Тензор энергии-напряжения

Тензор энергии-импульса , иногда называемый тензором напряжения-энергии-импульса или тензором энергии-импульса , представляет собой тензорную физическую величину , которая описывает плотность и поток энергии , и импульса в пространстве-времени обобщая тензор напряжений ньютоновской физики . Это атрибут материи , излучения и негравитационных силовых полей . Эта плотность и поток энергии и импульса являются источниками гравитационного поля в уравнениях поля Эйнштейна , общей теории относительности точно так же, как плотность массы является источником такого поля в ньютоновской гравитации .

Определение

Тензор энергии-напряжения включает использование переменных с надстрочными индексами ( а не показателей степени; см. обозначение индекса тензора и обозначение суммирования Эйнштейна ). Если используются декартовы координаты в единицах СИ , то компоненты четырехвектора $положения x$ определяются как: $(x 0, х 1, х 2, х 3)$ $= (t, x, y, z)$ , где $t$ — время в секундах, а $x$ , $y$ и $z$ — расстояния в метрах .

Тензор энергии-импульса определяется как тензор $T аб$ второго порядка, что дает поток α $-й$ компоненты импульса вектора через поверхность с постоянной $x б$ координировать . В теории относительности этот вектор импульса принимается за четырёхимпульс . В общей теории относительности тензор энергии-импульса симметричен: ^[1]

T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }.

В некоторых альтернативных теориях, таких как теория Эйнштейна-Картана , тензор энергии-напряжения может быть не совсем симметричным из-за ненулевого тензора спина , который геометрически соответствует ненулевому тензору кручения .

Компоненты

Поскольку тензор энергии-импульса имеет порядок 2, его компоненты можно отобразить в матричной форме 4 × 4:

T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{pmatrix}}\,,

где индексы $µ$ и $ν$ принимают значения 0, 1, 2, 3.

Ниже $k$ и $ℓ$ варьируются от 1 до 3:

Компонент время-время — это плотность релятивистской массы, т. е. плотность энергии , деленная на квадрат скорости света, при нахождении в сопутствующей системе отсчета . ^[2] Оно имеет прямую физическую интерпретацию. В случае идеальной жидкости эта компонента равна
$T^{00}=\rho ~,$
где $\rho$ - релятивистская масса единицы объема, а для электромагнитного поля в пустом пространстве этот компонент равен
$T^{00}={1 \over c^{2}}\left({\frac {1}{2}}\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),$
где $E$ и $B$ — электрическое и магнитное поля соответственно. ^[3]
Поток релятивистской массы через $x к$ поверхности эквивалентна плотности $k-$ й компоненты импульса,
$T^{0k}=T^{k0}~.$
Компоненты
$T^{k\ell }$
представляют собой поток $k-й$ компоненты линейного импульса через $x ℓ$ поверхность. В частности,
$T^{kk}$
(не суммируется) представляет собой нормальное напряжение в $k$ -м направлении координат ( $k = 1, 2, 3$ ), которое называется « давлением », когда оно одинаково во всех направлениях, $k$ . Остальные компоненты
$T^{k\ell }\quad k\neq \ell$
представляют напряжение сдвига (сравните с тензором напряжений ).

В физике твердого тела и механике жидкости тензор напряжений определяется как пространственные компоненты тензора напряжения-энергии в соответствующей системе отсчета. Другими словами, тензор энергии-импульса в технике отличается от релятивистского тензора энергии-импульса импульсно-конвективным членом.

Ковариантные и смешанные формы

Большая часть этой статьи посвящена контравариантной форме $T примечание$ тензора энергии-импульса. Однако часто приходится работать с ковариантной формой,

T_{\mu \nu }=T^{\alpha \beta }g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu },

или смешанная форма,

T^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu },

или как смешанная тензорная плотность

{\mathfrak {T}}^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu }{}_{\nu }{\sqrt {-g}}\,.

используется пространственноподобное соглашение о знаках В этой статье для метрической подписи (-+++).

Закон сохранения

В специальной теории относительности

Тензор энергии-напряжения — это сохраняющийся ток Нётера, связанный с пространства-времени перемещениями .

Дивергенция негравитационной энергии-напряжения равна нулю. Другими словами, негравитационная энергия и импульс сохраняются.

0=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }{}.\!

Когда гравитация незначительна и для пространства-времени используется декартова система координат , это можно выразить через частные производные как

0=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }.\!

Интегральная форма нековариантной формулировки имеет вид

0=\int _{\partial N}T^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{3}s_{\nu }\!

где $N$ — любая компактная четырехмерная область пространства-времени; $\partial N$ — его граница, трёхмерная гиперповерхность; и $\mathrm {d} ^{3}s_{\nu }$ представляет собой элемент границы, рассматриваемый как нормаль, направленная наружу.

В плоском пространстве-времени и с использованием декартовых координат, если объединить это с симметрией тензора энергии-импульса, можно показать, что угловой момент также сохраняется:

0=(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu })_{,\nu }.\!

В общей теории относительности

Когда гравитация не пренебрежимо мала или при использовании произвольных систем координат, расхождение энергии-напряжения все равно исчезает. Но в этом случае бескоординатное определение дивергенции используется , включающее ковариантную производную

0=\operatorname {div} T=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }

где $\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }$ Это символ Кристоффеля , который представляет собой гравитационное силовое поле .

Следовательно, если $\xi ^{\mu }$ — любое векторное поле Киллинга , то закон сохранения, связанный с симметрией, порожденной векторным полем Киллинга, может быть выражен как

0=\nabla _{\nu }\left(\xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\right)={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\nu }\left({\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\right)

Интегральная форма этого

0=\int _{\partial N}{\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }=\int _{\partial N}\xi ^{\mu }{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }

В специальной теории относительности

В специальной теории относительности тензор энергии-импульса содержит информацию о плотностях энергии и импульса данной системы, помимо плотностей потока импульса и энергии. ^[4]

Учитывая лагранжеву плотность ${\mathcal {L}}$ это функция набора полей $\phi _{\alpha }$ и их производных, но явно не какой-либо из координат пространства-времени, мы можем построить канонический тензор энергии-импульса , рассматривая полную производную по одной из обобщенных координат системы. Итак, в нашем состоянии

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x^{\nu }}}=0

Тогда, используя правило цепочки, мы имеем

{\frac {d{\mathcal {L}}}{dx^{\nu }}}=d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}{\frac {\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}{\frac {\partial \phi _{\alpha }}{\partial x^{\nu }}}

Написано полезной стенографией,

d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\partial _{\mu }\phi _{\alpha }+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }

Тогда мы можем использовать уравнение Эйлера-Лагранжа:

\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}

А затем воспользуемся тем фактом, что частные производные коммутируют, так что теперь мы имеем

d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi _{\alpha }+\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\right)\partial _{\nu }\phi _{\alpha }

Мы можем признать правую часть правилом произведения. Запись его как производной произведения функций говорит нам, что

d_{\nu }{\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }\right]

Теперь на плоском пространстве можно написать $d_{\nu }{\mathcal {L}}=\partial _{\mu }[\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}]$ . Проделав это и переместив это на другую сторону уравнения, мы получим, что

\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }\right]-\partial _{\mu }\left(\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}\right)=0

И по условиям перегруппировки,

\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }-\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}\right]=0

То есть дивергенция тензора в скобках равна 0. Действительно, этим мы определяем тензор энергии-импульса:

T_{\nu }^{\mu }\equiv {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }-\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}

По конструкции он обладает свойством,

\partial _{\mu }T_{\nu }^{\mu }=0

Заметим, что это бездивергентное свойство этого тензора эквивалентно четырем уравнениям непрерывности . То есть поля имеют как минимум четыре набора величин, подчиняющихся уравнению непрерывности. В качестве примера можно увидеть, что $T_{0}^{0}$ — плотность энергии системы, и, таким образом, можно получить плотность гамильтониана из тензора энергии-импульса.

Действительно, поскольку это так, то, заметив, что $\partial _{\mu }T_{0}^{\mu }=0$ , тогда мы имеем

{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \nabla \phi _{\alpha }}}{\dot {\phi }}_{\alpha }\right)=0

Тогда мы можем заключить, что условия ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \nabla \phi _{\alpha }}}{\dot {\phi }}_{\alpha }$ представляют собой плотность потока энергии системы.

След

Заметим, что след тензора энергии-импульса определяется как $T_{\mu }^{\mu }$ , так

T_{\mu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\phi _{\alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\mathcal {L}}.

С $\delta _{\mu }^{\mu }=4$ ,

T_{\mu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\phi _{\alpha }-4{\mathcal {L}}.

В общей теории относительности

В общей теории относительности симметричный калибровочными тензор энергии-напряжения действует как источник кривизны пространства-времени и представляет собой плотность тока, связанную с преобразованиями гравитации, которые представляют собой общие криволинейные преобразования координат . (Если есть кручение , то тензор перестает быть симметричным. Это соответствует случаю с ненулевым тензором спина в теории гравитации Эйнштейна – Картана .)

В общей теории относительности частные производные, используемые в специальной теории относительности, заменяются ковариантными производными . Это означает, что уравнение непрерывности больше не подразумевает, что негравитационные энергия и импульс, выраженные тензором, абсолютно сохраняются, т.е. гравитационное поле может совершать работу над веществом и наоборот. В классическом пределе ньютоновской гравитации это имеет простую интерпретацию: кинетическая энергия обменивается с гравитационной потенциальной энергией , которая не входит в тензор, и импульс передается через поле другим телам. В общей теории относительности псевдотензор Ландау – Лифшица является уникальным способом определения энергии гравитационного поля и плотности импульса. Любой такой псевдотензор энергии-напряжения можно локально обратить в нуль путем преобразования координат.

