Квадратное уравнение

Эта статья об алгебраических уравнениях второй степени и их решениях. Формулу, используемую для поиска решений таких уравнений, см. в разделе Квадратичная формула . Чтобы узнать о функциях, определяемых полиномами второй степени, см. Квадратичная функция .

В математике квадратное уравнение (от лат. Quadratus « квадрат ») — это уравнение , которое можно преобразовать в стандартную форму как $$ax^{2}+bx+c=0\,,$$где x представляет собой неизвестное значение, а a , b и c представляют известные числа, где a ≠ 0 . (Если a = 0 и b ≠ 0, то уравнение линейное , а не квадратное.) Числа a , b и c являются коэффициентами уравнения, и их можно отличить, назвав их соответственно квадратичным коэффициентом , линейным коэффициентом и постоянный коэффициент или свободный член .

Значения x , удовлетворяющие уравнению, называются решениями уравнения, а корни или нули выражения — в его левой части. Квадратное уравнение имеет не более двух решений. Если существует только одно решение, говорят, что это двойной корень . Если все коэффициенты являются действительными числами , существует либо два действительных решения, либо один действительный двойной корень, либо два комплексных решения, которые являются комплексно-сопряженными друг другу. Квадратное уравнение всегда имеет два корня, если в него входят комплексные корни; а двойной корень считается за два. Квадратное уравнение можно разложить на эквивалентное уравнение $$ax^{2}+bx+c=a(x-r)(x-s)=0$$где r и s — решения для x .

Квадратичная формула $$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$$выражает решения через a , b и c . Заполнение квадрата — один из нескольких способов вывода формулы.

Решения задач, выражаемые с помощью квадратных уравнений, были известны еще в 2000 году до нашей эры.

Поскольку квадратное уравнение содержит только одну неизвестную, его называют « одномерным ». Квадратное уравнение содержит только степени x , которые являются неотрицательными целыми числами, и, следовательно, это полиномиальное уравнение . В частности, это полиномиальное уравнение второй степени , поскольку наибольшая степень равна двум.

Решение квадратного уравнения

Рис. 1. Графики квадратичной функции y = ax ² + bx + c , варьируя каждый коэффициент отдельно, в то время как остальные коэффициенты фиксированы (при значениях a = 1, b = 0, c = 0)

Квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет два решения, называемые корнями . Эти два решения могут быть разными, а могут и не быть разными, и они могут быть реальными, а могут и не быть.

Факторинг путем проверки

Возможно, можно выразить квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0 как произведение ( px + q )( rx + s ) = 0 . В некоторых случаях можно путем простой проверки определить значения p , q , r и s , которые делают две формы эквивалентными друг другу. Если квадратное уравнение записано во второй форме, то «Свойство нулевого фактора» утверждает, что квадратное уравнение удовлетворяется, если px + q = 0 или rx + s = 0 . Решение этих двух линейных уравнений дает корни квадратного.

Для большинства учащихся факторизация методом проверки является первым методом решения квадратных уравнений, с которым они сталкиваются. Если дано квадратное уравнение вида x ² + bx + c = 0 , искомая факторизация имеет вид ( x + q )( x + s ) , и нужно найти два числа q и s, которые в сумме дают b и произведение которых равно c (это иногда называют " Правило Виеты» и связано с формулами Виеты ). Например, х ² + 5 x + 6 множителей как ( x + 3)( x + 2) . Более общий случай, когда а не равно 1, может потребовать значительных усилий в методе проб и ошибок, предполагая, что его вообще можно учесть путем проверки.

За исключением особых случаев, таких как b = 0 или c = 0 , факторизация методом проверки работает только для квадратных уравнений, имеющих рациональные корни. Это означает, что подавляющее большинство квадратных уравнений, возникающих в практических приложениях, не могут быть решены путем факторизации путем проверки.

Завершение площади

Основная статья: Завершение площади

Рис. 2. Для квадратичной функции y = x ² − x − 2 , точки, в которых график пересекает ось x , x = −1 и x = 2 , являются решениями квадратного уравнения x ² - Икс - 2 знак равно 0 .

