Функция неоднозначности

импульсных радиолокационных и гидролокационных При обработке сигналов функция неоднозначности представляет собой двумерную функцию задержки распространения. $\tau$ и доплеровская частота $f$ , $\chi (\tau ,f)$ . Он представляет собой искажение возвращенного импульса из-за согласованного фильтра приемника. ^[1] (обычно, но не исключительно, используется в радарах со сжатием импульсов ) отражения от движущейся цели. Функция неоднозначности определяется свойствами импульса и фильтра, а не каким-либо конкретным целевым сценарием.

Существует множество определений функции неоднозначности; некоторые ограничены узкополосными сигналами, а другие подходят для описания задержки и доплеровской зависимости широкополосных сигналов. Часто определение функции неоднозначности дается как квадрат величины других определений (Вейсса ^[2]). Для данного комплексного модулирующего импульса $s(t)$ , узкополосная функция неоднозначности имеет вид

\chi (\tau ,f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )e^{i2\pi ft}\,dt

где $^{*}$ обозначает комплексно-сопряженное и $i$ это мнимая единица . Обратите внимание, что при нулевом доплеровском сдвиге ( $f=0$ , это сводится к автокорреляции ) $s(t)$ . Более лаконичный способ представленияфункция неоднозначности состоит в рассмотрении одномерного«разрезы» с нулевой задержкой и нулевым доплеровским эффектом; то есть, $\chi (0,f)$ и $\chi (\tau ,0)$ , соответственно. Выходной сигнал согласованного фильтра как функция времени (сигнал, который можно наблюдать в радиолокационной системе) представляет собой доплеровский срез с постоянной частотой, определяемой доплеровским сдвигом цели: $\chi (\tau ,f_{D})$ .

Предыстория и мотивация

Импульсно-доплеровское радиолокационное оборудование излучает серию радиочастотных импульсов. Каждый импульс имеет определенную форму (форму волны) — длительность импульса, какова его частота, меняется ли частота во время импульса и т. д. Если волны отразятся от одного объекта, детектор увидит сигнал, который в простейшем случае является копией исходного импульса, но с задержкой на определенное время. $\tau$ — связанный с расстоянием до объекта — и сдвинутый на определенную частоту $f$ — связанный со скоростью объекта ( доплеровский сдвиг ). Если исходная форма излучаемого импульса $s(t)$ , то обнаруженный сигнал (без учета шума, затухания и искажений, а также широкополосных поправок) будет:

s_{\tau ,f}(t)\equiv s(t-\tau )e^{i2\pi ft}.

Обнаруженный сигнал никогда не будет в точности равен любому $s_{\tau ,f}$ из-за шума. Тем не менее, если обнаруженный сигнал имеет высокую корреляцию с $s_{\tau ,f}$ , при определенной задержке и доплеровском сдвиге $(\tau ,f)$ , то это говорит о том, что существует объект с $(\tau ,f)$ . К сожалению, эта процедура может давать ложные срабатывания , т.е. неправильные значения. $(\tau ',f')$ которые, тем не менее, сильно коррелируют с обнаруженным сигналом. В этом смысле обнаруженный сигнал может быть неоднозначным .

Неоднозначность возникает именно тогда, когда существует высокая корреляция между $s_{\tau ,f}$ и $s_{\tau ',f'}$ для $(\tau ,f)\neq (\tau ',f')$ . Это мотивирует функцию неоднозначности $\chi$ . Определяющее свойство $\chi$ заключается в том, что корреляция между $s_{\tau ,f}$ и $s_{\tau ',f'}$ равно $\chi (\tau -\tau ',f-f')$ .

Различные формы импульсов (формы сигналов) $s(t)$ имеют разные функции неоднозначности, и функция неоднозначности важна при выборе того, какой импульс использовать.

Функция $\chi$ является комплексным; степень «неоднозначности» связана с ее величиной $|\chi (\tau ,f)|^{2}$ .

