Делитель

Эта статья о целом числе, которое является делителем другого целого числа. Чтобы узнать о числе, используемом для деления другого числа в операции деления, см. Деление (математика) . Чтобы узнать о других значениях, см. Разделитель (значения) .

«Делимый» перенаправляется сюда. О делимости групп см. Делимая группа .

Делители числа 10 изображены стержнями Кюизенера : 1, 2, 5 и 10.

В математике делитель целого числа $n,$ также фактором называется $n,$ целое число $m$ которое можно умножить на некоторое целое число, чтобы получить $n.$ В этом случае также говорят, что $n$ кратно ​ ​ $m.$ Целое число $n$ делится или число делится без остатка на другое целое $m$ если $m$ является делителем $n$; это подразумевает разделение $n$ к $m$ не оставляет остатка.

Определение

Целое число $n$ делится на ненулевое целое число $m$ если существует целое число $k$ такой, что $n=km.$ Это написано как

$m\mid n.$

Это можно прочитать так $m$ делит $n,$ $m$ является делителем $n,$ $m$ является фактором $n,$ или $n$ кратно $m.$ Если $m$ не делит $n,$ тогда обозначение $m\not \mid n.$

Существуют две конвенции, различающиеся тем, являются ли они $m$ допускается равняться нулю:

• С соглашением без дополнительных ограничений на $m,$ $m\mid 0$ для каждого целого числа $m.$
• С соглашением, что $m$ быть ненулевым, $m\mid 0$ для каждого ненулевого целого числа $m.$

Общий

Делители могут быть как отрицательными , так и положительными, хотя часто этот термин ограничивается положительными делителями. Например, существует шесть делителей числа 4; это 1, 2, 4, -1, -2 и -4, но обычно упоминаются только положительные (1, 2 и 4).

1 и −1 делят (являются делителями) каждое целое число. Каждое целое число (и его отрицание) является делителем самого себя. Целые числа, делящиеся на 2, называются четными , а целые числа, не делящиеся на 2, — нечетными .

1, −1, $n$ и $-n$ известны как делители тривиальные $n.$ Делитель $n$ который не является тривиальным делителем, известен как нетривиальный делитель (или строгий делитель ). Ненулевое целое число, имеющее хотя бы один нетривиальный делитель, называется составным числом , а единицы -1 и 1, а также простые числа не имеют нетривиальных делителей.

Существуют правила делимости , которые позволяют по цифрам числа узнавать определенные делители числа.

Примеры

График количества делителей целых чисел от 1 до 1000. Простые числа имеют ровно 2 делителя, а составные числа выделены жирным шрифтом.

• 7 является делителем 42, потому что $7\times 6=42,$ поэтому мы можем сказать $7\mid 42.$ Также можно сказать, что 42 делится на 7, 42 кратно 7 , 7 делит 42 или 7 делит 42.
• Нетривиальными делителями числа 6 являются 2, −2, 3, −3.
• Положительные делители числа 42 — 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• Набор , всех положительных делителей 60 $A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},$ частично упорядочен по делимости, имеет диаграмму Хассе :

Дальнейшие понятия и факты

Есть несколько элементарных правил:

• Если $a\mid b$ и $b\mid c,$ затем $a\mid c,$ т.е. делимость является транзитивным отношением .
• Если $a\mid b$ и $b\mid a,$ затем $a=b$ или $a=-b.$
• Если $a\mid b$ и $a\mid c,$ затем $a\mid (b+c)$ держится, как и $a\mid (b-c).$ Однако, если $a\mid b$ и $c\mid b,$ затем $(a+c)\mid b$ не всегда выполняется (например, $2\mid 6$ и $3\mid 6$ но 5 не делит 6).

Если $a\mid bc,$ и $\gcd(a,b)=1,$ затем $a\mid c.$ Это называется леммой Евклида .