В процессе заполнения квадрата используется алгебраическое тождество $$x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},$$который представляет собой четко определенный алгоритм , который можно использовать для решения любого квадратного уравнения. Начиная с квадратного уравнения в стандартной форме, ax ² + Ьх + с = 0

1. Разделите каждую сторону на коэффициент при квадрате члена.
2. Вычтите постоянный член c / a из обеих частей.
3. Прибавьте к обеим сторонам квадрат половины b / a , коэффициент x . Это «завершает квадрат», превращая левую сторону в идеальный квадрат.
4. Запишите левую часть в виде квадрата и при необходимости упростите правую сторону.
5. Составьте два линейных уравнения, приравняв квадратный корень из левой части к положительным и отрицательным квадратным корням из правой части.
6. Решите каждое из двух линейных уравнений.

Мы проиллюстрируем использование этого алгоритма, решив задачу 2 x ² + 4 х - 4 = 0 $$2x^{2}+4x-4=0$$$$\ x^{2}+2x-2=0$$$$\ x^{2}+2x=2$$$$\ x^{2}+2x+1=2+1$$$$\left(x+1\right)^{2}=3$$$$\ x+1=\pm {\sqrt {3}}$$$$\ x=-1\pm {\sqrt {3}}$$

Символ плюс-минус «±» указывает, что x = −1 + √ 3 и x = −1 − √ 3 являются решениями квадратного уравнения.

Квадратичная формула и ее вывод

Основная статья: Квадратичная формула

Заполнение квадрата можно использовать для вывода общей формулы решения квадратных уравнений, называемой квадратной формулой. Математическое доказательство теперь будет кратко изложено. легко увидеть С помощью полиномиального разложения , что следующее уравнение эквивалентно квадратному уравнению: $$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.$$Извлечение квадратного корня из обеих сторон и выделение x дает: $$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$$

Некоторые источники, особенно старые, используют альтернативные параметризации квадратного уравнения, такие как ax ² + 2 bx + c = 0 или ax ² - 2 bx + c знак равно 0 , где b имеет величину, половину более распространенной, возможно, с противоположным знаком. Это приводит к несколько разным формам решения, но в остальном эквивалентно.

ряд альтернативных выводов В литературе можно найти . Эти доказательства проще, чем стандартное завершение метода квадратов, представляют собой интересные применения других часто используемых методов алгебры или дают представление о других областях математики.

Менее известная квадратичная формула, используемая в методе Мюллера , дает те же корни через уравнение $$x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.$$ Это можно вывести из стандартной квадратичной формулы по формулам Виеты , которые утверждают, что произведение корней равно c / a . Это также следует из деления квадратного уравнения на $x^{2}$ предоставление $cx^{-2}+bx^{-1}+a=0,$ решить это для $x^{-1},$ а затем инвертируем.

Одним из свойств этой формы является то, что она дает один действительный корень, когда a = 0 , в то время как другой корень содержит деление на ноль, потому что, когда a = 0 , квадратное уравнение становится линейным уравнением, имеющим один корень. Напротив, в этом случае более распространенная формула имеет деление на ноль для одного корня и неопределенную форму 0/0 для другого корня. С другой стороны, когда c = 0 , более распространенная формула дает два правильных корня, тогда как эта форма дает нулевой корень и неопределенную форму 0/0 .

Когда ни a, ни c не равны нулю, равенство между стандартной квадратичной формулой и методом Мюллера: $${\frac {2c}{-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,,$$можно проверить перекрестным умножением и аналогично для другого выбора знаков.

Приведенное квадратное уравнение

Иногда удобно привести квадратное уравнение так, чтобы его старший коэффициент был равен единице. Это делается путем деления обеих частей на a , что всегда возможно, поскольку a не равно нулю. В результате получается сокращенное квадратное уравнение :

$$x^{2}+px+q=0,$$

где p = b / a и q = c / a . Это моническое полиномиальное уравнение имеет те же решения, что и исходное.

