Группа Гейзенберга

В математике группа Гейзенберга $H$, названная в честь Вернера Гейзенберга , представляет собой группу 3×3 верхнетреугольных матриц размера вида

${\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$

при операции матричного умножения . Элементы a, b и c могут быть взяты из любого коммутативного кольца с единицей, часто принимаемого за кольцо действительных чисел (что приводит к «непрерывной группе Гейзенберга») или кольцо целых чисел (что приводит к «дискретной группе Гейзенберга»). .

Непрерывная группа Гейзенберга возникает при описании одномерных квантово-механических систем, особенно в контексте теоремы Стоуна-фон Неймана . В более общем смысле можно рассматривать группы Гейзенберга, связанные с n -мерными системами и, вообще говоря, с любым симплектическим векторным пространством .

Трехмерный случай

В трехмерном случае произведение двух матриц Гейзенберга определяется выражением:

${\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&a'&c'\\0&1&b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a+a'&c+ab'+c'\\0&1&b+b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,.$

Как видно из термина ab' , группа неабелева .

Нейтральным элементом группы Гейзенберга является единичная матрица , а обратные ей задаются формулой

${\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-a&ab-c\\0&1&-b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,.$

Группа является подгруппой двумерной аффинной группы Aff(2): ${\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$ действуя на $({\vec {x}},1)$ соответствует аффинному преобразованию ${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\vec {x}}+{\begin{pmatrix}c\\b\end{pmatrix}}$.

Есть несколько ярких примеров трехмерного случая.

Непрерывная группа Гейзенберга

Если a, b, c — действительные числа (в кольце R ), то существует непрерывная группа Гейзенберга H ₃ ( R ).

Это нильпотентная вещественная группа Ли размерности 3.

Помимо представления в виде действительных матриц 3×3, непрерывная группа Гейзенберга также имеет несколько различных представлений в терминах функциональных пространств . По теореме Стоуна–фон Неймана существует с точностью до изоморфизма единственное неприводимое унитарное представление группы H, в котором ее центр действует заданным нетривиальным характером . Это представление имеет несколько важных реализаций или моделей. В модели Шредингера группа Гейзенберга действует в пространстве функций, интегрируемых с квадратом . В тэта-представлении он действует на пространстве голоморфных функций в верхней полуплоскости ; оно названо так из-за связи с тэта-функциями .

Дискретная группа Гейзенберга

Часть графа Кэли дискретной группы Гейзенберга с образующими x, y, z, как в тексте (раскраска предназначена только для наглядности.)

Если a, b, c — целые числа (в кольце Z ), то существует дискретная группа Гейзенберга H ₃ ( Z ). Это неабелева нильпотентная группа . Имеет два генератора.

$x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$

и отношения

$z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ xz=zx,\ yz=zy$,

где

$z={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$

является генератором центра H ₃ . (Обратите внимание, что обратные значения x , y и z заменяют 1 над диагональю на −1.)

По теореме Басса он имеет полиномиальную скорость роста порядка 4.

Любой элемент можно создать с помощью

${\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=y^{b}z^{c}x^{a}\,.$

Группа Гейзенберга по модулю нечетного простого числа p

Если взять a, b, c в Z / p Z в качестве нечетного простого числа p , то получится группа Гейзенберга по модулю p . Это группа порядка p ³ с генераторами x,y и соотношениями:

$z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\ xz=zx,\ yz=zy.$

Аналоги групп Гейзенберга над конечными полями нечетного простого порядка p называются дополнительными специальными группами или, точнее, дополнительными специальными группами показателя p . В более общем смысле, если производная подгруппа группы G содержится в центре Z группы G , то отображение из G/Z × G/Z → Z является кососимметричным билинейным оператором на абелевых группах.

Однако требование, чтобы G/Z было конечным векторным пространством, требует, чтобы Фраттини G подгруппа содержалась в центре, а требование, чтобы Z было одномерным векторным пространством над Z / p Z, требует, чтобы Z имел порядок p , поэтому если G не абелева, то G экстраспециальна. Если G является дополнительной специальной, но не имеет показателя p , то общая конструкция, приведенная ниже, примененная к симплектическому векторному пространству G/Z, дает группы, изоморфной G. не

Группа Гейзенберга по модулю 2

Группа Гейзенберга по модулю 2 имеет порядок 8 и изоморфна группе диэдра D ₄ (симметрии квадрата). Заметьте, что если

$x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$.

