Соотношение

Чтобы узнать о других значениях, см. Соотношение (значения) .

«Это» перенаправляется сюда. О грамматической конструкции см. am to .

Соотношение ширины и высоты телевидения стандартной четкости

В математике отношение ) показывает , ( / ˈ r eɪ ʃ ( i ) oʊ / сколько раз одно число содержит другое. Например, если в вазе с фруктами восемь апельсинов и шесть лимонов, то соотношение апельсинов и лимонов будет восемь к шести (то есть 8:6, что эквивалентно соотношению 4:3). Точно так же соотношение лимонов и апельсинов составляет 6:8 (или 3:4), а соотношение апельсинов к общему количеству фруктов — 8:14 (или 4:7).

Числа в соотношении могут быть величинами любого типа, например, количеством людей или объектов, или такими, как измерения длины, веса, времени и т. д. В большинстве контекстов оба числа ограничены положительными значениями .

Отношение может быть задано либо путем указания обоих составляющих чисел, записанных как « a to b » или « a:b », либо путем указания только значения их частного. ⁠ a / b ⁠ . Равные частные соответствуют равным отношениям.Утверждение, выражающее равенство двух отношений, называется пропорцией .

Следовательно, отношение можно рассматривать как упорядоченную пару чисел, дробь с первым числом в числителе и вторым в знаменателе или как значение, обозначаемое этой дробью. Отношения счетчиков, заданные (ненулевыми) натуральными числами , являются рациональными числами и иногда могут быть натуральными числами.

Более конкретное определение, принятое в физических науках (особенно в метрологии ) для отношения, — это безразмерное частное между двумя физическими величинами, измеряемыми в одной и той же единице . Частное двух величин, измеряемых в разных единицах, можно назвать нормой .

Обозначения и терминология

Отношение чисел А и В можно выразить как:

• соотношение А и Б
• А: Б
• A относится к B (когда за ним следует «как C относится к D »; см. ниже)
• дробь в знаменателе, которая с А в числителе и В представляет собой частное (т. е. А делится на В или ${\tfrac {A}{B}}$). Это может быть выражено как простой или десятичной дробью, так и в процентах и ​​т. д.

Когда соотношение записано в форме A : B , символ из двух точек иногда является знаком препинания двоеточие . В Юникоде это U+003A : Двоеточие , хотя Unicode также предоставляет специальный символ соотношения, U+2236 ∶ ОТНОШЕНИЕ .

Числа A и B иногда называют членами отношения , где A является антецедентом , а B консеквентом — .

утверждение, выражающее равенство двух отношений А : В и С : D называется Пропорцией . как A : B = C : D или A : B ∷ C : D. записывается Эта последняя форма, когда говорят или пишут на английском языке, часто выражается как

( A относится к B ), как ( C относится к D ).

A , B , C и D называются членами пропорции. A и D называются крайними значениями , а B и C — средними . Равенство трех и более соотношений, например A : B = C : D = E : F , называется непрерывной пропорцией .

Соотношения иногда используются с тремя или даже более членами, например, пропорция длин кромок « два на четыре » длиной десять дюймов равна

${\text{thickness : width : length }}=2:4:10;$

(нестроганые размеры; первые две цифры немного уменьшаются, когда древесина строгается гладко)

хорошую бетонную смесь (в единицах объема) иногда называют

${\text{cement : sand : gravel }}=1:2:4.$

Для (довольно сухой) смеси цемента и воды в соотношении 4/1 по объему можно сказать, что соотношение цемента и воды составляет 4:1, что цемента в 4 раза больше, чем воды, или что существует четверть (1/4) воды меньше, чем цемента.

Смысл такой пропорции отношений с более чем двумя слагаемыми состоит в том, что отношение любых двух слагаемых в левой части равно отношению соответствующих двух слагаемых в правой части.

История и этимология

Происхождение слова «отношение» можно проследить до древнегреческого λόγος ( логос ). Ранние переводчики перевели это на латынь как Ratio («причина»; как в слове «рациональный»). Более современная интерпретация значения Евклида больше похожа на вычисление или исчисление. Средневековые писатели использовали слово proportio («пропорция») для обозначения соотношения, а слово «пропорциональность » («пропорциональность») — для обозначения равенства пропорций.

Евклид собрал результаты, представленные в «Началах», из более ранних источников. Пифагорейцы . разработали теорию соотношения и пропорции применительно к числам Концепция числа пифагорейцев включала только то, что сегодня назвали бы рациональными числами, ставя под сомнение обоснованность теории в геометрии, где, как также обнаружили пифагорейцы, существуют несоизмеримые отношения (соответствующие иррациональным числам ). Открытие теории отношений, не предполагающей соизмеримости, принадлежит, вероятно, Евдоксу Книдскому . Изложение теории пропорций, представленное в VII книге «Элементов», отражает более раннюю теорию отношений соизмеримых величин.

