Орбита (теория управления)

Понятие орбиты системы управления, используемое в математической теории управления, является частным случаем понятия орбиты в теории групп .

Определение

Позволять ${\ }{\dot {q}}=f(q,u)$ быть $\ {\mathcal {C}}^{\infty }$ система управления, где ${\ q}$ принадлежит конечномерному многообразию $\ M$ и $\ u$ принадлежит контрольному множеству $\ U$. Рассмотрим семью ${\mathcal {F}}=\{f(\cdot ,u)\mid u\in U\}$ и предположим, что каждое векторное поле в ${\mathcal {F}}$ завершен ​ . Для каждого $f\in {\mathcal {F}}$ и каждый настоящий $\ t$, обозначим $\ e^{tf}$ поток ​ ​ $\ f$ во время $\ t$.

Орбита системы управления ${\ }{\dot {q}}=f(q,u)$ через точку $q_{0}\in M$ это подмножество ${\mathcal {O}}_{q_{0}}$ из $\ M$ определяется

${\mathcal {O}}_{q_{0}}=\{e^{t_{k}f_{k}}\circ e^{t_{k-1}f_{k-1}}\circ \cdots \circ e^{t_{1}f_{1}}(q_{0})\mid k\in \mathbb {N} ,\ t_{1},\dots ,t_{k}\in \mathbb {R} ,\ f_{1},\dots ,f_{k}\in {\mathcal {F}}\}.$

Примечания

Разница между орбитами и множествами достижимости заключается в том, что, хотя для множеств достижимости разрешены только движения вперед во времени, для орбит разрешены движения как вперед, так и назад. В частности, если семья ${\mathcal {F}}$ симметричен (т.е. $f\in {\mathcal {F}}$ тогда и только тогда, когда $-f\in {\mathcal {F}}$), то орбиты и множества достижимости совпадают.

Гипотеза о том, что каждое векторное поле ${\mathcal {F}}$ является полным, упрощает обозначения, но его можно опустить. В этом случае приходится заменять потоки векторных полей их локальными версиями.

Теорема об орбите (Нагано – Суссмана)

Каждая орбита ${\mathcal {O}}_{q_{0}}$ представляет собой погруженное подмногообразие $\ M$.

Касательное пространство к орбите ${\mathcal {O}}_{q_{0}}$ в какой-то момент $\ q$ является линейным подпространством $\ T_{q}M$ охватываемый векторы $\ P_{*}f(q)$ где $\ P_{*}f$ означает вперед продвижение $\ f$ к $\ P$, $\ f$ принадлежит ${\mathcal {F}}$ и $\ P$ является диффеоморфизмом $\ M$ формы $e^{t_{k}f_{k}}\circ \cdots \circ e^{t_{1}f_{1}}$ с $k\in \mathbb {N} ,\ t_{1},\dots ,t_{k}\in \mathbb {R}$ и $f_{1},\dots ,f_{k}\in {\mathcal {F}}$.

Если все векторные поля семейства ${\mathcal {F}}$ аналитичны, то $\ T_{q}{\mathcal {O}}_{q_{0}}=\mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}$ где $\mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}$ это оценка на $\ q$ алгебры Ли, порожденной ${\mathcal {F}}$ относительно скобки Ли векторных полей . В противном случае включение $\mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}\subset T_{q}{\mathcal {O}}_{q_{0}}$ соответствует действительности.

Следствие (теорема Рашевского – Чоу).

Основная статья: Теорема Чоу – Рашевского

Если $\mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}=T_{q}M$ для каждого $\ q\in M$ и если $\ M$ связна, то каждая орбита равна всему многообразию $\ M$.

См. также

• Теорема Фробениуса (дифференциальная топология)

Дальнейшее чтение

• Аграчев Андрей; Сачков, Юрий (2004). «Теорема об орбите и ее приложения» . Теория управления с геометрической точки зрения . Берлин: Шпрингер. стр. 63–80. ISBN  3-540-21019-9 .