Внешнее исчисление конечных элементов
Внешнее исчисление конечных элементов (FEEC) — это математическая основа, которая формулирует методы конечных элементов с использованием цепных комплексов . Его основным применением была комплексная теория методов конечных элементов в вычислительном электромагнетизме , вычислительной механике твердого тела и жидкости. FEEC был разработан в начале 2000-х годов Дугласом Н. Арнольдом , Ричардом С. Фальком и Рагнаром Винтером . [1] [2] [3] среди других. [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] Внешнее исчисление конечных элементов иногда называют примером совместимого метода дискретизации, и оно имеет сходство с дискретным внешним исчислением , хотя это разные теории.
Начнем с признания того, что используемые дифференциальные операторы часто являются частью комплексов: последовательное применение приводит к нулю. Затем формулировка дифференциальных операторов соответствующих дифференциальных уравнений и соответствующих граничных условий в виде лапласиана Ходжа . Члены Лапласа Ходжа разбиваются с помощью разложения Ходжа . соответствующая вариационная формулировка перевала для смешанных Затем генерируется количеств. Дискретизация до подкомплекса, связанного с сеткой, выполняется с использованием набора проекционных операторов, которые коммутируют с дифференциальными операторами. Затем можно доказать уникальность и оптимальную сходимость в зависимости от плотности сетки.
FEEC имеет непосредственное отношение к диффузии , упругости , электромагнетизму , стоксову потоку .
Для важного комплекса де Рама , относящегося к операторам grad, curl и div, было создано подходящее семейство элементов не только для тетраэдров, но и для других фигурных элементов, таких как кирпичи. Кроме того, также в соответствии с ними были созданы элементы призматической и пирамидальной формы. Для последнего, однозначно, функции формы не являются полиномиальными. Величины представляют собой 0-формы (скаляры), 1-формы (градиенты), 2-формы (потоки) и 3-формы (плотности). [13] Диффузия, электромагнетизм и упругость. [14] Стоксов поток, [15] вообще относительно, да и собственно все известные комплексы, [16] все это можно сформулировать в терминах комплекса де Рама. Для Навье-Стокса тоже могут быть возможности. [17] [18]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Арнольд, Дуглас Н., Ричард С. Фальк и Рагнар Винтер. « Внешнее исчисление конечных элементов, гомологические методы и приложения ». Acta numerica 15 (2006): 1-155.
- ^ Арнольд, Дуглас, Ричард Фальк и Рагнар Винтер. « Внешнее исчисление конечных элементов: от теории Ходжа к числовой устойчивости ». Бюллетень Американского математического общества 47.2 (2010): 281-354.
- ^ Арнольд, Дуглас Н. (2018). Внешний расчет методом конечных элементов Будь как будет ISBN 978-1-611975-53-6 .
- ^ Алан Демлоу и Анил Хирани, Апостериорные оценки ошибок для внешнего исчисления конечных элементов: Комплекс де Рама , Найдено. Вычислить. Математика. 14 (2014), 1337-1371.
- ^ Кристиансен, Снорре и Рагнар Винтер. « Сглаженные проекции во внешнем исчислении конечных элементов ». Математика вычислений 77.262 (2008): 813–829.
- ^ Кристиансен, Снорре и Франческа Рапетти. « О пространствах конечных элементов высокого порядка дифференциальных форм ». Математика вычислений 85.298 (2016): 517-548.
- ^ Холст, Майкл, Адам Михалик и Райан Шиповски. « Сходимость и оптимальность адаптивных методов в рамках внешнего исчисления конечных элементов ». Препринт arXiv arXiv:1306.1886 (2013).
- ^ Холст, Майкл и Ари Стерн. « Геометрические вариационные преступления: комплексы Гильберта, внешнее исчисление конечных элементов и проблемы на гиперповерхностях ». Основы вычислительной математики 12.3 (2012): 263-293.
- ^ Хиптмайр, Ральф. « Каноническая конструкция конечных элементов ». Математика вычислений Американского математического общества 68.228 (1999): 1325–1346.
- ^ Хиптмайр, Ральф. « Конечные элементы в вычислительном электромагнетизме ». Acta Numerica 11 (2002): 237–339.
- ^ Кирби, Роберт С. « Алгоритмы конечных элементов низкой сложности для комплекса де Рама на симплексах. Архивировано 7 июня 2019 г. в Wayback Machine ». Журнал SIAM по научным вычислениям 36.2 (2014): A846-A868.
- ^ Лихт, Мартин Вернер. Об априорном и апостериорном анализе ошибок во внешнем исчислении конечных элементов . Дисс. Диссертация, факультет математики, Университет Осло, Норвегия, 2017.
- ^ Кокберн, Бернардо; Фу, Гошэн (01 января 2017 г.). «Систематическое построение коммутирующих точных последовательностей конечных элементов» . SIAM Journal по численному анализу . 55 (4): 1650–1688. arXiv : 1605.00132 . дои : 10.1137/16M1073352 . ISSN 0036-1429 . S2CID 38216995 .
- ^ Арнольд, Дуглас Н.; Фальк, Ричард С.; Винтер, Рагнар (01 октября 2007 г.). «Смешанные методы конечных элементов для линейной упругости со слабо навязанной симметрией» . Математика вычислений . 76 (260): 1699–1724. arXiv : math/0701506 . Бибкод : 2007MaCom..76.1699A . doi : 10.1090/S0025-5718-07-01998-9 .
- ^ Фальк, Ричард С.; Нилан, Майкл (1 января 2013 г.). «Комплексы Стокса и построение стабильных конечных элементов с поточечным сохранением массы» . SIAM Journal по численному анализу . 51 (2): 1308–1326. CiteSeerX 10.1.1.294.9104 . дои : 10.1137/120888132 . ISSN 0036-1429 .
- ^ «Внешнее исчисление конечных элементов - 4 | Институт математических наук Исаака Ньютона» . www.newton.ac.uk . 5 марта 2021 г. Проверено 16 марта 2021 г.
- ^ Фанг, Шизан (01 марта 2020 г.). «Вложение Нэша, оператор формы и уравнение Навье-Стокса на римановом многообразии» . Acta Mathematicae Applicatae Sinica, английская серия . 36 (2): 237–252. arXiv : 1907.13519 . дои : 10.1007/s10255-020-0928-1 . ISSN 1618-3932 . S2CID 199000940 .
- ^ Самаваки, Марьям; Туомела, Юкка (01 февраля 2020 г.). «Уравнения Навье–Стокса на римановых многообразиях» . Журнал геометрии и физики . 148 : 103543. arXiv : 1812.09015 . Бибкод : 2020JGP...14803543S . doi : 10.1016/j.geomphys.2019.103543 . ISSN 0393-0440 . S2CID 119133831 .
 | Эта прикладной математике, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |