Алгебраическая операция

Алгебраические операции при решении квадратного уравнения . Подкоренной знак √, обозначающий квадратный корень , эквивалентен возведению в степень 1/2 ​ ​ . Знак ± означает, что уравнение можно записать как со знаком +, так и со знаком –.

В математике основная алгебраическая операция — это любая из распространенных операций элементарной алгебры , к которым относятся сложение , вычитание , умножение , деление целого числа , возведение в степень и извлечение корня ( дробная степень). Эти операции могут выполняться над числами , и в этом случае их часто называют арифметическими операциями . Аналогичным образом они также могут быть выполнены с переменными , алгебраическими выражениями , и, в более общем плане, об элементах алгебраических структур , таких как группы и поля . можно определить просто как функцию от декартовой степени множества Алгебраическую операцию также к тому же множеству.

Термин «алгебраическая операция» также может использоваться для операций, которые могут быть определены путем объединения основных алгебраических операций, таких как скалярное произведение . В исчислении и анализе математическом алгебраические операции также используются для операций, которые могут быть определены чисто алгебраическими методами . Например, возведение в степень с целым или рациональным показателем является алгебраической операцией, но не общее возведение в степень с действительным или комплексным показателем. Кроме того, производная — это операция, которая не является алгебраической.

Обозначения

Символы умножения обычно опускаются и подразумеваются, когда между двумя переменными или терминами нет оператора или когда коэффициент используется . Например, 3 × х ² записывается как 3 х ² , а 2 × x × y записывается как 2 xy . Иногда символы умножения заменяются точкой или центральной точкой, так что x × y записывается как x . у или х · у . Обычный текст , языки программирования и калькуляторы также используют одну звездочку для обозначения символа умножения. и его необходимо явно использовать; например, 3 x записывается как 3 * x .

Вместо использования неоднозначного знака деления (÷), деление обычно изображается винкулумом , горизонтальной линией, как в 3 / х + 1 . косая черта (также называемая косой чертой В простом тексте и языках программирования используется ), например 3 / ( x + 1).

Экспоненты обычно форматируются с использованием верхних индексов, как в x ² . В обычном тексте , TeX языке разметки и некоторых языках программирования, таких как MATLAB и Julia , символ каретки ^ представляет показатель степени, поэтому x ² записывается как х ^2. В таких языках программирования, как Ада , Фортран , Перл , Питон и Руби , используется двойная звездочка, поэтому x ² записывается как х **2.

Знак плюс-минус , ±, используется в качестве сокращенного обозначения двух выражений, записанных как одно, представляющее одно выражение со знаком плюс, другое — со знаком минус. Например, y = x ± 1 представляет два уравнения y = x + 1 и y = x - 1. Иногда оно используется для обозначения положительного или отрицательного термина, такого как ± x .

операции

Алгебраические операции работают так же, как арифметические операции , как видно из таблицы ниже.

Операция	Арифметика Пример	Алгебра Пример	Комментарии ≡ означает «эквивалент» ≢ означает «не эквивалентно»
Добавление	$(5\times 5)+5+5+3$ эквивалентно: $5^{2}+(2\times 5)+3$	$(b\times b)+b+b+a$ эквивалентно: $b^{2}+2b+a$	${\begin{aligned}2\times b&\equiv 2b\\b+b+b&\equiv 3b\\b\times b&\equiv b^{2}\end{aligned}}$
Вычитание	$(7\times 7)-7-5$ эквивалентно: $7^{2}-7-5$	$(b\times b)-b-a$ эквивалентно: $b^{2}-b-a$	${\begin{aligned}b^{2}-b&\not \equiv b\\3b-b&\equiv 2b\\b^{2}-b&\equiv b(b-1)\end{aligned}}$
Умножение	$3\times 5$ или $3\ .\ 5$ или $3\cdot 5$ или $(3)(5)$	$a\times b$ или $a.b$ или $a\cdot b$ или $ab$	$a\times a\times a$ то же самое, что $a^{3}$
Разделение	$12\div 4$ или   $12/4$ или   ${\frac {12}{4}}$	$b\div a$ или   $b/a$ или   ${\frac {b}{a}}$	${\frac {a+b}{3}}\equiv {\tfrac {1}{3}}\times (a+b)$
Возведение в степень	$3^{\frac {1}{2}}$   $2^{3}$	$a^{\frac {1}{2}}$   $b^{3}$	$a^{\frac {1}{2}}$ то же самое, что ${\sqrt {a}}$   $b^{3}$ то же самое, что $b\times b\times b$

Примечание: использование букв $a$ и $b$ является произвольным, и примеры были бы одинаково верными, если бы $x$ и $y$ были использованы.

Свойства арифметических и алгебраических операций

Свойство	Арифметика Пример	Алгебра Пример	Комментарии ≡ означает «эквивалент» ≢ означает «не эквивалентно»
Коммутативность	$3+5=5+3$ $3\times 5=5\times 3$	$a+b=b+a$ $a\times b=b\times a$	Сложение и умножение являются коммутативный и ассоциативный. Вычитание и деление не являются: например $a-b\not \equiv b-a$
Ассоциативность	$(3+5)+7=3+(5+7)$ $(3\times 5)\times 7=3\times (5\times 7)$	$(a+b)+c=a+(b+c)$ $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

См. также

• Алгебраическое выражение
• Алгебраическая функция
• Элементарная алгебра
• Факторизация квадратичного выражения
• Порядок действий