Затем

$xy={\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}},$

и

$yx={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.$

Элементы x и y соответствуют отражениям (с углом 45° между ними), тогда как xy и yx соответствуют поворотам на 90°. Другие отражения — это xyx и yxy , а поворот на 180° — это xyxy (= yxyx ).

Алгебра Гейзенберга

Алгебра Ли ${\mathfrak {h}}$ группы Гейзенберга $H$ (над действительными числами) известна как алгебра Гейзенберга. Его можно представить в пространстве матриц 3×3 вида

${\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\\\end{pmatrix}},$

с $a,b,c\in \mathbb {R}$.

Следующие три элемента составляют основу для ${\mathfrak {h}}$,

$X={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Z={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}.$

Эти базисные элементы удовлетворяют коммутационным соотношениям:

$[X,Y]=Z;\quad [X,Z]=0;\quad [Y,Z]=0$.

Название «группа Гейзенберга» мотивировано предыдущими соотношениями, которые имеют ту же форму, что и канонические коммутационные соотношения в квантовой механике:

$\left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]=i\hbar I;\quad \left[{\hat {x}},i\hbar I\right]=0;\quad \left[{\hat {p}},i\hbar I\right]=0,$

где ${\hat {x}}$ является оператором позиции, ${\hat {p}}$ является оператором импульса, а $\hbar$ — постоянная Планка.

Группа Гейзенберга H обладает тем особым свойством, что экспоненциальное отображение является взаимно однозначным и на отображение алгебры Ли. ${\mathfrak {h}}$ в группу H ,

$\exp {\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a&c+{\frac {ab}{2}}\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.$

В конформной теории поля

В конформной теории поля термин «алгебра Гейзенберга» используется для обозначения бесконечномерного обобщения вышеуказанной алгебры. Он состоит из элементов $a_{n},n\in \mathbb {Z}$, с коммутационными соотношениями

$[a_{n},a_{m}]=\delta _{n+m,0}.$

При масштабировании это просто счетно-бесконечное число копий указанной выше алгебры.

Высшие измерения

Более общие группы Гейзенберга $H_{2n+1}$ может быть определен для более высоких измерений в евклидовом пространстве и, в более общем смысле, в симплектических векторных пространствах . Простейшим общим случаем является вещественная группа Гейзенберга размерности $2n+1$, для любого целого числа $n\geq 1$. Как группа матриц, $H_{2n+1}$ (или $H_{2n+1}(\mathbb {R} )$ чтобы указать, что это группа Гейзенберга над полем $\mathbb {R}$ действительных чисел) определяется как группа $(n+2)\times (n+2)$ матрицы с записями в $\mathbb {R}$ и имеющий вид:

${\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\\mathbf {0} &I_{n}&\mathbf {b} \\0&\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}$

где

a — вектор-строка длины n ,

b — вектор-столбец длины n ,

I _n — единичная матрица размера n .

Структура группы

Это действительно группа, как показывает умножение:

${\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} '&c'\\0&I_{n}&\mathbf {b} '\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} +\mathbf {a} '&c+c'+\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} '\\0&I_{n}&\mathbf {b} +\mathbf {b} '\\0&0&1\end{bmatrix}}$

и

${\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-\mathbf {a} &-c+\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\0&I_{n}&-\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&I_{n}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

Алгебра Ли

Группа Гейзенберга — это односвязная группа Ли, алгебра Ли которой состоит из матриц

${\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{bmatrix}},$

где

a — вектор-строка длины n ,

b — вектор-столбец длины n ,

0 _n — нулевая матрица размера n .

Полагая e ₁ , ..., en _{каноническим} базисом R ^н и настройка

${\begin{aligned}p_{i}&={\begin{bmatrix}0&\operatorname {e} _{i}^{\mathrm {T} }&0\\0&0_{n}&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\\q_{j}&={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0_{n}&\operatorname {e} _{j}\\0&0&0\end{bmatrix}},\\z&={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0_{n}&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\end{aligned}}$

ассоциированная алгебра Ли может быть охарактеризована каноническими коммутационными соотношениями ,

${\begin{bmatrix}p_{i},q_{j}\end{bmatrix}}=\delta _{ij}z,\qquad {\begin{bmatrix}p_{i},z\end{bmatrix}}=0,\qquad {\begin{bmatrix}q_{j},z\end{bmatrix}}=0~,$ (1)

где p ₁ , ..., p _n , q ₁ , ..., q _n , z — генераторы алгебры.

