уравнений . Условие названо в честь шведского математика Ларса Хёрмандера .

Определение

Учитывая два C ¹ векторные поля V и W в d - мерном евклидовом пространстве R ^д, пусть [ V , W ] обозначает их скобку Ли , другое векторное поле, определяемое формулой

[V,W](x)=\mathrm {D} V(x)W(x)-\mathrm {D} W(x)V(x),

где D V ( x ) обозначает производную Фреше V точке в x ∈ R ^д, которую можно рассматривать как матрицу , применяемую к вектору W ( x ), и наоборот .

Пусть A ₀ , A ₁ , ... An _— векторные поля на R ^д. Говорят, что они удовлетворяют условию Хёрмандера , если для каждой точки x ∈ R ^д, векторы

{\begin{aligned}&A_{j_{0}}(x)~,\\&[A_{j_{0}}(x),A_{j_{1}}(x)]~,\\&[[A_{j_{0}}(x),A_{j_{1}}(x)],A_{j_{2}}(x)]~,\\&\quad \vdots \quad \end{aligned}}\qquad 0\leq j_{0},j_{1},\ldots ,j_{n}\leq n

пролет R ^д. Говорят, что они удовлетворяют параболическому условию Хёрмандера, если то же самое верно, но с индексом $j_{0}$ принимая только значения в 1,..., n .

Приложение к стохастическим дифференциальным уравнениям

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ)

\operatorname {d} x=A_{0}(x)\operatorname {d} t+\sum _{i=1}^{n}A_{i}(x)\circ \operatorname {d} W_{i}

где векторные поля $A_{0},\dotsc ,A_{n}$ предполагается, что они имеют ограниченную производную, $(W_{1},\dotsc ,W_{n})$ нормализованное n -мерное броуновское движение и $\circ \operatorname {d}$ означает интегральную интерпретацию СДУ Стратоновича. Теорема Хёрмандера утверждает, что если приведенная выше СДУ удовлетворяет параболическому условию Хёрмандера, то его решения допускают гладкую плотность относительно меры Лебега.

Приложение к задаче Коши

второго порядка Используя те же обозначения, что и выше, определим дифференциальный оператор F формулой

F={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}A_{i}^{2}+A_{0}.

Важной задачей теории уравнений в частных производных является определение достаточных условий на векторные поля A _i для задачи Коши

{\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}(t,x)=Fu(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{d};\\u(t,\cdot )\to f,&{\text{as }}t\to 0;\end{cases}}

иметь гладкое фундаментальное решение , т.е. вещественную функцию p (0, +∞) × R ^{2 дня} → R такой, что p ( t , ·, ·) гладко на R ^{2 дня} для каждого t и

u(t,x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}p(t,x,y)f(y)\,\mathrm {d} y

удовлетворяет вышеприведенной задаче Коши. Давно было известно, что в эллиптическом случае существует гладкое решение, в котором

A_{i}=\sum _{j=1}^{d}a_{ji}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}},

и матрица A = ( a _ji ), 1 ≤ j ≤ d , 1 ≤ i ≤ n такова, что AA ^∗ является везде обратимой матрицей .

Большим достижением статьи Хёрмандера 1967 года было то, что она показала, что гладкое фундаментальное решение существует при значительно более слабом предположении: параболической версии условия, которое теперь носит его имя.

Приложение к системам управления

Пусть M — гладкое многообразие и $A_{0},\dotsc ,A_{n}$ — гладкие векторные поля на M . Если предположить, что эти векторные поля удовлетворяют условию Хёрмандера, то система управления

{\dot {x}}=\sum _{i=0}^{n}u_{i}A_{i}(x)

в локально управляема любой момент времени в каждой точке M . Это известно как теорема Чоу-Рашевского . См. Орбита (теория управления) .

См. также

Ссылки

Белл, Денис Р. (2006). Исчисление Маллявена . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications Inc., стр. x+113. ISBN 0-486-44994-7 . МИСТЕР 2250060 (см. введение)
Хёрмандер, Ларс (1967). «Гипоэллиптические дифференциальные уравнения второго порядка» . Акта математика . 119 : 147–171. дои : 10.1007/BF02392081 . ISSN 0001-5962 . МИСТЕР 0222474