Ротация Вигнера

Не путать с прецессией Томаса .

Юджин Вигнер (1902–1995)

В теоретической физике композиция двух неколлинеарных усилений Лоренца приводит к преобразованию Лоренца , которое не является чистым повышением, а представляет собой композицию повышения и вращения. Это вращение называется вращением Томаса , вращением Томаса-Вигнера или вращением Вигнера . Если последовательность неколлинеарных ускорений возвращает объекту его начальную скорость, то последовательность вращений Вигнера может объединиться, чтобы создать чистое вращение, называемое прецессией Томаса .

Вращение было открыто Эмилем Борелем в 1913 году. заново открыт и доказан Людвиком Зильберштейном в его книге «Относительность» 1914 года, заново открыт Ллевеллином Томасом в 1926 году, и повторно получен Вигнером в 1939 году. Вигнер признал Зильберштейна.

До сих пор продолжаются дискуссии о правильной форме уравнений вращения Томаса в различных системах отсчета с противоречивыми результатами. Гольдштейн :

Пространственное вращение, возникающее в результате последовательного применения двух неколлинеарных преобразований Лоренца, было объявлено столь же парадоксальным, как и более часто обсуждаемые очевидные нарушения здравого смысла, такие как парадокс близнецов .

Принцип взаимности скоростей Эйнштейна (EPVR) гласит:

Мы постулируем, что связь между координатами двух систем линейна. Тогда обратное преобразование также линейно и полное непредпочтение той или иной системы требует, чтобы преобразование было идентично исходному, за исключением замены v на −v

При менее тщательной интерпретации EPVR, по-видимому, нарушается в некоторых моделях. Конечно, настоящего парадокса здесь нет.

Пусть это будет скорость , с которой движется лабораторная система отсчета относительно объекта под названием A, и пусть это будет скорость , с которой движется другой объект под названием B, измеренная от лабораторной системы отсчета. Если u и v не выровнены, относительные скорости этих двух тел не будут противоположными, то есть ${\textstyle \mathbf {v} _{AB}\neq -\mathbf {v} _{BA}}$ так как между ними происходит вращение

Скорость, которую A измерит на B, будет равна:

$\mathbf {v} _{AB}={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\left(1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} \right],$

Фактор Лоренца для скоростей, которые либо A видит на B, либо B видит на A:

$\gamma =\gamma _{\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} }=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} }=\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }\left(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,,$

Угол поворота можно рассчитать двумя способами:

$\cos \epsilon ={\frac {(1+\gamma +\gamma _{\mathbf {u} }+\gamma _{\mathbf {v} })^{2}}{(1+\gamma )(1+\gamma _{\mathbf {u} })(1+\gamma _{\mathbf {v} })}}-1~,$

Или:

$\cos \epsilon =-{\frac {(\mathbf {v} _{AB}\cdot \mathbf {v} _{BA})}{(v_{AB}^{2})}}$

А ось вращения:

$\mathbf {e} =-{\frac {\mathbf {u} \times \mathbf {v} }{|\mathbf {u} \times \mathbf {v} |}}~.$

Настройка кадров и относительных скоростей между ними

Состав скоростей и вращение Томаса в плоскости xy, скорости u и v разделены углом θ . Слева: При измерении в Σ' ориентация Σ и Σ'' кажется параллельной Σ' . В центре: в системе отсчёта Σ Σ ′ ′ поворачивается на угол ε вокруг оси, параллельной u × v , а затем движется со скоростью w _d относительно Σ . Справа: в системе отсчета Σ'' Σ движется со скоростью − w _d относительно Σ'' , а затем движется со скоростью w _d относительно Σ .

Состав скоростей и вращение Томаса в плоскости xy, скорости − u и − v, разделенные углом θ . Слева: При измерении в Σ' ориентация Σ и Σ'' кажется параллельной Σ' . В центре: в системе отсчёта Σ′′ Σ поворачивается на угол ε вокруг оси, параллельной −( u × v ) , а затем перемещается со скоростью − w _i относительно Σ′′ . Справа: в системе отсчета Σ Σ ′ ′ движется со скоростью w _i относительно Σ , а затем поворачивается на угол ε вокруг оси, параллельной u × v .

Сравнение скоростных составов w _d и w _i . Обратите внимание на одинаковые величины, но в разных направлениях.

Два общих усиления

При изучении вращения Томаса на фундаментальном уровне обычно используется установка с тремя системами координат: Σ, Σ' Σ'' . Кадр Σ' имеет скорость u относительно кадра Σ , а кадр Σ'' имеет скорость v относительно кадра Σ' .