Квадратная формула решения приведенного квадратного уравнения, записанная через его коэффициенты, имеет вид $$x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right)$$или, что то же самое, $$x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\,.$$

Дискриминант

Рисунок 3. Дискриминантные признаки

В квадратной формуле выражение под знаком квадратного корня называется дискриминантом квадратного уравнения и часто обозначается прописной буквой D или прописной греческой дельтой : $$\Delta =b^{2}-4ac.$$Квадратное уравнение с действительными коэффициентами может иметь один или два различных действительных корня или два различных комплексных корня. В этом случае дискриминант определяет количество и характер корней. Есть три случая:

• Если дискриминант положителен, то имеются два различных корня $${\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},$$ оба из которых являются действительными числами. Для квадратных уравнений с рациональными коэффициентами, если дискриминант представляет собой квадратное число , то корни рациональны; в других случаях они могут быть квадратичными иррациональными числами .
• Если дискриминант равен нулю, то действительный корень ровно один . $-{\frac {b}{2a}},$ иногда его называют повторяющимся, двойным корнем или двумя равными корнями.
• Если дискриминант отрицательный, то действительных корней нет. Скорее, есть два различных (недействительных) комплексных корня. $$-{\frac {b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}\quad {\text{and}}\quad -{\frac {b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},$$ которые являются комплексно сопряженными друг с другом. В этих выражениях i — мнимая единица .

Таким образом, корни различны тогда и только тогда, когда дискриминант ненулевой, а корни действительны тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицательен.

Геометрическая интерпретация

Визуализация комплексных корней y = ax ² + bx + c : парабола повернута на 180° вокруг своей вершины ( оранжевый ). Его точки пересечения с x повернуты на 90° вокруг своей средней точки, а декартова плоскость интерпретируется как комплексная плоскость ( зеленая ).

Функция f ( x ) = ax ² + bx + c – квадратичная функция . График любой квадратичной функции имеет одну и ту же общую форму, которая называется параболой . Местоположение и размер параболы, а также то, как она открывается, зависят от значений a , b и c . Если a > 0 , парабола имеет точку минимума и открывается вверх. Если a < 0 , парабола имеет максимальную точку и открывается вниз. Крайняя точка параболы, будь то минимальная или максимальная, соответствует ее вершине . Координата x точке вершины будет находиться в $\scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}$, а y координату вершины можно найти, подставив это x значение в функцию. Пересечение y ) находится в точке (0 c . ,

Решения квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 соответствуют корням функции f ( x ) = ax ² + bx + c , поскольку они являются значениями x, для которых f ( x ) = 0 . Если a , b и c — действительные числа , а область определения f — это набор действительных чисел, то корни f в точности x координаты — это точек, в которых график касается оси x . Если дискриминант положителен, график касается x оси в двух точках; если ноль, график касается в одной точке; а если отрицательно, то график не касается оси x .

Квадратичная факторизация

Термин $$x-r$$является фактором многочлена $$ax^{2}+bx+c$$тогда и только тогда, когда r является корнем квадратного уравнения $$ax^{2}+bx+c=0.$$Из квадратичной формулы следует, что $$ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right).$$В частном случае б ² = 4 ac , где квадратичный многочлен имеет только один отдельный корень ( т. е. дискриминант равен нулю), квадратичный многочлен можно разложить на множители как $$ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.$$

Графическое решение

Рисунок 4. Графический калькулятор расчета одного из двух корней квадратного уравнения 2 x ² + 4 Икс - 4 знак равно 0 . Хотя на дисплее отображается только пять значащих цифр точности, полученное значение xc составляет 0,732050807569, с точностью до двенадцати значащих цифр.

Квадратичная функция без вещественного корня: y = ( x − 5) ² + 9 . «3» — это мнимая часть точки пересечения с x . Действительная часть — это координата x вершины. Таким образом, корни равны 5 ± 3 i .

