Группа Карно

В математике группа Карно — это односвязная нильпотентная группа Ли вместе с производным ее алгебры Ли , такая, что подпространство с собственным значением 1 порождает алгебру Ли. Подрасслоение касательного расслоения, связанное с этим собственным пространством, называется горизонтальным. В группе Карно любая норма горизонтального подрасслоения порождает метрику Карно – Каратеодори . Метрики Карно – Каратеодори имеют метрические расширения; они представляют собой асимптотические конусы (см. Ультрапредел ) конечно порожденных нильпотентных групп и нильпотентных групп Ли, а также касательные конусы субримановых многообразий .

Формальное определение и основные свойства

Группа шагов Карно (или стратифицированная) $k$ — связная односвязная конечномерная группа Ли, алгебра Ли которой ${\mathfrak {g}}$ признает шаг- $k$ стратификация. А именно, существуют нетривиальные линейные подпространства $V_{1},\cdots ,V_{k}$ такой, что

${\mathfrak {g}}=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{k}$, $[V_{1},V_{i}]=V_{i+1}$ для $i=1,\cdots ,k-1$, и $[V_{1},V_{k}]=\{0\}$.

Обратите внимание, что это определение подразумевает первый слой $V_{1}$ генерирует всю алгебру Ли ${\mathfrak {g}}$.

Экспоненциальное отображение является диффеоморфизмом из ${\mathfrak {g}}$ на $G$. Используя эти экспоненциальные координаты, мы можем определить $G$ с $(\mathbb {R} ^{n},\star )$, где $n=\dim V_{1}+\cdots +\dim V_{k}$ и операция $\star$ задается формулой Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа .

Иногда удобнее написать элемент $z\in G$ как

$z=(z_{1},\cdots ,z_{k})$ с $z_{i}\in \mathbb {R} ^{\dim V_{i}}$ для $i=1,\cdots ,k$.

Причина в том, что $G$ имеет внутреннюю операцию расширения $\delta _{\lambda }:G\to G$ данный

$\delta _{\lambda }(z_{1},\cdots ,z_{k}):=(\lambda z_{1},\cdots ,\lambda ^{k}z_{k})$.

Примеры

Настоящая группа Гейзенберга — это группа Карно, которую можно рассматривать как плоскую модель в субримановой геометрии и как евклидово пространство в римановой геометрии. Группа Энгеля является также группой Карно.

История

Группы Карно были представлены под этим названием Пьером Пансу ( 1982 , 1989 ) и Джоном Митчеллом ( 1985 ). Однако эта концепция была введена ранее Джеральдом Фолландом (1975) под названием « Стратифицированная группа» .

См. также

• Производная Пансу , производная группы Карно, введенная Пансу (1989).

Ссылки

• Фолланд, Джеральд (1975), «Субэллиптические оценки и функциональные пространства на нильпотентных группах Ли», Архивы математики , 13 (2): 161–207, Бибкод : 1975ArM....13..161F , doi : 10.1007/BF02386204 , S2CID   121144337
• Митчелл, Джон (1985), «О метриках Карно-Каратеодори» , Журнал дифференциальной геометрии , 21 (1): 35–45, doi : 10.4310/jdg/1214439462 , ISSN   0022-040X , MR   0806700
• Пансу, Пьер (1982), Геометрия группы Гейзенберга , диссертация, Парижский университет VII. {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Пансу, Пьер (1989), «Метрики Карно-Каратеодори и квазиизометрии симметричных пространств ранга один», Annals of Mathematics , 129 (1): 1–60, doi : 10.2307/1971484 , JSTOR   1971484 , MR   0979599
• Беллаиш, Андре; Рислер, Жан-Жак, ред. (1996). Субриманова геометрия . Прогресс в математике. Том. 144. Базель: Birkhäuser Verlag. дои : 10.1007/978-3-0348-9210-0 . ISBN  978-3-0348-9946-8 . МР   1421821 .