По конструкции оси ориентированы следующим образом. При взгляде с Σ' оси Σ' и Σ параллельны (то же самое справедливо и для пары кадров, если смотреть с Σ ). Также если смотреть с Σ' , пространственные оси Σ' и Σ'' параллельны (и то же самое справедливо и для пары кадров, если смотреть с Σ′′ .) Это применение EVPR: если u — скорость Σ’ относительно Σ , то u ’ = − u — это скорость Σ относительно Σ’ . скорости Вектор и образует одинаковые . углы по отношению к осям координат как в штрихованной, так и в нештрихованной системе Это не представляет собой снимок, сделанный в любом из двух кадров объединенной системы в какой-либо конкретный момент времени, как должно быть ясно из подробного описания ниже.

Это возможно, поскольку повышение, скажем, в положительном z направлении сохраняет ортогональность координатных осей. Общий импульс B ( w ) можно выразить как L = R ⁻¹ ( e _z , w ) B _z ( w ) R ( e _z , w ) , где R ( e _z , w ) — вращение z оси в направлении w, а B _z — повышение нового z -направление . Каждое вращение сохраняет то свойство, что оси пространственных координат ортогональны. Усиление растянет (промежуточную) z ось в коэффициент γ , оставив при этом промежуточные x оси и y на месте. Тот факт, что оси координат в этой конструкции непараллельны после двух последовательных неколлинеарных повышений, является точным выражением явления вращения Томаса.

Скорость Σ′′, как видно из Σ, обозначается w _d = u ⊕ v , где ⊕ относится к релятивистскому сложению скорости (а не обычному векторному сложению ), определяемому формулой

$\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\left(1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} \right],$ ( И 2 )

и

$\gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{c^{2}}}}}}$

— фактор Лоренца скорости u (вертикальные полосы | u | обозначают величину вектора ). Скорость u можно рассматривать как скорость кадра Σ' относительно кадра Σ , а v — это скорость объекта, скажем, частицы или другого кадра Σ'' относительно Σ' . В данном контексте все скорости лучше всего рассматривать как относительные скорости кадров, если не указано иное. Тогда результат w = u ⊕ v представляет собой относительную скорость системы отсчета Σ относительно системы Σ .

Хотя сложение скоростей является нелинейным , неассоциативным и некоммутативным , в результате операции правильно получается скорость с величиной меньше, чем c . Если бы использовалось обычное сложение векторов, можно было бы получить скорость с величиной, большей, чем c . Фактор Лоренца γ обеих составных скоростей равен:

$\gamma =\gamma _{\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} }=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} }=\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }\left(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,,$

и нормы равны при перестановке векторов скорости

$|\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |=|\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |={\frac {c}{\gamma }}{\sqrt {\gamma ^{2}-1}}\,.$

Поскольку две возможные составные скорости имеют одинаковую величину, но разные направления, одна из них должна быть повернутой копией другой. Более подробную информацию и другие свойства, не имеющие прямого отношения к данному вопросу, можно найти в основной статье.

Обратная конфигурация

Рассмотрим обратную конфигурацию, а именно, система Σ движется со скоростью − u относительно системы Σ' , а система Σ' , в свою очередь, движется со скоростью - v относительно системы Σ'' . Короче говоря, u → − u и v → − v по EPVR. Тогда скорость Σ относительно Σ′′ равна (− v ) ⊕ (− u ) ≡ - v ⊕ u . Опять же, согласно EPVR, скорость Σ′′ относительно Σ тогда равна w _i = v ⊕ u . (А)

Находим w _d ≠ w _i . Хотя они равны по величине, между ними существует угол. Для одиночного ускорения между двумя инерциальными системами существует только одна однозначная относительная скорость (или ее отрицательная). Для двух ускорений странный результат двух неэквивалентных относительных скоростей вместо одной, кажется, противоречит симметрии относительного движения между любыми двумя кадрами. Какова правильная скорость Σ'' относительно Σ ? Поскольку это неравенство может быть несколько неожиданным и потенциально нарушить EPVR, этот вопрос оправдан.

Формулировка в терминах преобразований Лоренца.

Кадр Σ'' увеличивается со скоростью v относительно другого кадра Σ', который увеличивается со скоростью u относительно другого кадра Σ.

Кадр Σ увеличивается со скоростью - u относительно другого кадра Σ', который увеличивается со скоростью - v относительно другого кадра Σ''.

Исходная конфигурация с обмененными скоростями u и v .

Обратная измененная конфигурация.

Два повышения равны усилению и ротации.

Ответ на вопрос кроется во вращении Томаса, и нужно быть осторожным с указанием, какая система координат задействована на каждом шаге. Если смотреть со стороны Σ , координатные оси Σ и '' не Σ параллельны. Хотя это может быть трудно себе представить, поскольку обе пары (Σ, Σ') и (Σ', Σ'') имеют параллельные оси координат, это легко объяснить математически.

Сложение скоростей не дает полного описания связи между кадрами. Полное описание необходимо сформулировать в терминах преобразований Лоренца, соответствующих скоростям. Повышение Лоренца с любой скоростью v (величина меньше c ) символически определяется выражением

$X'=B(\mathbf {v} )X$

где координаты и матрица преобразования компактно выражены в блочной матрицы виде

$X'={\begin{bmatrix}ct'\\\mathbf {r} '\end{bmatrix}}\quad B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma _{\mathbf {v} }&-{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }}{c}}\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\\-{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }}{c}}\mathbf {v} &\mathbf {I} +{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}{\dfrac {\mathbf {vv} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\\\end{bmatrix}}\quad X={\begin{bmatrix}ct\\\mathbf {r} \end{bmatrix}}$

и, в свою очередь, r , r ′, v — векторы-столбцы ( транспонированная матрица их — это векторы-строки), а γ _v — фактор Лоренца скорости v . Матрица повышения является симметричной матрицей . Обратное преобразование определяется выражением

$B(\mathbf {v} )^{-1}=B(-\mathbf {v} )\quad \Rightarrow \quad X=B(-\mathbf {v} )X'.$

Ясно, что каждой допустимой скорости v соответствует чистый лоренцовский буст:

$\mathbf {v} \leftrightarrow B(\mathbf {v} ).$

Сложение скоростей u ⊕ v соответствует композиции ускорений B ( v ) B ( u ) в этом порядке. Сначала B ) ( u ) действует на X , затем B ( v ) на B ( u действует X . Обратите внимание, что последующие операторы действуют слева в любой композиции операторов, поэтому B ( v ) B ( u ) следует интерпретировать как повышение со скоростями u, затем v , а не v , затем u . Выполнение преобразований Лоренца путем умножения блочных матриц,

$X''=B(\mathbf {v} )X'\,,\quad X'=B(\mathbf {u} )X\quad \Rightarrow \quad X''=\Lambda X$

составная матрица преобразования

$\Lambda =B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}$

и, в свою очередь,

${\begin{aligned}\gamma &=\gamma _{\mathbf {v} }\gamma _{\mathbf {u} }\left(1+{\frac {\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {a} &={\frac {\gamma }{c}}\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} \,,\quad \mathbf {b} ={\frac {\gamma }{c}}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \\\mathbf {M} &=\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }{\frac {\mathbf {vu} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}+\left(\mathbf {I} +{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}{\frac {\mathbf {vv} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\right)\left(\mathbf {I} +{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}{\frac {\mathbf {uu} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}$

Здесь γ — составной фактор Лоренца, а a и b 3×1, — векторы-столбцы пропорциональные составным скоростям. Матрица M 3×3 окажется имеющей геометрическое значение.

Обратные преобразования

$X=B(-\mathbf {u} )X'\,,\quad X'=B(-\mathbf {v} )X''\quad \Rightarrow \quad X=\Lambda ^{-1}X''$

и композиция представляет собой отрицание и обмен скоростей,

$\Lambda ^{-1}=B(-\mathbf {u} )B(-\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}$

Если относительные скорости поменялись местами, глядя на блоки Λ , можно увидеть, что составное преобразование представляет собой транспонированную матрицу , Λ . Это не то же самое, что исходная матрица, поэтому составная матрица преобразования Лоренца не является симметричной и, следовательно, не имеет единого повышения. Это, в свою очередь, приводит к неполноте скоростного состава в результате двух повышений; символически,

$B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\neq B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )\,.$

Для полноты описания необходимо ввести ротацию до или после буста. Это вращение является вращением Томаса . Вращение задается формулой

$X'=R({\boldsymbol {\theta }})X$

где матрица вращения 4×4 равна

$R({\boldsymbol {\theta }})={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf {R} ({\boldsymbol {\theta }})\end{bmatrix}}$

и R 3×3 — матрица вращения . В этой статье представление оси-угла используется , а θ = θ e — это «вектор оси-угла», угол θ, умноженный на единичный вектор e, параллельный оси. Кроме того, правостороннее используется соглашение для пространственных координат (см. ориентацию (векторное пространство) ), так что вращения являются положительными в направлении против часовой стрелки в соответствии с правилом правой руки и отрицательными в направлении по часовой стрелке. С этими условностями; матрица вращения вращает любой трехмерный вектор вокруг оси e на угол θ против часовой стрелки ( активное преобразование ), что эквивалентно вращению системы координат по часовой стрелке вокруг той же оси на тот же угол (пассивное преобразование).