Связь с частотно-временными распределениями

Функция неоднозначности играет ключевую роль в области частотно-временной обработки сигналов . ^[3] поскольку оно связано с распределением Вигнера – Вилля двумерным преобразованием Фурье . Это соотношение является фундаментальным для формулирования других частотно-временных распределений : билинейные распределения время-частота получаются посредством двумерной фильтрации в области неоднозначности (то есть функции неоднозначности сигнала). Этот класс распределения может быть лучше адаптирован к рассматриваемым сигналам. ^[4]

Более того, распределение неоднозначности можно рассматривать как кратковременное преобразование Фурье сигнала, используя сам сигнал в качестве оконной функции. Это замечание использовалось для определения распределения неоднозначности во временной области, а не в частотно-временной области. ^[5]

Широкополосная функция неоднозначности

Широкополосная функция неоднозначности $s\in L^{2}(R)$ является: ^[2]^[6]

WB_{ss}(\tau ,\alpha )={\sqrt {|{\alpha }|}}\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(\alpha (t-\tau ))\,dt

где ${\alpha }$ - коэффициент масштабирования времени принятого сигнала относительно переданного сигнала, определяемый как:

\alpha ={\frac {c+v}{c-v}}

для цели, движущейся с постоянной радиальной скоростью v . Отражение сигнала представляется со сжатием (или расширением) во времени коэффициентом $\alpha$ , что эквивалентно сжатию в раз $\alpha ^{-1}$ в частотной области (с масштабированием по амплитуде). Когда скорость волны в среде значительно превышает скорость цели, как это обычно бывает с радаром, это сжатие частоты близко аппроксимируется сдвигом частоты Δf = f _c *v/c (известным как доплеровский сдвиг ). Для узкополосного сигнала это приближение приводит к узкополосной функции неоднозначности, приведенной выше, которую можно эффективно вычислить с помощью алгоритма БПФ .

Идеальная функция неоднозначности

Интересующая функция неоднозначности представляет собой двумерную дельта-функцию Дирака или функцию «чертежной кнопки»; то есть функция, которая бесконечна в точке (0,0) и равна нулю в другом месте.

\chi (\tau ,f)=\delta (\tau )\delta (f)\,

Функция неоднозначности такого типа была бы в некоторой степени неправильным употреблением; в нем вообще не было бы никакой двусмысленности, и разрезы как с нулевой задержкой, так и с нулевым доплеровским эффектом были бы импульсом . Обычно это нежелательно (если цель имеет доплеровское смещение от неизвестной скорости, она исчезнет из радиолокационного изображения), но если доплеровская обработка выполняется независимо, знание точной доплеровской частоты позволяет определять дальность без помех со стороны любых других целей, которые не движутся с одинаковой скоростью.

Этот тип функции неоднозначности создается идеальным белым шумом (бесконечной продолжительностью и бесконечной полосой пропускания). ^[7] Однако это потребует бесконечной мощности и физически неосуществимо. Нет пульса $s(t)$ который будет производить $\delta (\tau )\delta (f)$ из определения функции неоднозначности. Однако существуют аппроксимации, и шумоподобные сигналы, такие как двоичные сигналы с фазовой манипуляцией, использующие последовательности максимальной длины, являются наиболее известными в этом отношении. ^[8]

Характеристики

(1) Максимальное значение

|\chi (\tau ,f)|^{2}\leq |\chi (0,0)|^{2}

(2) Симметрия относительно начала координат

\chi (\tau ,f)=\exp[j2\pi \tau f]\chi ^{*}(-\tau ,-f)\,

(3) Инвариантность объема

\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|\chi (\tau ,f)|^{2}\,d\tau \,df=|\chi (0,0)|^{2}=E^{2}

(4) Модуляция линейным ЧМ-сигналом

{\text{If }}s(t)\rightarrow |\chi (\tau ,f)|{\text{ then }}s(t)\exp[j\pi kt^{2}]{\rightarrow }|\chi (\tau ,f+k\tau )|\,

(5) Частотный энергетический спектр

S(f)S^{*}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (\tau ,0)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau

(6) Верхние оценки для $p>2$ и нижние границы для $p<2$ существовать ^[9] для $p^{th}$ степенные интегралы

\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|\chi (\tau ,f)|^{p}\,d\tau \,df

.

Эти границы точны и достигаются тогда и только тогда, когда $s(t)$ является функцией Гаусса.

Квадратный импульс

Рассмотрим простой прямоугольный импульс длительностью $\tau$ иамплитуда $A$ :

A(u(t)-u(t-\tau ))\,

где $u(t)$ – ступенчатая функция Хевисайда .Выход согласованного фильтра определяется автокорреляцией импульса , который представляет собой треугольный импульс высотой $\tau ^{2}A^{2}$ ипродолжительность $2\tau$ (нулевой доплеровский разрез). Однако, еслиизмеренный импульс имеет сдвиг частоты из-за доплеровского сдвига,Выход согласованного фильтра искажается в функцию sinc .чем больше доплеровский сдвиг, тем меньше пик результирующего синка,и тем сложнее обнаружить цель. ^{[ нужна ссылка ]}

В общем, прямоугольный импульс не является желательной формой сигнала с точки зрения сжатия импульса, поскольку функция автокорреляции слишком коротка по амплитуде, что затрудняет обнаружение целей в шуме, и слишком широка по времени, что затрудняет различение нескольких перекрывающихся целей. .