Существование множества теорий кажется излишне сложным, поскольку отношения в значительной степени отождествляются с факторами и их предполагаемыми значениями. Однако это сравнительно недавнее явление, о чем свидетельствует тот факт, что в современных учебниках по геометрии все еще используются разные термины и обозначения для отношений и частных. Причины этого двояки: во-первых, ранее упомянутое нежелание принимать иррациональные числа в качестве истинных чисел, а во-вторых, отсутствие широко используемой символики для замены уже устоявшейся терминологии отношений задержало полное принятие дробей в качестве альтернативы до тех пор, пока 16 век.

Определения Евклида

В пятой книге « Начал» Евклида содержится 18 определений, каждое из которых относится к пропорциям. Кроме того, Евклид использует идеи, которые были настолько широко распространены, что он не дал им определений. Первые два определения говорят, что часть величины — это другая величина, которая «измеряет» ее, и наоборот, кратная величине — это другая величина, которую она измеряет. В современной терминологии это означает, что кратное количеству — это количество, умноженное на целое число, большее единицы, а часть количества (имеется в виду аликвотная часть ) — это часть, которая при умножении на целое число, большее единицы, дает количество.

Евклид не дает определения термину «мера», используемому здесь. Однако можно сделать вывод, что если некоторая величина принимается за единицу измерения, а вторая величина дается как целое число этих единиц, то первая измеряет величина второй. Эти определения повторяются почти слово в слово, как определения 3 и 5 в книге VII.

Определение 3 описывает, что такое соотношение в общем виде. Она не является строгой в математическом смысле, и некоторые приписывают ее редакторам Евклида, а не самому Евклиду. Евклид определяет отношение как между двумя величинами одного и того же типа , поэтому этим определением определяются отношения двух длин или двух площадей, но не соотношение длины и площади. Определение 4 делает это более строгим. Он утверждает, что соотношение двух величин существует, когда существует кратное число каждой, превышающее другую. В современных обозначениях соотношение существует между величинами p и q , если существуют целые числа m и n такие, что mp > q и nq > p . Это условие известно как свойство Архимеда .

Определение 5 является самым сложным и трудным. Он определяет, что означает равенство двух отношений. Сегодня это можно сделать, просто заявив, что отношения равны, когда равны частные члены, но такое определение было бы бессмысленным для Евклида. В современных обозначениях определение равенства Евклида заключается в том, что для данных величин p , q , r и s , p : q ∷ r : s когда для любых натуральных чисел m и n , np < mq тогда и только тогда , np = mq или np > mq в соответствии с nr < ms , nr = ms или nr > ms соответственно. Это определение имеет сходство с дедекиндовыми разрезами , поскольку, когда n и q положительны, np соответствует mq как ⁠ p / q ⁠ соответствует рациональному числу ⁠ m / n ⁠ (разделив оба слагаемых на nq ).

Определение 6 говорит, что величины, имеющие одинаковое соотношение, пропорциональны или пропорциональны . Евклид использует греческое слово ἀναλόγον (аналог), оно имеет тот же корень, что и λόγος, и связано с английским словом «аналог».

что означает, что одно соотношение меньше или больше другого, и основано на идеях, присутствующих в определении 5. В современных обозначениях оно гласит, что при данных количествах p , q , r и s : p Определение 7 определяет , q > r : s , если существуют целые положительные числа m и n такие, что np > mq и nr ≤ ms .

Как и в случае с определением 3, определение 8 некоторые считают более поздним добавлением редакторов Евклида. Он определяет три термина p , q и r как пропорциональные, когда p : q ∷ q : r . Это распространяется на четыре термина p , q , r и s как p : q ∷ q : r ∷ r : s и так далее. Последовательности, обладающие свойством равенства отношений последовательных членов, называются геометрическими прогрессиями . Определения 9 и 10 применяют это, говоря, что если p , q и r пропорциональны, то p : r - это двойное соотношение p q : , а если p , q , r и s пропорциональны, то p : s - тройное соотношение. п ​ : q .

Количество членов и использование дробей

В общем, сравнение величин соотношения двух сущностей можно выразить как дробь, полученную из соотношения. Например, в соотношении 2:3 сумма, размер, объем или количество первого объекта равны ${\tfrac {2}{3}}$ что у второй сущности.

Если имеется 2 апельсина и 3 яблока, то соотношение апельсинов к яблокам равно 2:3, а соотношение апельсинов к общему количеству кусочков фруктов — 2:5. Эти соотношения можно выразить и в дробной форме: апельсинов в 2/3 меньше, чем яблок, а апельсинов составляет 2/5 частей фруктов. Если концентрат апельсинового сока необходимо разбавить водой в соотношении 1:4, то одну часть концентрата смешивают с четырьмя частями воды, всего получается пять частей; количество концентрата апельсинового сока составляет 1/4 количества воды, а количество концентрата апельсинового сока составляет 1/5 от общего количества жидкости. И в пропорциях, и в дробях важно четко понимать, что с чем сравнивается, и по этой причине новички часто допускают ошибки.