Матрица вращения является ортогональной матрицей , ее транспонирование равно ее обратной, а отрицание угла или оси в матрице вращения соответствует вращению в противоположном смысле, поэтому обратное преобразование легко получить с помощью

$R({\boldsymbol {\theta }})^{-1}=R({\boldsymbol {\theta }})^{\mathrm {T} }=R(-{\boldsymbol {\theta }})\quad \Rightarrow \quad X=R(-{\boldsymbol {\theta }})X'\,.$

Увеличение, за которым следует вращение или которому предшествует вращение, также является преобразованием Лоренца, поскольку эти операции оставляют пространственно-временной интервал неизменным. То же преобразование Лоренца имеет два разложения для правильно выбранных векторов быстроты и угла оси;

$\Lambda ({\boldsymbol {\theta }},\mathbf {u} )=R({\boldsymbol {\theta }})B(\mathbf {u} )$

$\Lambda (\mathbf {v} ,{\boldsymbol {\theta }})=B(\mathbf {v} )R({\boldsymbol {\theta }})$

и если эти два разложения равны, два повышения связаны соотношением

$B(\mathbf {u} )=R(-{\boldsymbol {\theta }})B(\mathbf {v} )R({\boldsymbol {\theta }})$

таким образом, повышения связаны преобразованием подобия матрицы .

Оказывается, равенство между двумя ускорениями и вращением, за которым или которому предшествует одно ускорение, верно: вращение кадров соответствует угловому разделению составных скоростей и объясняет, как одна составная скорость применяется к одному кадру, а другая — к повернутый кадр. Вращение также нарушает симметрию общего преобразования Лоренца, делая его несимметричным. Для этого конкретного вращения пусть угол равен ε , а ось определяется единичным вектором e , поэтому вектор оси-угла равен ε = ε e .

В целом, два разных порядка двух повышений означают, что существуют два неэквивалентных преобразования. Каждое из них можно разделить на усиление, а затем вращение, или на вращение, затем усиление, что удваивает количество неэквивалентных преобразований до четырех. Обратные преобразования не менее важны; они предоставляют информацию о том, что воспринимает другой наблюдатель. Всего необходимо рассмотреть восемь преобразований только для задачи о двух повышениях Лоренца. Таким образом, с последующими операциями, действующими слева, они

Два повышения...	...разделиться на ускорение, затем на вращение...	...или разделить на вращение, а затем увеличить.
$\Lambda =B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}$	$\Lambda =R({\boldsymbol {\epsilon }})B(c\mathbf {a} /\gamma )$	$\Lambda =B(c\mathbf {b} /\gamma )R({\boldsymbol {\epsilon }})$
$\Lambda ^{-1}=B(-\mathbf {u} )B(-\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}$	$\Lambda ^{-1}=B(-c\mathbf {a} /\gamma )R(-{\boldsymbol {\epsilon }})$	$\Lambda ^{-1}=R(-{\boldsymbol {\epsilon }})B(-c\mathbf {b} /\gamma )$
$\Lambda ^{\mathrm {T} }=B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}$	$\Lambda ^{\mathrm {T} }=B(c\mathbf {a} /\gamma )R(-{\boldsymbol {\epsilon }})$	$\Lambda ^{\mathrm {T} }=R(-{\boldsymbol {\epsilon }})B(c\mathbf {b} /\gamma )$
$\left(\Lambda ^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=B(-\mathbf {v} )B(-\mathbf {u} )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}$	$\left(\Lambda ^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=R({\boldsymbol {\epsilon }})B(-c\mathbf {a} /\gamma )$	$\left(\Lambda ^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=B(-c\mathbf {b} /\gamma )R({\boldsymbol {\epsilon }})$

Сопоставляя ускорения с последующими вращениями, в исходной установке наблюдатель в Σ замечает, что Σ'' движется со скоростью u ⊕ v, затем вращается по часовой стрелке (первая диаграмма), и из-за вращения наблюдатель в Σ'' замечает, Σ что двигайтесь со скоростью − v ⊕ u , затем вращайте против часовой стрелки (вторая диаграмма). Если скорости поменялись местами, наблюдатель в Σ замечает, что Σ′′ движется со скоростью v ⊕ u, затем вращается против часовой стрелки (третья диаграмма), и из-за вращения наблюдатель в Σ′′ замечает, что Σ движется со скоростью − u ⊕ v, тогда вращайте по часовой стрелке (четвертая диаграмма).