В частности, z является центральным элементом алгебры Ли Гейзенберга. Заметим, что алгебра Ли группы Гейзенберга нильпотентна.

Экспоненциальная карта

Позволять

$u={\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{bmatrix}},$

который выполняет $u^{3}=0_{n+2}$. Экспоненциальная карта оценивается как

$\exp(u)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}u^{k}=I_{n+2}+u+{\tfrac {1}{2}}u^{2}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c+{1 \over 2}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}.$

Экспоненциальное отображение любой нильпотентной алгебры Ли является диффеоморфизмом между алгеброй Ли и единственной ассоциированной связной группой Ли односвязной .

Это обсуждение (помимо утверждений, касающихся размерности и группы Ли) применимо и в дальнейшем, если мы заменим любым коммутативным кольцом A. R Соответствующая группа обозначается H _n ( A ).

При дополнительном предположении, что простое число 2 обратимо в кольце A , экспоненциальное отображение также определяется, поскольку оно сводится к конечной сумме и имеет указанную выше форму (например, A может быть кольцом Z / p Z с нечетным простым числом p или любое поле характеристики 0 ).

Теория представлений

Основная статья: Теорема Стоуна – фон Неймана

Теория унитарного представления группы Гейзенберга довольно проста – позже обобщенная теорией Макки – и послужила мотивацией для ее введения в квантовую физику, как обсуждается ниже.

Для каждого ненулевого действительного числа $\hbar$, мы можем определить неприводимое унитарное представление $\Pi _{\hbar }$ из $H_{2n+1}$ действующий в гильбертовом пространстве $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ по формуле:

$\left[\Pi _{\hbar }{\begin{pmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{pmatrix}}\psi \right](x)=e^{i\hbar c}e^{ib\cdot x}\psi (x+\hbar a)$

Это представление известно как представление Шрёдингера . Мотивацией такого представления является действие возведенных в степень операторов положения и импульса в квантовой механике. Параметр $a$ описывает перемещения в позиционном пространстве, параметр $b$ описывает трансляции в импульсном пространстве, а параметр $c$ дает общий фазовый коэффициент. Фазовый множитель необходим для получения группы операторов, поскольку сдвиги в пространстве позиций и сдвиги в пространстве импульсов не коммутируют.

Ключевым результатом является теорема Стоуна-фон Неймана , которая утверждает, что каждое (сильно непрерывное) неприводимое унитарное представление группы Гейзенберга, в котором центр действует нетривиально, эквивалентно $\Pi _{\hbar }$ для некоторых $\hbar$. Альтернативно, все они эквивалентны алгебре Вейля (или алгебре CCR ) в симплектическом пространстве размерности 2 n .

Поскольку группа Гейзенберга является одномерным центральным расширением $\mathbb {R} ^{2n}$, его неприводимые унитарные представления можно рассматривать как неприводимые унитарные проективные представления $\mathbb {R} ^{2n}$. Концептуально данное выше представление представляет собой квантовомеханический аналог группы трансляционных симметрий в классическом фазовом пространстве: $\mathbb {R} ^{2n}$. Тот факт, что квантовая версия является лишь проективным представлением $\mathbb {R} ^{2n}$ предлагается уже на классическом уровне. Гамильтоновыми генераторами сдвигов в фазовом пространстве являются функции положения и импульса. Однако диапазон этих функций не образует алгебру Ли под скобкой Пуассона , поскольку $\{x_{i},p_{j}\}=\delta _{i,j}.$ Скорее, совокупность функций положения и импульса , а также констант образует алгебру Ли под скобкой Пуассона. Эта алгебра Ли является одномерным центральным расширением коммутативной алгебры Ли. $\mathbb {R} ^{2n}$, изоморфная алгебре Ли группы Гейзенберга.

