Вселенная Миксмастера

Вселенная Mixmaster (названа в честь Sunbeam Mixmaster, бренда электрических кухонных миксеров Sunbeam Products ) Это решение уравнений поля Эйнштейна в общей теории относительности, изученное Чарльзом Миснером в попытке лучше понять динамику ранней Вселенной . Он надеялся решить проблему горизонта естественным путем, показав, что ранняя Вселенная переживала колебательную хаотическую эпоху.

Обсуждение

Модель похожа на замкнутую вселенную Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера тем, что пространственные срезы положительно искривлены и топологически представляют собой трехсферы . $S^{3}$. Однако во вселенной FRW $S^{3}$ может только расширяться или сжиматься: единственным динамическим параметром является общий размер $S^{3}$, параметризованный масштабным коэффициентом $a(t)$. Во вселенной Mixmaster $S^{3}$ может расширяться или сжиматься, но также анизотропно искажаться. Его эволюция описывается масштабным коэффициентом $a(t)$ а также по двум параметрам формы $\beta _{\pm }(t)$. Значения параметров формы описывают искажения $S^{3}$ которые сохраняют свой объем, а также поддерживают постоянный скаляр кривизны Риччи . Таким образом, поскольку три параметра $a,\beta _{\pm }$ принимают разные значения, однородность , но не изотропия сохраняется .

Модель имеет богатую динамическую структуру. Миснер показал, что параметры формы $\beta _{\pm }(t)$ действуют как координаты точечной массы , движущейся в треугольном потенциале с круто поднимающимися стенками с трением. Изучая движение этой точки, Миснер показал, что физическая Вселенная будет расширяться в одних направлениях и сжиматься в других, причем направления расширения и сжатия неоднократно меняются. Поскольку потенциал имеет примерно треугольную форму, Миснер предположил, что эволюция хаотична.

Метрика

Метрика , изученная Миснером (очень немного измененная по сравнению с его обозначениями), имеет вид:

${\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{k=1}^{3}{L_{k}^{2}(t)}\sigma _{k}\otimes \sigma _{k}$

где

$L_{k}=R(t)e^{\beta _{k}}$

и $\sigma _{k}$, рассматриваемые как дифференциальные формы , определяются формулой

$\sigma _{1}=\sin \psi {\text{d}}\theta -\cos \psi \sin \theta {\text{d}}\phi$

$\sigma _{2}=\cos \psi {\text{d}}\theta +\sin \psi \sin \theta {\text{d}}\phi$

$\sigma _{3}=-{\text{d}}\psi -\cos \theta {\text{d}}\phi$

По координатам $(\theta ,\psi ,\phi )$. Они удовлетворяют

${\text{d}}\sigma _{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}$

где ${\text{d}}$ является внешней производной и $\wedge$ клиновое произведение дифференциальных форм. 1-формы $\sigma _{i}$ образуют левоинвариантный кофреймер на группе Ли SU(2) , который диффеоморфен 3- сфере $S^{3}$, поэтому пространственную метрику в модели Миснера можно кратко описать как просто левоинвариантную метрику в 3-сфере; действительно, с точностью до присоединенного действия SU(2) это фактически общая левоинвариантная метрика. Поскольку метрика развивается по уравнению Эйнштейна, геометрия этой $S^{3}$ обычно искажается анизотропно. Миснер определяет параметры $\Omega (t)$ и $R(t)$ которые измеряют объем пространственных срезов, а также «параметры формы». $\beta _{k}$, к

$R(t)=e^{-\Omega (t)}=(L_{1}(t)L_{2}(t)L_{3}(t))^{1/3},\quad \sum _{k=1}^{3}\beta _{k}(t)=0$.

Так как есть одно условие на три $\beta _{k}$, свободных функций должно быть только две, и Миснер выбирает их $\beta _{\pm }$, определяемый как

$\beta _{+}=\beta _{1}+\beta _{2}=-\beta _{3},\quad \beta _{-}={\frac {\beta _{1}-\beta _{2}}{\sqrt {3}}}$

Эволюция Вселенной затем описывается путем нахождения $\beta _{\pm }$ как функции $\Omega$.

Приложения к космологии

Миснер надеялся, что хаос взбудоражит и сгладит раннюю Вселенную. Кроме того, в периоды, когда одно направление было статичным (например, переходя от расширения к сжатию), формально горизонт Хаббла $H^{-1}$ в этом направлении бесконечно, что, по его мнению, означало, что проблема горизонта может быть решена. Поскольку направления расширения и сжатия различались, предположительно, при наличии достаточного количества времени проблема горизонта будет решена во всех направлениях.

Хотя это интересный пример гравитационного хаоса, широко признано, что космологические проблемы, которые пытается решить вселенная Mixmaster, более элегантно решаются с помощью космической инфляции . Метрика, которую изучал Миснер, также известна как метрика Бьянки типа IX.

См. также

• Классификация Бьянки
• БКЛ сингулярность