Случаи ротаций и форсировок аналогичны (схемы не показаны). Сопоставляя вращения с последующими ускорениями, в исходной установке наблюдатель в Σ замечает, что Σ'' вращается по часовой стрелке, а затем движется со скоростью v ⊕ u , и из-за вращения наблюдатель в Σ'' замечает, что Σ вращается против часовой стрелки, а затем движется со скоростью - ты ⊕ v . Если скорости поменялись местами, наблюдатель в Σ замечает, что Σ'' вращается против часовой стрелки, а затем движется со скоростью u ⊕ v , а из-за вращения наблюдатель в Σ'' замечает, что Σ вращается по часовой стрелке, а затем движется со скоростью - u ⊕ v .

Нахождение оси и угла вращения Томаса

Приведенные выше формулы явно представляют собой сложение релятивистских скоростей и вращение Томаса в общих преобразованиях Лоренца. Всюду в каждой композиции бустов и разложений на буст и ротацию действует важная формула

$\mathbf {M} =\mathbf {R} +{\frac {1}{\gamma +1}}\mathbf {ba} ^{\mathrm {T} }$

выполняется, позволяя полностью определить матрицу вращения через относительные скорости u и v . Угол матрицы вращения в представлении ось-угол можно найти по следу матрицы вращения , общий результат для любой оси: tr( R ) = 1 + 2 cos ε . Взяв след уравнения, получим

$\cos \epsilon ={\frac {(1+\gamma +\gamma _{\mathbf {u} }+\gamma _{\mathbf {v} })^{2}}{(1+\gamma )(1+\gamma _{\mathbf {u} })(1+\gamma _{\mathbf {v} })}}-1$

Угол ε между a и b совпадает не с углом α между u и v .

В обеих системах отсчета Σ и Σ′′ для каждой композиции и разложения действует еще одна важная формула

$\mathbf {b} =\mathbf {Ra}$

держит. Векторы a и b действительно связаны вращением, фактически одной и той же матрицей вращения R , которая вращает системы координат. Начиная с a , матрица R поворачивает ее в b против часовой стрелки, следуя их векторному произведению (в правом соглашении)

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\frac {\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }\left(\gamma ^{2}-1\right)(\gamma +\gamma _{\mathbf {v} }+\gamma _{\mathbf {u} }+1)}{c^{2}(\gamma _{\mathbf {v} }+1)(\gamma _{\mathbf {u} }+1)(\gamma +1)}}\mathbf {u} \times \mathbf {v}$

определяет ось правильно, поэтому ось также параллельна u × v . Величина этого псевдовектора не интересна и не важна, важно только направление, поэтому его можно нормализовать в единичный вектор.

$\mathbf {e} ={\frac {\mathbf {u} \times \mathbf {v} }{|\mathbf {u} \times \mathbf {v} |}}$

который по-прежнему полностью определяет направление оси без потери информации.

Вращение — это просто «статическое» вращение, и между кадрами нет относительного вращательного движения , при наддуве есть относительное поступательное движение. Однако если кадры ускоряются, то повернутый кадр вращается с угловой скоростью. Этот эффект известен как прецессия Томаса и возникает исключительно из кинематики последовательных импульсов Лоренца.

Нахождение вращения Томаса

Описанный (ниже) процесс разложения можно провести на продукте двух чистых преобразований Лоренца, чтобы явно получить вращение координатных осей, возникающее в результате двух последовательных «повышений». В общем, используемая алгебра весьма неприступна, обычно более чем достаточна, чтобы препятствовать любой реальной демонстрации матрицы вращения.

- Гольдштейн (1980 , стр. 286)

В принципе, это довольно легко. Поскольку каждое преобразование Лоренца является продуктом повышения и вращения, последовательное применение двух чистых повышений представляет собой чистое повышение, за которым либо следует чистое вращение, либо ему предшествует чистое вращение. Таким образом, предположим

$\Lambda =B(\mathbf {w} )R.$

Задача состоит в том, чтобы получить из этого уравнения скорость наддува w и вращение R из элементов матрицы Λ . Координаты событий связаны соотношением

$x'^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }.$

Инвертирование этого соотношения дает

${\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\rho }x^{\rho }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x'^{\mu },$

или

$x^{\nu }={\Lambda _{\mu }}^{\nu }x'^{\mu }.$

Установите x ′ = ( ct ′, 0, 0, 0). Тогда х ^н зафиксирует пространственно-временное положение начала координат грунтованной системы,