О симплектических векторных пространствах

Общая абстракция группы Гейзенберга строится на основе любого симплектического векторного пространства . Например, пусть ( V , ω) — конечномерное вещественное симплектическое векторное пространство (так что ω — невырожденная кососимметричная билинейная форма на V ). Группа Гейзенберга H( V ) на ( V , ω) (или просто V для краткости) — это множество V × R, наделенное групповым законом

$(v,t)\cdot \left(v',t'\right)=\left(v+v',t+t'+{\frac {1}{2}}\omega \left(v,v'\right)\right).$

Группа Гейзенберга является центральным расширением аддитивной V. группы Таким образом, существует точная последовательность

$0\to \mathbf {R} \to H(V)\to V\to 0.$

Любое симплектическое векторное пространство допускает базис Дарбу { e _j , f ^к } _{1 ≤ j , k ≤ n,} удовлетворяющие ω( e _j , f ^к ) = δ _j ^к и где 2 n — размерность V (размерность V обязательно четная). В рамках этого базиса каждый вектор распадается как

$v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}.$

q ​ ^а и p _a — канонически сопряженные координаты .

Если { е _j , f ^к } _{1 ⩽ j , k ⩽ n} — базис Дарбу для V , тогда пусть { E } — базис для R и { e _j , f ^к , E } _{1 ≤ j , k ≤ n} — соответствующий базис для V × R . Вектор в H( V ) тогда задается формулой

$v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+tE$

и групповой закон становится

$(p,q,t)\cdot \left(p',q',t'\right)=\left(p+p',q+q',t+t'+{\frac {1}{2}}(pq'-p'q)\right).$

Поскольку основное многообразие группы Гейзенберга представляет собой линейное пространство, векторы в алгебре Ли можно канонически отождествлять с векторами в группе. Алгебра Ли группы Гейзенберга задается коммутационным соотношением

${\begin{bmatrix}(v_{1},t_{1}),(v_{2},t_{2})\end{bmatrix}}=\omega (v_{1},v_{2})$

или записано в терминах базиса Дарбу

$\left[\mathbf {e} _{a},\mathbf {f} ^{b}\right]=\delta _{a}^{b}$

и все остальные коммутаторы исчезают.

Также возможно определить групповой закон другим способом, который дает группу, изоморфную группе, которую мы только что определили. Чтобы избежать путаницы, мы будем использовать u вместо t , поэтому вектор задается формулой

$v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE$

и групповой закон

$(p,q,u)\cdot \left(p',q',u'\right)=\left(p+p',q+q',u+u'+pq'\right).$

Элемент группы

$v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE$

тогда можно выразить в виде матрицы

${\begin{bmatrix}1&p&u\\0&I_{n}&q\\0&0&1\end{bmatrix}}$ ,

что дает точное матричное представление H( V ). u в нашей предыдущей в этой формулировке связана с t формулировке соотношением $u=t+{\tfrac {1}{2}}pq$, так что значение t для произведения составит

${\begin{aligned}&u+u'+pq'-{\frac {1}{2}}\left(p+p'\right)\left(q+q'\right)\\={}&t+{\frac {1}{2}}pq+t'+{\frac {1}{2}}p'q'+pq'-{\frac {1}{2}}\left(p+p'\right)\left(q+q'\right)\\={}&t+t'+{\frac {1}{2}}\left(pq'-p'q\right)\end{aligned}}$ ,

как раньше.

Изоморфизм группы с использованием верхнетреугольных матриц основан на разложении V в базис Дарбу, что представляет собой выбор изоморфизма V ≅ U ⊕ U *. Хотя новый групповой закон дает группу, изоморфную приведенному выше, группу с этим законом иногда называют поляризованной группой Гейзенберга, как напоминание о том, что этот групповой закон основан на выборе базиса (выборе лагранжева подпространства V ) является поляризацией .

существует единственная связная односвязная группа Ли G. Для любой алгебры Ли Все остальные связные группы Ли с той же алгеброй Ли, что и G, имеют вид G / N где N — центральная дискретная группа в G. , В этом случае центром H( V ) является R и единственные дискретные подгруппы изоморфны Z. , Таким образом, H( V )/ Z — еще одна группа Ли, разделяющая эту алгебру Ли. Примечательно, что эта группа Ли не допускает точных конечномерных представлений; он не изоморфен никакой матричной группе. Однако у него есть хорошо известное семейство бесконечномерных унитарных представлений.

Связь с алгеброй Вейля

Основная статья: алгебра Вейля

Алгебра Ли ${\mathfrak {h}}_{n}$ группы Гейзенберга была описана выше (1) как алгебра Ли матриц. Теорема Пуанкаре –Биркгофа–Витта применяется для определения универсальной обертывающей алгебры. $U({\mathfrak {h}}_{n})$. Помимо других свойств, универсальная обертывающая алгебра является ассоциативной алгеброй , в которую ${\mathfrak {h}}_{n}$ инъективно вкладывается.