Решения квадратного уравнения $$ax^{2}+bx+c=0$$можно вывести из графика квадратичной функции $$f(x)=ax^{2}+bx+c,$$что является параболой .

Если парабола пересекает ось x в двух точках, то имеется два вещественных корня , которые являются координатами x этих двух точек (также называемыми x -перехватом).

Если парабола касается оси x , то имеется двойной корень, который является координатой x точки контакта между графиком и параболой.

Если парабола не пересекает ось X , то имеются два комплексно-сопряженных корня. Хотя эти корни невозможно визуализировать на графике, их действительную и мнимую части можно.

Пусть h и k - соответственно координата x и координата y вершины параболы (то есть точки с максимальной или минимальной координатой y . Квадратичную функцию можно переписать $$y=a(x-h)^{2}+k.$$Пусть d — расстояние между точкой y -координаты 2 k на оси параболы и точкой на параболе с той же y -координатой (см. рисунок; таких точек две, дающих одинаковое расстояние, из-за симметрии параболы). Тогда действительная часть корней равна h , а их мнимая часть равна ± d . То есть корни $$h+id\quad {\text{and}}\quad h-id,$$или в случае примера рисунка $$5+3i\quad {\text{and}}\quad 5-3i.$$

Как избежать потери значимости

Хотя квадратичная формула обеспечивает точное решение, результат не является точным, если действительные числа во время вычислений аппроксимируются , как это обычно бывает в численном анализе , где действительные числа аппроксимируются числами с плавающей запятой (называемыми «действительными числами» во многих языках программирования ). В этом контексте квадратичная формула не является полностью устойчивой .

Это происходит, когда корни имеют разный порядок величины или, что то же самое, когда b ² и б ² − 4 ac близки по величине. В этом случае вычитание двух почти равных чисел приведет к потере значимости или катастрофическому сокращению меньшего корня. Чтобы избежать этого, корень меньшего размера r можно вычислить как $(c/a)/R$ где R — корень, больший по величине. Это эквивалентно использованию формулы

$$x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}$$

используя знак плюс, если $b>0$ и знак минус, если $b<0.$

Вторая форма отмены может возникнуть между терминами b ² и 4 ac дискриминанта, то есть когда два корня очень близки. Это может привести к потере до половины правильных значащих цифр в корнях.

Примеры и приложения

Траектория прыгуна со скалы является параболической , поскольку горизонтальное смещение является линейной функцией времени. $x=v_{x}t$, а вертикальное смещение является квадратичной функцией времени $y={\tfrac {1}{2}}at^{2}+v_{y}t+h$. В результате путь следует квадратному уравнению $y={\tfrac {a}{2v_{x}^{2}}}x^{2}+{\tfrac {v_{y}}{v_{x}}}x+h$, где $v_{x}$ и $v_{y}$ — горизонтальная и вертикальная составляющие исходной скорости, a — свободного падения ускорение , h — первоначальная высота. Здесь значение a следует считать отрицательным, так как его направление (вниз) противоположно измерению высоты (вверх).

Золотое сечение находится как положительное решение квадратного уравнения. $x^{2}-x-1=0.$

Уравнения окружности и других конических сечений — эллипсов , парабол и гипербол — являются квадратными уравнениями с двумя переменными.

Учитывая косинус или синус угла, для нахождения косинуса или синуса угла, который вдвое меньше, необходимо решить квадратное уравнение.

Процесс упрощения выражений, включающих квадратный корень из выражения, включающего квадратный корень из другого выражения, включает в себя нахождение двух решений квадратного уравнения.

Теорема Декарта каждых четырех целующихся (взаимно касающихся) кругов утверждает, что радиусы удовлетворяют определенному квадратному уравнению.