$x^{\nu }={\Lambda _{0}}^{\nu }x'^{0},$

или

$x={\begin{pmatrix}ct\\x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Lambda _{0}}^{0}ct'\\{\Lambda _{0}}^{1}ct'\\{\Lambda _{0}}^{2}ct'\\{\Lambda _{0}}^{3}ct'\end{pmatrix}}..$

Но

$\Lambda ^{-1}=(B(\mathbf {w} )R)^{-1}=R^{-1}B(-\mathbf {w} ).$

Умножение этой матрицы на чистое вращение не повлияет на нулевые столбцы и строки, и

$x={\begin{pmatrix}ct\\x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct'\\\gamma \beta _{x}ct'\\\gamma \beta _{y}ct'\\\gamma \beta _{z}ct'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct'\\\gamma w_{x}t'\\\gamma w_{y}t'\\\gamma w_{z}t'\end{pmatrix}}=\gamma {\begin{pmatrix}ct'\\w_{x}t'\\w_{y}t'\\w_{z}t'\end{pmatrix}},$

чего можно было ожидать из формулы для простого ускорения в направлении x и для вектора относительной скорости

${\frac {1}{ct}}\mathbf {x} ={\frac {\mathbf {w} }{c}}={\boldsymbol {\beta }}={\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{ct}}\\{\frac {x_{2}}{ct}}\\{\frac {x_{3}}{ct}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\beta _{x}\\\beta _{y}\\\beta _{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Lambda _{0}}^{1}/{\Lambda _{0}}^{0}\\{\Lambda _{0}}^{2}/{\Lambda _{0}}^{0}\\{\Lambda _{0}}^{3}/{\Lambda _{0}}^{0}\end{pmatrix}}.$

Таким образом, учитывая Λ , можно получить β и w немногим более, чем просто проверкой Λ ⁻¹ . (Конечно, w также можно найти с помощью сложения скоростей, как описано выше.) Из w постройте B (− w ) . Тогда решение для R будет

$R=B(-\mathbf {w} )\Lambda .$

С подходом

$\Lambda =RB(\mathbf {w} ),$

можно найти тем же способом

$R=\Lambda B(-\mathbf {w} ).$

Нахождение формального решения с точки зрения параметров скорости u и v включает в себя сначала формальное умножение B ( v ) B ( u ) , формальное инвертирование, затем считывание β _w из результата, формальное построение B (− w ) из результата и, наконец, формально умножив B (− w ) B ( v ) B ( u ) . Должно быть ясно, что это непростая задача, и трудно интерпретировать/идентифицировать результат как вращение, хотя априори ясно, что это так. Именно об этих трудностях говорит приведенная выше цитата Гольдштейна. Проблема тщательно изучалась при упрощающих предположениях на протяжении многих лет.

Групповое теоретическое происхождение

Основные статьи: группа Лоренца и теория представлений группы Лоренца.

Другой способ объяснить происхождение вращения — рассмотреть генераторы группы Лоренца .

Усиление от скорости

Переход от скорости к наддуву осуществляется следующим образом. Произвольный импульс определяется выражением

$e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} },$

где ζ - тройка действительных чисел, служащая координатами в подпространстве буста алгебры Ли, поэтому (3, 1) натянуты на матрицы

$(K_{1},K_{2},K_{3})=\left(\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right],\left[{\begin{smallmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right],\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{smallmatrix}}\right]\right).$

Вектор

${\boldsymbol {\zeta }}={\frac {\boldsymbol {\beta }}{\beta }}\tanh ^{-1}\beta$

называется параметром повышения или вектором повышения , а его нормой является быстрота . Здесь β — параметр скорости , величина вектора β = u / c .

В то время как для ζ ζ 0 ≤ < ∞ , параметр β ограничен диапазоном 0 ≤ β < 1 и, следовательно , 0 ≤ u < c . Таким образом

$e^{-\tanh ^{-1}(\beta ){\frac {\boldsymbol {\beta }}{\beta }}\cdot \mathbf {K} }=e^{-{\tanh ^{-1}\beta \over c\beta }\mathbf {u} \cdot \mathbf {K} }\equiv B(\mathbf {u} )~.$

Набор скоростей, удовлетворяющих условию 0 ≤ u < c, является открытым шаром в ℝ ³ называется пространством допустимых скоростей и в литературе . Он наделен гиперболической геометрией, описанной в связанной статье.

Коммутаторы

Генераторы импульсов К ₁ , К ₂ , К ₃ в разные стороны не коммутируют. Это приводит к тому, что два последовательных повышения вообще не являются чистым усилением, а вращением, предшествующим усилению.