ЛЧМ импульс

Обычно используемый радарный или гидролокационный импульс представляет собой импульс с линейной частотной модуляцией (LFM) (или «чип»). Его преимущество заключается в большей полосе пропускания при сохранении короткой длительности импульса и постоянной огибающей. ЛЧМ -импульс с постоянной огибающей имеет функцию неоднозначности, аналогичную функции прямоугольного импульса, за исключением того, что он сдвинут в плоскости задержки-допплера. Незначительные доплеровские расхождения для ЛЧМ-импульса не меняют общую форму импульса и очень незначительно уменьшают амплитуду, но, по-видимому, смещают импульс.вовремя. Таким образом, некомпенсированный доплеровский сдвиг меняет видимую дальность цели; это явление называется дально-доплеровской связью.

Мультистатические функции неоднозначности

Функция неоднозначности может быть распространена на мультистатические радары, которые содержат несколько несовмещенных передатчиков и/или приемников (и могут включать бистатический радар в качестве особого случая ).

Для этих типов радаров простая линейная зависимость между временем и дальностью, которая существует в моностатическом случае, больше не применяется и вместо этого зависит от конкретной геометрии, т.е. относительного расположения передатчика(ов), приемника(ов) и цели. Следовательно, функцию мультистатической неоднозначности чаще всего полезно определять как функцию двух- или трехмерных векторов положения и скорости для заданной мультистатической геометрии и формы передаваемого сигнала.

Так же, как моностатическая функция неоднозначности естественным образом получается из согласованного фильтра, мультистатическая функция неоднозначности получается из соответствующего оптимального мультистатического детектора – т.е. такого, который максимизирует вероятность обнаружения при фиксированной вероятности ложной тревоги посредством совместной обработки всех сигналов. ресиверы. Характер этого алгоритма обнаружения зависит от того, коррелируют ли между собой целевые флуктуации, наблюдаемые каждой бистатической парой в мультистатической системе. В этом случае оптимальный детектор выполняет фазово-когерентное суммирование полученных сигналов, что может привести к очень высокой точности определения местоположения цели. ^[10] В противном случае оптимальный детектор выполняет некогерентное суммирование полученных сигналов, что дает выигрыш от разнесения. Такие системы иногда называют радарами MIMO из-за теоретического сходства с системами связи MIMO . ^[11]

Плоскость функции неоднозначности

Плоскость функции неоднозначности можно рассматривать как комбинацию бесконечныхколичество радиальных линий.

Каждую радиальную линию можно рассматривать как дробное преобразование Фурьестационарный случайный процесс.

Пример

Функция неоднозначности (AF) — это операторы, связанные с WDF .

A_{x}(\tau ,n)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi tn}dt

(1) Если $x(t)=exp[-\alpha \pi {(t-t_{0})^{2}}+j2\pi f_{0}t]$

A_{x}(\tau ,n)

=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha \pi (t+\tau /2-t_{0})^{2}+j2\pi f_{0}(t+\tau /2)}+e^{-\alpha \pi (t-\tau /2-t_{0})^{2}-j2\pi f_{0}(t-\tau /2)}e^{-j2\pi tn}dt

=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha \pi [2(t-t_{0})^{2}+\tau ^{2}/2]+j2\pi f_{0}\tau }e^{-j2\pi tn}dt

=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha \pi [2t^{2}-\tau ^{2}/2]+j2\pi f_{0}\tau }e^{-j2\pi tn}e^{-j2\pi t_{0}n}dt

A_{x}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha }}}exp[-\pi ({\frac {\alpha \tau ^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}}{2\alpha }})]exp[j2\pi (f_{0}\tau -t_{0}n)]

WDF и AF для сигнала только с 1 термином

(2) Если $x(t)=exp[-\alpha _{1}\pi (t-t_{1})^{2}+j2\pi f_{1}t]+exp[-\alpha _{2}\pi (t-t_{2})^{2}+j2\pi f_{2}t]$

A_{x}(\tau ,n)

=\int _{-\infty }^{\infty }x_{1}(t+\tau /2)x_{1}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt

+

\int _{-\infty }^{\infty }x_{2}(t+\tau /2)x_{2}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt

+

\int _{-\infty }^{\infty }x_{1}(t+\tau /2)x_{2}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt

+

\int _{-\infty }^{\infty }x_{2}(t+\tau /2)x_{1}^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi tn}dt

A_{x}(\tau ,n)=A_{x1}(\tau ,n)+A_{x2}(\tau ,n)+A_{x1x2}(\tau ,n)+A_{x2x1}(\tau ,n)

A_{x}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha _{1}}}}exp[-\pi ({\frac {\alpha _{1}\tau ^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}}{2\alpha _{1}}})]exp[j2\pi (f_{1}\tau -t_{1}n)]

A_{x}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha _{2}}}}exp[-\pi ({\frac {\alpha _{2}\tau ^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}}{2\alpha _{1}}})]exp[j2\pi (f_{2}\tau -t_{2}n)]

Когда $\alpha _{1}=\alpha _{2}$

A_{x1x2}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha _{u}}}}exp[-\pi (\alpha _{u}{\frac {(\tau -t_{d})^{2}}{2}}+{\frac {(n-f_{d})^{2}}{2\alpha _{u}}})]exp[j2\pi (f_{u}\tau -t_{u}n+f_{d}t_{u})]

где

$t_{u}=(t_{1}+t_{2}/2)$ ,
$f_{u}=(f_{1}+f_{2})/2$ ,
$\alpha _{u}=(\alpha _{1}+\alpha _{2})/2$ ,
$t_{d}=t_{1}+t_{2}$ ,
$f_{d}=f_{1}-f_{2}$ ,
$\alpha _{d}=\alpha _{1}-\alpha _{2}$
$A_{x2x1}(\tau ,n)=A_{x1x2}^{*}(-\tau ,-n)$

Когда $\alpha _{1}$ ≠ $\alpha _{2}$

A_{x1x2}(\tau ,n)={\sqrt {\frac {1}{2\alpha _{u}}}}exp[-\pi {\frac {[(n-f_{d})+j(\alpha _{1}t_{1}+\alpha _{2}t_{2})-j\alpha _{d}\tau /2]^{2}}{2\alpha _{u}}}exp[-\pi (\alpha _{1}(t_{1}-{\frac {\tau }{2}})^{2})+\alpha _{2}(t_{2}-{\frac {\tau }{2}})^{2})]exp[j2\pi f_{u}\tau ]

$A_{x2x1}(\tau ,n)=A_{x1x2}^{*}(-\tau ,-n)$

WDF и AF для сигнала с двумя членами

Для функции неоднозначности:

Автотерм всегда близок к началу координат

См. также

Ссылки

^ Вудворд П.М. Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам , Норвуд, Массачусетс: Artech House, 1980.
^ Перейти обратно: ^а ^б Вайс, Лора Г. «Вейвлеты и широкополосная корреляционная обработка». Журнал IEEE Signal Processing Magazine , стр. 13–32, январь 1994 г.
^ Э. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, «Представление частотно-временных характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений», Digital Signal Processing , vol. 19, нет. 1, стр. 153–183, январь 2009 г.
^ Б. Боашаш, редактор, «Анализ и обработка частотно-временных сигналов – полный справочник», Elsevier Science, Оксфорд, 2003; ISBN 0-08-044335-4
^ Шеной, Р.Г.; Паркс, Т.В., «Аффинные распределения Вигнера», Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов, ICASSP-92., стр. 185–188, том 5, 23–26 марта 1992 г., doi: 10.1109/ICASSP.1992.226539.
^ Л. Сибул, Л. Зиомек, «Обобщенная широкополосная функция перекрестной неоднозначности», Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов, ICASSP '81.01/05/198105/1981; 6:1239–1242.
^ Обработка сигналов в радаре шумовой формы, Кшиштоф Кульпа (Google Книги)
^ Г. Журден и Ж. П. Анриу, «Использование сигналов двоичной фазовой манипуляции с большой шириной полосы пропускания в доплеровских измерениях целевой задержки», J. Acoust. Соц. Являюсь. 90, 299–309 (1991).
^ Э. Х. Либ, «Интегральные границы для функций неоднозначности радара и распределения Вигнера», J. Math. Физика, вып. 31, стр. 594-599 (1990)
^ Т. Дерхэм, С. Даути, К. Бейкер, К. Вудбридж, «Функции неоднозначности для пространственно когерентного и некогерентного мультистатического радара», IEEE Trans. Аэрокосмические и электронные системы (в печати).
^ Г. Сан-Антонио, Д. Фурманн, Ф. Роби, «Функции неоднозначности радара MIMO», Журнал IEEE по избранным темам обработки сигналов, Vol. 1, № 1 (2007).