Таким образом, по теореме Пуанкаре – Биркгофа – Витта это свободное векторное пространство, порожденное мономами

$z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,$

где все показатели неотрицательны.

Следовательно, $U({\mathfrak {h}}_{n})$ состоит из действительных многочленов

$\sum _{j,{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{j{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,$

с коммутационными соотношениями

$p_{k}p_{\ell }=p_{\ell }p_{k},\quad q_{k}q_{\ell }=q_{\ell }q_{k},\quad p_{k}q_{\ell }-q_{\ell }p_{k}=\delta _{k\ell }z,\quad zp_{k}-p_{k}z=0,\quad zq_{k}-q_{k}z=0~.$

Алгебра $U({\mathfrak {h}}_{n})$ тесно связана с алгеброй дифференциальных операторов на $\mathbb {R} ^{n}$ с полиномиальными коэффициентами, поскольку любой такой оператор имеет единственное представление в виде

$P=\sum _{{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.$

Эта алгебра называется алгеброй Вейля . следует Из абстрактной бессмыслицы , что алгебра Вейля W _n является фактором $U({\mathfrak {h}}_{n})$. Однако в этом легко убедиться и непосредственно из приведенных выше представлений; а именно путем отображения

$z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}\,\mapsto \,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.$

Приложения

Параметризация Вейля квантовой механики

Основная статья: преобразование Вигнера – Вейля

Приложением, которое привело Германа Вейля к явной реализации группы Гейзенберга, был вопрос о том, почему изображения Шрёдингера и изображения Гейзенберга физически эквивалентны. Абстрактно, причиной является теорема Стоуна-фон Неймана : существует единственное унитарное представление с заданным действием центрального элемента z алгебры Ли с точностью до унитарной эквивалентности: все нетривиальные элементы алгебры эквивалентны обычному положению и импульсу. операторы.

Таким образом, картина Шредингера и картина Гейзенберга эквивалентны – это просто разные способы реализации этого по существу уникального представления.

Тета-представление

Основная статья: тэта-представление

Тот же результат о единственности был использован Дэвидом Мамфордом для дискретных групп Гейзенберга в его теории уравнений, определяющих абелевы многообразия . Это большое обобщение подхода, используемого в эллиптических функциях Якоби , который является случаем группы Гейзенберга по модулю 2 порядка 8. Самый простой случай - это тэта-представление группы Гейзенберга, дискретный случай которого дает тэта-функцию .

Фурье-анализ

Группа Гейзенберга также встречается в анализе Фурье , где она используется в некоторых формулировках теоремы Стоуна-фон Неймана . В этом случае можно понимать, что группа Гейзенберга действует в пространстве функций, интегрируемых с квадратом ; результатом является представление групп Гейзенберга, которое иногда называют представлением Вейля.

Как субриманово многообразие

Анимация геодезической в ​​группе Гейзенберга.

Трехмерную группу Гейзенберга H ₃ ( R ) на вещественных числах также можно понимать как гладкое многообразие и, в частности, как простой пример субриманова многообразия . Учитывая точку p = ( x , y , z ) в R ³ , определим дифференциальную 1-форму Θ в этой точке как

$\Theta _{p}=dz-{\frac {1}{2}}\left(xdy-ydx\right).$

Эта одноформа принадлежит кокасательному расслоению к R ³ ; то есть,

$\Theta _{p}:T_{p}\mathbf {R} ^{3}\to \mathbf {R}$

является отображением касательного расслоения . Позволять

$H_{p}=\left\{v\in T_{p}\mathbf {R} ^{3}\mid \Theta _{p}(v)=0\right\}.$

Видно, что H является подрасслоением касательного расслоения T R ³ . Кометика направлениях на H задается путем проектирования векторов в двумерное пространство, натянутое векторами в x и y . То есть, данные векторы $v=(v_{1},v_{2},v_{3})$ и $w=(w_{1},w_{2},w_{3})$ в Т Р ³ , внутренний продукт определяется выражением

$\langle v,w\rangle =v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}.$

Полученная структура превращает H в многообразие группы Гейзенберга. Ортонормированный репер на многообразии задается векторными полями Ли

${\begin{aligned}X&={\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {1}{2}}y{\frac {\partial }{\partial z}},\\Y&={\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {1}{2}}x{\frac {\partial }{\partial z}},\\Z&={\frac {\partial }{\partial z}},\end{aligned}}$