Уравнение, заданное теоремой Фусса , определяющее связь между радиусом вписанной в бицентрический четырехугольник окружностью , радиусом описанной в нем окружности и расстоянием между центрами этих окружностей, может быть выражено в виде квадратного уравнения, для которого расстояние между центрами двух кругов через их радиусы является одним из решений. Другое решение того же уравнения в терминах соответствующих радиусов дает расстояние между центром описанной окружности и центром вписанной окружности экскасательного четырехугольника .

Критические точки и кубической функции точки перегиба функции четвертой степени находятся путем решения квадратного уравнения.

История

Вавилонские математики еще в 2000 году до нашей эры (отображены на старовавилонских глиняных табличках ) могли решать задачи, связанные с площадями и сторонами прямоугольников. Есть свидетельства, датирующие этот алгоритм еще Третьей династией Ура . В современных обозначениях проблемы обычно заключались в решении пары одновременных уравнений вида: $$x+y=p,\ \ xy=q,$$что эквивалентно утверждению, что x и y являются корнями уравнения: $$z^{2}+q=pz.$$

Шаги, данные вавилонскими писцами для решения вышеупомянутой проблемы прямоугольника в терминах x и y , были следующими:

1. Вычислите половину p .
2. Возведите результат в квадрат.
3. Вычтите q .
4. Найдите (положительный) квадратный корень, используя таблицу квадратов.
5. Сложите результаты шагов (1) и (4), чтобы получить x .

В современных обозначениях это означает вычисление $x=\left({\frac {p}{2}}\right)+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$, что эквивалентно современной квадратичной формуле для большего действительного корня (если таковой имеется) $x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ с a знак равно 1 , b знак равно - п и c знак равно q .

Геометрические методы использовались для решения квадратных уравнений в Вавилонии, Египте, Греции, Китае и Индии. Египетский берлинский папирус , относящийся к Среднему царству (2050–1650 гг. до н.э.), содержит решение двухчленного квадратного уравнения. Вавилонские математики примерно 400 г. до н. э. и китайские математики примерно 200 г. до н. э. использовали геометрические методы рассечения для решения квадратных уравнений с положительными корнями. Правила для квадратных уравнений были даны в «Девяти главах математического искусства» , китайском трактате по математике. Эти ранние геометрические методы, похоже, не имели общей формулы. Евклид , греческий математик , разработал более абстрактный геометрический метод около 300 г. до н.э. Используя чисто геометрический подход, Пифагор и Евклид создали общую процедуру поиска решений квадратного уравнения. В своей работе «Арифметика» греческий математик Диофант решил квадратное уравнение, но дал только один корень, даже если оба корня были положительными.

В 628 году нашей эры Брахмагупта , индийский математик , дал в своей книге «Брахмаспхутасиддханта» первое явное (хотя еще не совсем общее) решение квадратного уравнения ax ² + bx = c следующим образом: «К абсолютному числу, умноженному на четырехкратный [коэффициент] квадрата, прибавьте квадрат [коэффициента] среднего члена; квадратный корень из этого числа за вычетом [коэффициента] квадрата ] средний член, разделенный на двойной [коэффициент] квадрата, и есть значение». Это эквивалентно $$x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}.$$Рукопись Бахшали, написанная в Индии в VII веке нашей эры, содержала алгебраическую формулу для решения квадратных уравнений, а также квадратных неопределенных уравнений (первоначально типа ax / c = y ). Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (9 век) разработал набор формул, которые помогали найти положительные решения. Аль-Хорезми идет дальше, предоставляя полное решение общего квадратного уравнения, принимая один или два числовых ответа для каждого квадратного уравнения, одновременно предоставляя геометрические доказательства в процессе. Он также описал метод заполнения квадрата и признал, что дискриминант должен быть положительным, что было доказано его современником Абд аль-Хамидом ибн Тюрком (Средняя Азия, 9 век), который привел геометрические фигуры для доказательства того, что если дискриминант отрицателен, квадратное уравнение не имеет решения. Хотя сам аль-Хорезми не принимал отрицательных решений, более поздние исламские математики , пришедшие ему на смену, приняли отрицательные решения. а также иррациональные числа как решения. Абу Камиль Шуджа ибн Аслам (Египет, 10 век), в частности, был первым, кто принял иррациональные числа (часто в форме квадратного корня , кубического корня или корня четвертой степени ) в качестве решений квадратных уравнений или в качестве коэффициентов в уравнении. Индийский математик IX века Шридхара записал правила решения квадратных уравнений.