Если $p$ является простым числом и $p\mid ab$ затем $p\mid a$ или $p\mid b.$

Положительный делитель $n$ это отличается от $n$ называется собственный делитель или аликвотная часть $n.$ Число, которое не делится нацело $n$ но оставляет остаток, который иногда называют значительная часть $n.$

Целое число $n>1$ число, единственный собственный делитель которого равен 1, называется простым числом . Другими словами, простое число — это целое положительное число, имеющее ровно два положительных делителя: 1 и само себя.

Любой положительный делитель $n$ является произведением простых делителей $n$ возведен в некоторую степень. Это следствие основной теоремы арифметики .

Число $n$ называется совершенным , если оно равно сумме своих собственных делителей, дефектным, если сумма его собственных делителей меньше $n,$ и обильным , если эта сумма превышает $n.$

Общее количество положительных делителей $n$ это мультипликативная функция $d(n),$ это означает, что когда два числа $m$ и $n$ относительно простые , то $d(mn)=d(m)\times d(n).$ Например, $d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)$; восемь делителей числа 42 — это 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42. Однако количество положительных делителей не является полностью мультипликативной функцией: если два числа $m$ и $n$ имеют общий делитель, то может быть неверно, что $d(mn)=d(m)\times d(n).$ Сумма положительных делителей $n$ это еще одна мультипликативная функция $\sigma (n)$ (например $\sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42$). Обе эти функции являются примерами функций делителей .

Если факторизация простая $n$ дается

$n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}$

тогда число положительных делителей $n$ является

$d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),$

и каждый из делителей имеет вид

$p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}$

где $0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}$ для каждого $1\leq i\leq k.$

Для каждого природного $n,$ $d(n)<2{\sqrt {n}}.$

Также,

$d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}),$

где $\gamma$ – постоянная Эйлера–Машерони .Одна из интерпретаций этого результата состоит в том, что случайно выбранное положительное целое число n имеет среднее значение.число делителей около $\ln n.$ Однако это результат вклада чисел с «аномально большим количеством» делителей .

В абстрактной алгебре

Теория колец

Основная статья: Делимость (теория колец)

Разделительная решетка

Основная статья: Решетка разделения

В определениях, допускающих, что делитель равен 0, отношение делимости превращает множество $\mathbb {N}$ неотрицательных , целых чисел в частично упорядоченный набор который представляет собой полную дистрибутивную решетку . Самый большой элемент этой решетки равен 0, а самый маленький — 1. Операция встречи ∧ задается наибольшим общим делителем , а операция соединения ∨ — наименьшим общим кратным . Эта решетка изоморфна двойственной решетке подгрупп бесконечной циклической группы Z.

См. также

• Арифметические функции
• Евклидов алгоритм
• Дробь (математика)
• Целочисленная факторизация
• Таблица делителей - Таблица простых и непростых делителей чисел от 1 до 1000.
• Таблица простых множителей - Таблица простых множителей для 1–1000.
• Унитарный делитель

Ссылки

• Дурбин, Джон Р. (2009). Современная алгебра: Введение (6-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN  978-0470-38443-5 .
• Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer Verlag , ISBN  0-387-20860-7 ; раздел Б
• Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (1960). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета.
• Херштейн, Индиана (1986), Абстрактная алгебра , Нью-Йорк: Macmillan Publishing Company, ISBN  0-02-353820-1
• Нивен, Иван ; Цукерман, Герберт С.; Монтгомери, Хью Л. (1991). Введение в теорию чисел (5-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN  0-471-62546-9 .
• Ойстейн Оре , Теория чисел и ее история, МакГроу-Хилл, Нью-Йорк, 1944 (и переиздания в Дувре).
• Симс, Чарльз К. (1984), Абстрактная алгебра: вычислительный подход , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN  0-471-09846-9
• Тантон, Джеймс (2005). Энциклопедия математики . Нью-Йорк: факты в архиве. ISBN  0-8160-5124-0 . OCLC   56057904 .