которые подчиняются соотношениям [ X , Y ] = Z и [ X , Z ] = [ Y , Z ] = 0. Будучи векторными полями Ли, они образуют левоинвариантный базис для действия группы. Геодезические . на многообразии представляют собой спирали, проецирующиеся в круги в двух измерениях То есть, если

$\gamma (t)=(x(t),y(t),z(t))$

является геодезической кривой, то кривая $c(t)=(x(t),y(t))$ представляет собой дугу окружности, а

$z(t)={\frac {1}{2}}\int _{c}xdy-ydx$

с интегралом, ограниченным двумерной плоскостью. То есть высота кривой пропорциональна площади круга, опирающегося на дугу окружности , что следует из теоремы Стокса .

Группа Гейзенберга локально компактной абелевой группы

В более общем смысле можно определить группу Гейзенберга локально компактной абелевой группы K , снабженной мерой Хаара . Такая группа имеет двойственную по Понтрягину ${\hat {K}}$, состоящий из всех непрерывных $U(1)$-значные характеры на K , которая также является локально компактной абелевой группой, если наделена компактно-открытой топологией . Группа Гейзенберга, связанная с локально компактной абелевой группой K, является подгруппой унитарной группы $L^{2}(K)$ генерируется переводами из K и умножениями на элементы ${\hat {K}}$.

Более подробно, гильбертово пространство $L^{2}(K)$ состоит из интегрируемых с квадратом комплексных функций $f$ на К. ​Переводы в K образуют унитарное представление K на как операторов $L^{2}(K)$:

$(T_{x}f)(y)=f(x+y)$

для $x,y\in K$. То же самое делаем и умножения на символы:

$(M_{\chi }f)(y)=\chi (y)f(y)$

для $\chi \in {\hat {K}}$. Эти операторы не коммутируют и вместо этого удовлетворяют

$\left(T_{x}M_{\chi }T_{x}^{-1}M_{\chi }^{-1}f\right)(y)={\overline {\chi (x)}}f(y)$

умножение на комплексное число с фиксированным единичным модулем.

Итак, группа Гейзенберга $H(K)$ связанный с K, является типом центрального расширения $K\times {\hat {K}}$, через точную последовательность групп:

$1\to U(1)\to H(K)\to K\times {\hat {K}}\to 0.$

Более общие группы Гейзенберга описываются 2-коцилами в группе когомологий. $H^{2}(K,U(1))$. Существование двойственности между $K$ и ${\hat {K}}$ порождает канонический коцикл, но существуют вообще другие.

Группа Гейзенберга действует неприводимо на $L^{2}(K)$. Действительно, непрерывные символы разделяют точки поэтому любой унитарный оператор $L^{2}(K)$ который ездит с ними на работу, является $L^{\infty }$ множитель . Но коммутация с трансляциями подразумевает, что множитель постоянен.

Версия теоремы Стоуна-фон Неймана , доказанная Джорджем Макки , справедлива для группы Гейзенберга. $H(K)$. является Преобразование Фурье уникальным связующим звеном между представлениями $L^{2}(K)$ и $L^{2}\left({\hat {K}}\right)$. в обсуждении теоремы Стоуна – фон Неймана # Отношение к преобразованию Фурье Подробности см. .

См. также

• Канонические коммутационные соотношения
• Преобразование Вигнера – Вейля
• Теорема Стоуна – фон Неймана
• Проективное представление
• Гипотеза геометризации

Ссылки

• Бинц, Эрнст; Стручки, Соня (2008). Геометрия групп Гейзенберга . Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-4495-3 .
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H , ISBN  978-1461471158
• Холл, Брайан С. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Тексты для аспирантов по математике. Том. 222 (второе изд.). Спрингер. ISBN  978-3319134666 .
• Хау, Роджер (1980). «О роли группы Гейзенберга в гармоническом анализе» . Бюллетень Американского математического общества . 3 (2): 821–843. дои : 10.1090/s0273-0979-1980-14825-9 . МР   0578375 .
• Кириллов, Александр А. (2004). «Глава 2: «Представления и орбиты группы Гейзенберга». Лекции по методу орбит . Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3530-0 .
• Макки, Джордж (1976). Теория представлений унитарных групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN  978-0226500522 .

Внешние ссылки

• Groupprops, The Group Properties Wiki Группа унитреугольных матриц UT(3,p)