Еврейский математик Авраам бар Хийя Ха-Наси (XII век, Испания) является автором первой европейской книги, включающей полное решение общего квадратного уравнения. Его решение во многом основывалось на работе Аль-Хорезми. Сочинение китайского математика Ян Хуэя (1238–1298 гг. н.э.) является первым известным произведением, в котором появляются квадратные уравнения с отрицательными коэффициентами при «х», хотя он приписывает это более раннему Лю И. К 1545 году Джероламо Кардано собрал труды, связанные с квадратными уравнениями. Квадратичная формула, охватывающая все случаи, была впервые получена Саймоном Стевином в 1594 году. В 1637 году Рене Декарт опубликовал «Геометрию», содержащую квадратичную формулу в той форме, которую мы знаем сегодня.

Расширенные темы

Альтернативные методы вычисления корня

Формулы Плейса

Основная статья: формулы Виеты

Формулы Вьеты (названные в честь Франсуа Вьета ) представляют собой отношения $$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$$ между корнями квадратного многочлена и его коэффициентами. Они являются результатом почленного сравнения отношения $$\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=x^{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)x+x_{1}x_{2}=0$$с уравнением $$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.$$

Первая формула Виеты полезна для построения графика квадратичной функции. Поскольку граф симметричен относительно вертикальной линии, проходящей через вершину вершины , координата x находится в среднем значении корней (или точек пересечения). Таким образом, координата x вершины равна $$x_{V}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}=-{\frac {b}{2a}}.$$Координата y может быть получена путем подстановки приведенного выше результата в данное квадратное уравнение, что дает $$y_{V}=-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.$$Также эти формулы для вершины можно вывести непосредственно из формулы (см. Заполнение квадрата ) $$ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.$$

Для численных вычислений формулы Виеты предоставляют полезный метод поиска корней квадратного уравнения в случае, когда один корень намного меньше другого. Если | х ₂ | << | х ₁ | , то x ₁ + x ₂ ≈ x ₁ и имеем оценку: $$x_{1}\approx -{\frac {b}{a}}.$$Тогда вторая формула Виеты дает: $$x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}\approx -{\frac {c}{b}}.$$Эти формулы гораздо легче вычислить, чем квадратную формулу при условии наличия одного большого и одного маленького корня, поскольку квадратичная формула оценивает малый корень как разность двух почти равных чисел (случай большого b ), что приводит к округлению -off ошибка в числовой оценке. На рисунке показана разница между (i) прямая оценка с использованием квадратичной формулы (точна, когда корни по значению близки друг к другу) и (ii) оценка, основанная на приведенной выше аппроксимации формул Виеты (точна, когда корни расположены на большом расстоянии друг от друга). По мере увеличения линейного коэффициента b первоначально квадратичная формула является точной, а точность приближенной формулы улучшается, что приводит к уменьшению разницы между методами по мере увеличения b . Однако в какой-то момент квадратичная формула начинает терять точность из-за ошибки округления, а приближенный метод продолжает совершенствоваться. Следовательно, разница между методами начинает увеличиваться по мере ухудшения квадратичной формулы.

Такая ситуация обычно возникает при проектировании усилителей, где для обеспечения стабильной работы требуется широко разнесенные корни (см. Переходный процесс ).

Тригонометрическое решение

Во времена, когда еще не было калькуляторов, люди использовали математические таблицы — списки чисел, показывающие результаты вычислений с различными аргументами, — чтобы упростить и ускорить вычисления. Таблицы логарифмов и тригонометрических функций были распространены в учебниках математики и естественных наук. Были опубликованы специализированные таблицы для таких приложений, как астрономия, небесная навигация и статистика. Существовали методы числовой аппроксимации, называемые простафаэрезом , которые позволяли сократить время выполнения трудоемких операций, таких как умножение, извлечение степеней и корней. Астрономов особенно интересовали методы, которые могли бы ускорить длинные серии вычислений, связанных с расчетами небесной механики .

Именно в этом контексте мы можем понять развитие средств решения квадратных уравнений с помощью тригонометрической замены . Рассмотрим следующую альтернативную форму квадратного уравнения:

$$ax^{2}+bx\pm c=0,$$ ( 1 )

где знак символа ± выбран так, чтобы оба a и c могли быть положительными. Подставив

$$x={\textstyle {\sqrt {c/a}}}\tan \theta$$ ( 2 )

а затем умножить на cos ² ( θ )/ c , получаем

$$\sin ^{2}\theta +{\frac {b}{\sqrt {ac}}}\sin \theta \cos \theta \pm \cos ^{2}\theta =0.$$ ( 3 )

Вводя функции от 2 θ и переставляя, получаем

$$\tan 2\theta _{n}=+2{\frac {\sqrt {ac}}{b}},$$ ( 4 )

$$\sin 2\theta _{p}=-2{\frac {\sqrt {ac}}{b}},$$ ( 5 )

где индексы n и p соответствуют использованию отрицательного или положительного знака в уравнении [1] соответственно . Подстановка двух значений θ _n или θ _p, найденных из уравнений [4] или [5] в [2], дает требуемые корни из [1] . Комплексные корни возникают в решении на основе уравнения [5], если абсолютное значение sin 2 θ _p превышает единицу. Объем усилий, затраченных на решение квадратных уравнений с использованием этой смешанной стратегии поиска в тригонометрических и логарифмических таблицах, составил две трети усилий, затраченных на использование только логарифмических таблиц. Вычисление комплексных корней потребует использования другой тригонометрической формы.

Для иллюстрации предположим, что у нас есть семизначный логарифм и тригонометрические таблицы, и мы хотим решить следующую задачу с точностью до шести значащих цифр: $$4.16130x^{2}+9.15933x-11.4207=0$$

1. Таблица поиска из семи позиций может содержать только 100 000 записей, а вычисление промежуточных результатов по семи позициям обычно требует интерполяции между соседними записями.
2. $\log a=0.6192290,\log b=0.9618637,\log c=1.0576927$
3. $2{\sqrt {ac}}/b=2\times 10^{(0.6192290+1.0576927)/2-0.9618637}=1.505314$
4. $\theta =(\tan ^{-1}1.505314)/2=28.20169^{\circ }{\text{ or }}-61.79831^{\circ }$
5. $\log |\tan \theta |=-0.2706462{\text{ or }}0.2706462$
6. $\log {\textstyle {\sqrt {c/a}}}=(1.0576927-0.6192290)/2=0.2192318$
7. $x_{1}=10^{0.2192318-0.2706462}=0.888353$ (округлено до шести значащих цифр) $$x_{2}=-10^{0.2192318+0.2706462}=-3.08943$$

Решение комплексных корней в полярных координатах

Если квадратное уравнение $ax^{2}+bx+c=0$ с действительными коэффициентами имеет два комплексных корня — случай, когда $b^{2}-4ac<0,$ требуя, чтобы a и c имели одинаковый знак, тогда решения для корней можно выразить в полярной форме как

$$x_{1},\,x_{2}=r(\cos \theta \pm i\sin \theta ),$$

где $r={\sqrt {\tfrac {c}{a}}}$ и $\theta =\cos ^{-1}\left({\tfrac {-b}{2{\sqrt {ac}}}}\right).$

Геометрическое решение

Рисунок 6. Геометрическое решение ax ² + bx + c = 0 по методу Лилля. Решения: −AX1/SA, −AX2/SA.