Дроби также можно вывести из отношений, содержащих более двух объектов; однако соотношение, содержащее более двух объектов, не может быть полностью преобразовано в одну дробь, поскольку дробь может сравнивать только две величины. Отдельную дробь можно использовать для сравнения количеств любых двух объектов, охватываемых соотношением: например, из соотношения 2:3:7 мы можем сделать вывод, что количество второго объекта равно ${\tfrac {3}{7}}$ что это третья сущность.

Пропорции и процентные соотношения

Если мы умножим все величины, входящие в соотношение, на одно и то же число, соотношение останется действительным. Например, соотношение 3:2 соответствует 12:8. Обычно члены либо приводят к наименьшему общему знаменателю , либо выражают их в сотых частях ( процентах ).

Если в смеси содержатся вещества А, В, С и D в соотношении 5:9:4:2, то на каждые 9 частей В приходится 5 частей А, 4 части С и 2 части D. Так как 5+9 +4+2=20, общая смесь содержит 5/20 A (5 частей из 20), 9/20 B, 4/20 C и 2/20 D. Если разделить все числа на Суммируем и умножаем на 100, мы преобразуем в проценты : 25% A, 45% B, 20% C и 10% D (что эквивалентно написанию соотношения 25:45:20:10).

Если два или более количества соотношения охватывают все количества в конкретной ситуации, говорят, что «целое» содержит сумму частей: например, корзина с фруктами, содержащая два яблока и три апельсина, и никаких других фруктов не получается. из двух частей яблок и трех частей апельсинов. В этом случае, ${\tfrac {2}{5}}$, или 40% всего — яблоки и ${\tfrac {3}{5}}$, или 60% всего — апельсины. Это сравнение определенной величины со «целым» называется пропорцией.

Если соотношение состоит всего из двух значений, его можно представить в виде дроби, в частности десятичной дроби. Например, старые телевизоры имеют соотношение сторон 4:3 , что означает, что ширина составляет 4/3 высоты (это также можно выразить как 1,33:1 или просто 1,33, округленное до двух десятичных знаков). Более поздние широкоэкранные телевизоры имеют соотношение сторон 16:9, или 1,78, округленное до двух десятичных знаков. Один из популярных широкоэкранных форматов фильмов — 2,35:1 или просто 2,35. Представление отношений в виде десятичных дробей упрощает их сравнение. При сравнении 1,33, 1,78 и 2,35 становится очевидно, какой формат обеспечивает более широкое изображение. Такое сравнение работает только тогда, когда сравниваемые значения согласованы, например, всегда выражая ширину по отношению к высоте.

Снижение

Отношения можно уменьшить (как и дроби), разделив каждую величину на общие коэффициенты всех величин. Что касается дробей, то самой простой формой считается та, в которой числа в пропорции представляют собой наименьшие целые числа.

Таким образом, соотношение 40:60 по смыслу эквивалентно отношению 2:3, причем последнее получается из первого путем деления обеих величин на 20. Математически мы пишем 40:60 = 2:3 или, что эквивалентно, 40:60∷. 2:3. Словесный эквивалент: «40 относится к 60, как 2 к 3».

Отношение, которое имеет целые числа для обеих величин и которое не может быть уменьшено дальше (с использованием целых чисел), называется в простейшей форме или в самых низких терминах.

Иногда полезно записать соотношение в форме 1: x или x :1, где x не обязательно является целым числом, чтобы можно было сравнивать различные соотношения. Например, соотношение 4:5 можно записать как 1:1,25 (деление обеих сторон на 4). Альтернативно его можно записать как 0,8:1 (деление обеих сторон на 5).

Если контекст проясняет смысл, отношение в этой форме иногда пишется без 1 и символа отношения (:), хотя математически это делает его коэффициентом или множителем .

Иррациональные соотношения

Соотношения могут быть установлены также между несоизмеримыми величинами (количествами, отношение которых, как значение дроби, равно иррациональному числу ). пример, найденный пифагорейцами , — это отношение длины диагонали d к длине стороны s квадрата Самый ранний обнаруженный , которое является квадратным корнем из 2 . формально $a:d=1:{\sqrt {2}}.$ Другой пример — отношение длины окружности к его диаметру, которое называется π и является не просто иррациональным числом , а трансцендентным числом .