Рассмотрим последовательность повышений в направлении x, затем в направлении y, расширяя каждое повышение до первого порядка.

$e^{\zeta _{y}K_{y}}e^{\zeta _{x}K_{x}}=(I-\zeta _{y}K_{y}+\cdots )(I-\zeta _{x}K_{x}+\cdots )=I-\zeta _{x}K_{x}-\zeta _{y}K_{y}+\zeta _{x}\zeta _{y}K_{y}K_{x}+\cdots$

затем

$e^{-\zeta _{y}K_{y}}e^{-\zeta _{x}K_{x}}=I+\zeta _{x}K_{x}+\zeta _{y}K_{y}+\zeta _{x}\zeta _{y}K_{y}K_{x}+\cdots$

и групповой коммутатор

${\begin{aligned}e^{-\zeta _{y}K_{y}}e^{-\zeta _{x}K_{x}}e^{\zeta _{y}K_{y}}e^{\zeta _{x}K_{x}}=I&+\zeta _{x}\zeta _{y}[K_{y},K_{x}]-(\zeta _{x}K_{x})^{2}-(\zeta _{y}K_{y})^{2}\\&+\zeta _{x}^{2}\zeta _{y}[K_{x},K_{y}]K_{x}+\zeta _{x}\zeta _{y}^{2}K_{y}[K_{y},K_{x}]\\&+(\zeta _{x}\zeta _{y})^{2}K_{y}K_{x}K_{y}K_{x}+\cdots \end{aligned}}$

Три коммутационных соотношения генераторов Лоренца:

${\begin{aligned}[][J_{x},J_{y}]&=J_{z}\\[][K_{x},K_{y}]&=-J_{z}\\[][J_{x},K_{y}]&=K_{z}\end{aligned}}$

где скобка [ A , B ] = AB − BA представляет собой бинарную операцию, известную как коммутатор , а другие отношения могут быть найдены путем циклических перестановок компонентов x, y, z (т. е. замены x на y, y на z, и от z до x, повторите).

Возвращаясь к групповому коммутатору, коммутационные соотношения генераторов повышения предполагают, что при повышении вдоль направлений x, а затем y произойдет вращение вокруг оси z. В терминах быстрот угол поворота θ определяется выражением

$\tan {\frac {\theta }{2}}=\tanh {\frac {\zeta _{x}}{2}}\tanh {\frac {\zeta _{y}}{2}},$

эквивалентно выражается как

$\tan \theta ={\frac {\sinh {\zeta _{x}}~\sinh \zeta _{y}}{\cosh \zeta _{x}+\cosh \zeta _{y}}}~.$

ТАК (2, 1) ⁺ и параметризация Эйлера

На самом деле полная группа Лоренца не является необходимой для изучения вращения Вигнера. Учитывая, что это явление затрагивает только два пространственных измерения, подгруппа SO(2, 1) ⁺ достаточно для анализа сопутствующих проблем. Аналогично параметризации Эйлера SO(3) , SO(2, 1) ⁺ можно разложить на три простые части, предоставляя простую и интуитивно понятную основу для исследования проблемы вращения Вигнера.

Диаграммы пространства-времени для неколлинеарных ускорений

Знакомое понятие сложения векторов скоростей в евклидовой плоскости можно реализовать в треугольной форме, или, поскольку сложение векторов коммутативно, векторы в обоих порядках геометрически образуют параллелограмм (см. « Закон параллелограмма »). Это не справедливо для релятивистского сложения скоростей; вместо этого возникает гиперболический треугольник , края которого связаны со скоростями ускорений. Изменяя порядок скоростей наддува, результирующие скорости наддува не совпадают.

См. также

• Уравнение Баргмана-Мишеля-Телегди
• Псевдовектор Паули – Любанского
• Формула сложения скоростей # Гиперболическая геометрия
• Транспорт Ферми – Уокера