В искривленном пространстве-времени пространственноподобный интеграл теперь вообще зависит от пространственноподобного среза. На самом деле не существует способа определить глобальный вектор энергии-импульса в общем искривленном пространстве-времени.

Уравнения поля Эйнштейна

В общей теории относительности тензор энергии-импульса изучается в контексте уравнений поля Эйнштейна, которые часто записываются как

R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },

где $R_{\mu \nu }$ – тензор Риччи , $R$ – скаляр Риччи ( тензорное сжатие тензора Риччи), $g_{\mu \nu }\,$ — метрический тензор , $Λ$ — космологическая постоянная (незначительная в масштабе галактики или меньше), а $\kappa =8\pi G/c^{4}$ Эйнштейна гравитационная постоянная .

Стресс-энергия в особых ситуациях

Изолированная частица

В специальной теории относительности энергия-напряжение невзаимодействующей частицы с массой покоя $m$ и траекторией $\mathbf {x} _{\text{p}}(t)$ является:

T^{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,t)={\frac {m\,v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\;\,\delta \left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t)\right)={\frac {E}{c^{2}}}\;v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t))

где $v^{\alpha }$ — вектор скорости (который не следует путать с четырехскоростным , поскольку в нем отсутствует $\gamma$ )

v^{\alpha }=\left(1,{\frac {d\mathbf {x} _{\text{p}}}{dt}}(t)\right)\,,

$\delta$ - дельта-функция Дирака и ${\textstyle E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$ это энергия частицы.

Написанный на языке классической физики тензор энергии-напряжения будет иметь вид (релятивистская масса, импульс, двоичное произведение импульса и скорости)

\left({\frac {E}{c^{2}}},\,\mathbf {p} ,\,\mathbf {p} \,\mathbf {v} \right)

.

Напряжение-энергия жидкости в равновесии

Для идеальной жидкости, находящейся в термодинамическом равновесии , тензор энергии-импульса принимает особенно простой вид

T^{\alpha \beta }\,=\left(\rho +{p \over c^{2}}\right)u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }

где $\rho$ - плотность массы-энергии ( килограммов на кубический метр), $p$ - гидростатическое давление ( паскали ), $u^{\alpha }$ жидкости — четырехскоростная скорость , а $g^{\alpha \beta }$ — матрица, обратная метрическому тензору . Таким образом, след определяется выражением

T_{\,\alpha }^{\alpha }=g_{\alpha \beta }T^{\beta \alpha }=3p-\rho c^{2}\,.

Четырехскоростная скорость удовлетворяет

u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}\,.

В инерциальной системе отсчета, отсчета жидкости движущейся вместе с жидкостью, более известной как собственная система , четырехскоростная скорость равна

u^{\alpha }=(1,0,0,0)\,,

матрица, обратная метрическому тензору, просто

g^{\alpha \beta }\,=\left({\begin{matrix}-{\frac {1}{c^{2}}}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\,

а тензор энергии-импульса представляет собой диагональную матрицу

T^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).

Тензор электромагнитного напряжения-энергии

Тензор энергии-импульса Гильберта электромагнитного поля без источника имеет вид

T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)

где $F_{\mu \nu }$ – тензор электромагнитного поля .

Скалярное поле

Тензор энергии-импульса для комплексного скалярного поля $\phi$ которое удовлетворяет уравнению Клейна – Гордона, есть

T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi ,

а когда метрика плоская (Минковский в декартовых координатах), ее компоненты получаются:

{\begin{aligned}T^{00}&={\frac {\hbar ^{2}}{mc^{4}}}\left(\partial _{0}{\bar {\phi }}\partial _{0}\phi +c^{2}\partial _{k}{\bar {\phi }}\partial _{k}\phi \right)+m{\bar {\phi }}\phi ,\\T^{0i}=T^{i0}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{mc^{2}}}\left(\partial _{0}{\bar {\phi }}\partial _{i}\phi +\partial _{i}{\bar {\phi }}\partial _{0}\phi \right),\ \mathrm {and} \\T^{ij}&={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(\partial _{i}{\bar {\phi }}\partial _{j}\phi +\partial _{j}{\bar {\phi }}\partial _{i}\phi \right)-\delta _{ij}\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi +mc^{2}{\bar {\phi }}\phi \right).\end{aligned}}

Варианты определения стресса-энергии

Существует ряд неэквивалентных определений. ^[5] негравитационной энергии стресса:

Тензор энергии-напряжения Гильберта

Тензор энергии-импульса Гильберта определяется как функциональная производная

T_{\mu \nu }={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\right)}{\partial g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\partial g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} },

где $S_{\mathrm {matter} }$ – негравитационная часть действия , ${\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }$ - негравитационная часть лагранжевой плотности, уравнение Эйлера-Лагранжа использовалось . Это симметрично и калибровочно-инвариантно. Для получения дополнительной информации см. Действие Эйнштейна – Гильберта .