Дальнейшее чтение

Ричардс, Марк А. Основы обработки радиолокационных сигналов . МакГроу – Хилл Инк., 2005 г. ISBN 0-07-144474-2 .
Ипатов Валерий П. Расширение спектра и CDMA . Уайли и сыновья, 2005. ISBN 0-470-09178-9
Черняк В.С. Основы многосайтовых радиолокационных систем , CRC Press, 1998.
Соломон В. Голомб и Гуан Гун . Проектирование сигналов для хорошей корреляции: для беспроводной связи, криптографии и радаров . Издательство Кембриджского университета, 2005.
М. Солтаналян. Проектирование сигналов для активного зондирования и связи . Упсальские диссертации факультета науки и технологий (напечатано Elanders Sverige AB), 2014 г.
Надав Леванон и Эли Мозесон. Сигналы радара. Уайли. ком, 2004.
Аугусто Обри, Антонио Де Майо, Бо Цзян и Шучжун Чжан. « Формирование функции неоднозначности для когнитивного радара посредством комплексной квартической оптимизации ». Транзакции IEEE по обработке сигналов 61 (2013): 5603-5619.
Моджтаба Солтаналян и Петре Стойка. « Вычислительный дизайн последовательностей с хорошими корреляционными свойствами ». Транзакции IEEE по обработке сигналов, 60.5 (2012): 2180-2193.
Г. Креч, М.А. Гомес-Мендес, Дискретное преобразование неоднозначности, Мексиканский физический журнал, Том 63, стр. 505–515 (2017). « Дискретное преобразование неоднозначности ».
2 Национальный Тайваньский университет, частотно-временной анализ и вейвлет-преобразование 2021, профессор Цзянь-Цзюнь Дин, факультет электротехники
3 Национальный Тайваньский университет, частотно-временной анализ и вейвлет-преобразование 2021, профессор Цзянь-Цзюнь Дин, факультет электротехники
4 Национальный Тайваньский университет, частотно-временной анализ и вейвлет-преобразование 2021, профессор Цзянь-Цзюнь Дин, факультет электротехники

[1] Вудворд П.М. Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам , Норвуд, Массачусетс: Artech House, 1980.

[Weiss-2] Перейти обратно: ^а ^б Вайс, Лора Г. «Вейвлеты и широкополосная корреляционная обработка». Журнал IEEE Signal Processing Magazine , стр. 13–32, январь 1994 г.

[3] Э. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, «Представление частотно-временных характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений», Digital Signal Processing , vol. 19, нет. 1, стр. 153–183, январь 2009 г.

[4] Б. Боашаш, редактор, «Анализ и обработка частотно-временных сигналов – полный справочник», Elsevier Science, Оксфорд, 2003; ISBN 0-08-044335-4

[5] Шеной, Р.Г.; Паркс, Т.В., «Аффинные распределения Вигнера», Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов, ICASSP-92., стр. 185–188, том 5, 23–26 марта 1992 г., doi: 10.1109/ICASSP.1992.226539.

[6] Л. Сибул, Л. Зиомек, «Обобщенная широкополосная функция перекрестной неоднозначности», Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов, ICASSP '81.01/05/198105/1981; 6:1239–1242.

[7] Обработка сигналов в радаре шумовой формы, Кшиштоф Кульпа (Google Книги)

[8] Г. Журден и Ж. П. Анриу, «Использование сигналов двоичной фазовой манипуляции с большой шириной полосы пропускания в доплеровских измерениях целевой задержки», J. Acoust. Соц. Являюсь. 90, 299–309 (1991).

[9] Э. Х. Либ, «Интегральные границы для функций неоднозначности радара и распределения Вигнера», J. Math. Физика, вып. 31, стр. 594-599 (1990)

[10] Т. Дерхэм, С. Даути, К. Бейкер, К. Вудбридж, «Функции неоднозначности для пространственно когерентного и некогерентного мультистатического радара», IEEE Trans. Аэрокосмические и электронные системы (в печати).

[11] Г. Сан-Антонио, Д. Фурманн, Ф. Роби, «Функции неоднозначности радара MIMO», Журнал IEEE по избранным темам обработки сигналов, Vol. 1, № 1 (2007).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]