Также хорошо известно золотое сечение двух (в основном) длин a и b , которое определяется пропорцией

$a:b=(a+b):a\quad$ или, что то же самое $\quad a:b=(1+b/a):1.$

Принимая отношения в виде дробей и $a:b$ как имеющий значение x , дает уравнение

$x=1+{\tfrac {1}{x}}\quad$ или $\quad x^{2}-x-1=0,$

которое имеет положительное, иррациональное решение $x={\tfrac {a}{b}}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$Таким образом, по крайней мере одно из a и b должно быть иррациональным, чтобы они находились в золотом сечении. Примером золотого сечения в математике является предельное значение отношения двух последовательных чисел Фибоначчи : хотя все эти отношения являются отношениями двух целых чисел и, следовательно, рациональны, предел последовательности этих рациональных отношений равен иррациональное золотое сечение.

Точно так же соотношение серебра в a и b определяется пропорцией

$a:b=(2a+b):a\quad (=(2+b/a):1),$ соответствующий $x^{2}-2x-1=0.$

Это уравнение имеет положительное иррациональное решение $x={\tfrac {a}{b}}=1+{\sqrt {2}},$ таким образом, по крайней мере одна из двух величин a и b в соотношении серебра должна быть иррациональной.

Шансы

Основная статья: Шансы

Шансы (как и в азартных играх) выражаются в виде отношения. Например, коэффициент «7 к 3 против» (7:3) означает, что на каждые три шанса, что событие не произойдет, приходится семь. Вероятность успеха составляет 30%. Ожидается, что в каждых десяти испытаниях будет три победы и семь поражений.

Единицы

Отношения могут быть безразмерными , так как в этом случае они связывают величины в единицах одной и той же размерности , даже если их единицы измерения изначально различны.Например, соотношение одна минута: 40 секунд можно уменьшить, изменив первое значение на 60 секунд, таким образом соотношение станет 60 секунд: 40 секунд . Если единицы измерения одинаковы, их можно опустить и уменьшить соотношение до 3:2.

С другой стороны, существуют безразмерные коэффициенты, также известные как ставки (иногда также отношения). В химии соотношения массовых концентраций обычно выражаются в виде массовых/объемных долей.Например, концентрация 3% по массе обычно означает 3 г вещества на каждые 100 мл раствора. Его нельзя преобразовать в безразмерное соотношение, как в долях вес/вес или объем/объем.

Треугольные координаты

Положения точек относительно треугольника с вершинами A , B и C и сторонами AB , BC и CA часто выражаются в расширенной форме отношений как треугольные координаты .

В барицентрических координатах точка с координатами α, β, γ — это точка, на которой невесомый лист металла формы и размера треугольника точно балансировал бы, если бы на вершины были помещены грузы, с соотношением весов в точке А и B представляет собой α : β , соотношение весов в B и C равно β : γ , и, следовательно, соотношение весов в A и C равно α : γ .

В трилинейных координатах точка с координатами x : y : z имеет перпендикулярные расстояния до стороны BC (поперек вершины A ) и стороны CA (поперек вершины B ) в соотношении x : y , расстояния до стороны CA и стороны AB (поперек от C ) в отношении y : z , а значит, и расстояния до сторон BC и AB в отношении x : z .

Поскольку вся информация выражается в виде отношений (отдельные числа, обозначаемые α, β, γ, x, y и z сами по себе не имеют значения), анализ треугольника с использованием барицентрических или трилинейных координат применяется независимо от размера треугольника. .

См. также

• Перекрестное соотношение
• Коэффициент разбавления
• Отношение смещения к длине
• Безразмерная величина
• Финансовый коэффициент
• Изменение сгиба
• Интервал (музыка)
• Коэффициент шансов
• Частей в обозначении
• Соотношение цена-качество
• Пропорциональность (математика)
• Распределение соотношения
• Оценщик соотношения
• Оценить (математика)
• Соотношение (Твиттер)
• Коэффициент ставок
• Относительный риск
• Правило трех (математика)
• Масштаб (карта)
• Масштаб (соотношение)
• Соотношение полов
• Суперчастичное соотношение
• Склон

Дальнейшее чтение

• «Соотношение» The Penny Cyclopædia vol. 19 , Общество распространения полезных знаний (1841 г.), Чарльз Найт и компания, Лондон, стр. 307 и далее.
• «Пропорция» Новая Международная Энциклопедия, Том. 19 2-е изд. (1916) Додд Мид и компания, стр. 270-271.
• «Отношение и пропорция» Основы практической математики , Джордж Вентворт, Дэвид Юджин Смит, Герберт Друри Харпер (1922) Джинн и Ко, стр. 55 и далее.
• Тринадцать книг «Начал» Евклида, том 2 . пер. Сэр Томас Литтл Хит (1908). Кембриджский университет. Нажимать. 1908. стр. 112 и далее. {{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )
• Д. Э. Смит, История математики, том 2 Джинн и компания (1925), стр. 477 и далее. Перепечатано в 1958 году издательством Dover Publications.