Канонический тензор энергии-напряжения

Теорема Нётер подразумевает, что существует сохраняющийся ток, связанный с перемещениями в пространстве и времени; подробнее см. раздел выше о тензоре энергии-импульса в специальной теории относительности. Это называется каноническим тензором энергии-импульса. Как правило, это не симметрично, и если у нас есть некоторая калибровочная теория, она может не быть калибровочно-инвариантной , поскольку пространственно-зависимые калибровочные преобразования не коммутируют с пространственными сдвигами.

В общей теории относительности переводы выполняются относительно системы координат и, как таковые, не преобразуются ковариантно. См. раздел ниже, посвященный гравитационному псевдотензору энергии-напряжения.

Тензор энергии-напряжения Белинфанте – Розенфельда

При наличии спина или другого собственного углового момента канонический тензор энергии-напряжения Нётер не может быть симметричным. Тензор энергии-напряжения Белинфанте-Розенфельда построен из канонического тензора энергии-напряжения и спинового тока таким образом, чтобы быть симметричным и при этом сохраняться. В общей теории относительности этот модифицированный тензор согласуется с тензором энергии-импульса Гильберта.

Гравитационный стресс-энергия

Согласно принципу эквивалентности гравитационное напряжение-энергия всегда будет локально равно нулю в любой выбранной точке некоторой выбранной системы отсчета, поэтому гравитационное напряжение-энергия не может быть выражено как ненулевой тензор; вместо этого нам придется использовать псевдотензор .

В общей теории относительности существует множество возможных различных определений гравитационного псевдотензора напряжения-энергии-импульса. К ним относятся псевдотензор Эйнштейна и псевдотензор Ландау–Лифшица . Псевдотензор Ландау–Лифшица можно свести к нулю в любом событии в пространстве-времени, выбрав подходящую систему координат.

См. также

Примечания и ссылки

↑ На стр. 141–142 книги Миснера, Торна и Уиллера раздел 5.7 «Симметрия тензора энергии-напряжения» начинается со слов «Все тензоры энергии-напряжения, исследованные выше, были симметричными. То, что иначе они не могли бы быть, можно увидеть как следует».
^ Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уиллер, Джон А. (1973). Гравитация . Сан-Франциско, Калифорния: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0334-3 .
^ д'Инверно, РА (1992). Знакомство с теорией относительности Эйнштейна . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-859686-8 .
^ Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (2010). Классическая теория полей (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. стр. 84–85. ISBN 978-0-7506-2768-9 .
^ Бейкер, MR; Кирющева Н.; Кузьмин, С. (2021). «Нётеровские и гильбертовы (метрические) тензоры энергии-импульса, вообще говоря, не эквивалентны» . Ядерная физика Б . 962 (1): 115240. arXiv : 2011.10611 . Бибкод : 2021NuPhB.96215240B . doi : 10.1016/j.nuclphysb.2020.115240 . S2CID 227127490 .

В. Висс (2005). «Тензор энергии-импульса в классической теории поля» (PDF) . Колорадо, США.

Внешние ссылки

Лекция, Стефан Ванер
Учебное пособие Калифорнийского технологического института по теории относительности - простое обсуждение связи между тензором напряжения-энергии общей теории относительности и метрикой.

[1] На стр. 141–142 книги Миснера, Торна и Уиллера раздел 5.7 «Симметрия тензора энергии-напряжения» начинается со слов «Все тензоры энергии-напряжения, исследованные выше, были симметричными. То, что иначе они не могли бы быть, можно увидеть как следует».

[2] Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уиллер, Джон А. (1973). Гравитация . Сан-Франциско, Калифорния: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0334-3 .

[3] д'Инверно, РА (1992). Знакомство с теорией относительности Эйнштейна . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-859686-8 .

[4] Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (2010). Классическая теория полей (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. стр. 84–85. ISBN 978-0-7506-2768-9 .

[5] Бейкер, MR; Кирющева Н.; Кузьмин, С. (2021). «Нётеровские и гильбертовы (метрические) тензоры энергии-импульса, вообще говоря, не эквивалентны» . Ядерная физика Б . 962 (1): 115240. arXiv : 2011.10611 . Бибкод : 2021NuPhB.96215240B . doi : 10.1016/j.nuclphysb.2020.115240 . S2CID 227127490 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]