Квадратное уравнение можно решить геометрически несколькими способами. Один из способов — метод Лилля . Три коэффициента a , b , c нарисованы с прямыми углами между ними, как в SA, AB и BC на рисунке 6. Нарисован круг с начальной и конечной точкой SC в качестве диаметра. Если это пересекает среднюю линию AB из трех, то уравнение имеет решение, и решения даются отрицательным расстоянием вдоль этой линии от A, деленным на первый коэффициент a или SA. Если a равно 1, коэффициенты можно считывать напрямую. Таким образом, решения на диаграмме — это −AX1/SA и −AX2/SA.

Круг Карлейля квадратного уравнения x ² − sx + p = 0.

Круг Карлейля , названный в честь Томаса Карлейля , обладает тем свойством, что решениями квадратного уравнения являются горизонтальные координаты пересечений круга с горизонтальной осью . Круги Карлейля использовались для разработки линейки и циркуля в виде конструкций правильных многоугольников .

Обобщение квадратного уравнения

Формула и ее вывод остаются правильными, если коэффициенты a , b и c являются комплексными числами или, в более общем смысле, членами любого поля которого , характеристика не равна 2 . (В поле характеристики 2 элемент равен 2a нулю и делить на него нельзя.)

Символ $$\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}$$в формуле следует понимать как «любой из двух элементов, квадрат которых равен b ² − 4 ac , если такие элементы существуют». В некоторых полях некоторые элементы не имеют квадратных корней, а некоторые имеют два; только ноль имеет только один квадратный корень, за исключением полей характеристики 2 . Даже если поле не содержит квадратного корня некоторого числа, всегда существует квадратичное поле расширения , поэтому квадратичная формула всегда будет иметь смысл как формула в этом поле расширения.

Характеристика 2

В поле характеристики 2 квадратичная формула, основанная на том, что 2 является единицей , не выполняется. Рассмотрим приведенный квадратичный полином $$x^{2}+bx+c$$над полем характеристики 2 . Если b = 0 , то решение сводится к извлечению квадратного корня, поэтому решение имеет вид $$x={\sqrt {c}}$$и имеет только один корень, так как $$-{\sqrt {c}}=-{\sqrt {c}}+2{\sqrt {c}}={\sqrt {c}}.$$В итоге, $$\displaystyle x^{2}+c=(x+{\sqrt {c}})^{2}.$$См. квадратичный вычет для получения дополнительной информации об извлечении квадратных корней в конечных полях.

В случае, когда b ≠ 0 , есть два различных корня, но если многочлен неприводим , они не могут быть выражены через квадратные корни из чисел в поле коэффициентов. Вместо этого определите 2-корень R ( c ) из c как корень многочлена x ² + x + c , элемент поля расщепления этого многочлена. Проверяется, что R ( c ) + 1 также является корнем. С точки зрения операции с двумя корнями два корня (немонического) квадратичного оси ² + bx + c являются $${\frac {b}{a}}R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)$$и $${\frac {b}{a}}\left(R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)+1\right).$$

Например, пусть a обозначает мультипликативный генератор группы единиц F ₄ , поля Галуа четвертого порядка (таким образом, a и a + 1 являются корнями x ² + x + 1 над F ₄ . Потому что ( а + 1) ² = a , a + 1 — единственное решение квадратного уравнения x ² + а = 0 . С другой стороны, многочлен x ² + ax + 1 неприводим над F ₄ , но расщепляется над F ₁₆ , где имеет два корня ab и ab + a , где b — корень из x ² + х + а в F ₁₆ .

Это частный случай теории Артина–Шрайера .

См. также

• Решение квадратных уравнений с цепными дробями
• Линейное уравнение
• Кубическая функция
• Уравнение четвертой степени
• Уравнение квинтики
• Основная теорема алгебры

Внешние ссылки

• «Квадратное уравнение» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Квадратные уравнения» . Математический мир .
• 101 использование квадратного уравнения. Архивировано 10 ноября 2007 г. в Wayback Machine.
• 101 использование квадратного уравнения: Часть II. Архивировано 22 октября 2007 г. в Wayback Machine.