Ссылки

• Макфарлейн, Эй Джей (1962). «Об ограниченной группе Лоренца и гомоморфно связанных с ней группах». Журнал математической физики . 3 (6): 1116–1129. Бибкод : 1962JMP.....3.1116M . дои : 10.1063/1.1703854 . hdl : 2027/mdp.39015095220474 .
• Упоминание Сексла Урбантке на стр. 39 Геометрию Лобачевского необходимо ввести в обычные диаграммы пространства-времени Минковского для неколлинеарных скоростей.
• Вигнер, EP (1939), «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца», Annals of Mathematics , 40 (1): 149–204, Бибкод : 1939AnMat..40..149W , doi : 10.2307/1968551 , JSTOR   1968551 , МР   1503456 , S2CID   121773411 .
• Бен-Менахем, А. (1985). «Возвращение к ротации Вигнера». Являюсь. Дж. Физ . 53 (1): 62–66. Бибкод : 1985AmJPh..53...62B . дои : 10.1119/1.13953 .
• Бен-Менахем, С. (1986). «Прецессия Томаса и кривизна пространства скоростей». Дж. Математика. Физ . 27 (5): 1284–1286. Бибкод : 1986JMP....27.1284B . дои : 10.1063/1.527132 .
• Кушинг, Дж. Т. (1967). «Векторные преобразования Лоренца». Являюсь. Дж. Физ . 35 (9): 858–862. Бибкод : 1967AmJPh..35..858C . дои : 10.1119/1.1974267 .
• Ферраро Р. и Тибо М. (1999). «Общий состав повышений: элементарный вывод вращения Вигнера». Европейский журнал физики 20 (3): 143.
• Мокану, CI (1992). «О парадоксе релятивистского скоростного состава и вращении Томаса». Найденный. Физ. Летт . 5 (5): 443–456. Бибкод : 1992FoPhL...5..443M . дои : 10.1007/BF00690425 . ISSN   0894-9875 . S2CID   122472788 .
• Ребилас, К. (2013). «Комментарий к элементарному анализу специальной релятивистской комбинации скоростей, вращения Вигнера и прецессии Томаса». Евро. Дж. Физ . 34 (3): L55–L61. Бибкод : 2013EJPh...34L..55R . дои : 10.1088/0143-0807/34/3/L55 . S2CID   122527454 . (свободный доступ)
• Родос, Дж.А.; Семон, доктор медицины (2005). «Релятивистское пространство скоростей, вращение Вигнера и прецессия Томаса». Являюсь. Дж. Физ . 72 (7): 943–960. arXiv : gr-qc/0501070v1 . Бибкод : 2005APS..NES..R001S . дои : 10.1119/1.1652040 . S2CID   14764378 .
• Томас, Л.Х. (1926). «Движение вращающегося электрона» . Природа . 117 (2945): 514. Бибкод : 1926Natur.117..514T . дои : 10.1038/117514a0 . S2CID   4084303 .
• Унгар, А.А. (1988). «Вращение Томаса и параметризация группы Лоренца». Основы физики письма . 1 (1): 57–81. Бибкод : 1988FoPhL...1...57U . дои : 10.1007/BF00661317 . ISSN   0894-9875 . S2CID   121240925 .
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей , том. 1, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-55001-7
• Гольдштейн, Х. (1980) [1950]. «Глава 7». Классическая механика (2-е изд.). Ридинг MA: Аддисон-Уэсли . ISBN  978-0-201-02918-5 .
• Джексон, JD (1999) [1962]. «Глава 11». Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN  978-0-471-30932-1 .
• Джексон, JD (1975) [1962]. «Глава 11» . Классическая электродинамика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья . стр. 542–545 . ISBN  978-0-471-43132-9 .
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (2002) [1939]. Классическая теория полей . Курс теоретической физики. Том. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . п. 38. ISBN  0-7506-2768-9 .
• Райдер, Л.Х. (1996) [1985]. Квантовая теория поля (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0521478144 .
• Сард, Р.Д. (1970). Релятивистская механика - Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN  978-0805384918 .
• Р.У. Сексл, Х.К. Урбантке (1992). Теория относительности, Группы частиц. Специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и элементарных частиц . Спрингер. ISBN  978-3211834435 .
• Гургульон, Эрик (2013). Специальная теория относительности в общих рамках: от частиц к астрофизике . Спрингер. п. 213. ИСБН  978-3-642-37276-6 .
• Варичак, Владимир (1912). Перевод: О неевклидовой интерпретации теории относительности . Том. 21. С. 103–127.
• Томас Л.Х. Кинематика электрона с осью, Фил. Маг. 7, 1927 г. http://www.clifford.org/drbill/csueb/4250/topics/thomas_papers/Thomas1927.pdf
• Зильберштейн Л. Теория относительности, Макмиллан, 1914 г.
• Да, Л. (2023). «Вращение Вигнера и параметризация угла Эйлера». Являюсь. Дж. Физ . 91 (7): 547–554. arXiv : 2206.12406 . Бибкод : 2023AmJPh..91..547Y . дои : 10.1119/5.0111222 . S2CID   250072568 .

Дальнейшее чтение

• Релятивистское пространство скоростей, вращение Вигнера и прецессия Томаса (2004) Джон А. Роудс и Марк Д. Семон
• Гиперболическая теория специальной теории относительности (2006) Дж. Ф. Барретта