Jump to content

Гомотопия

(Перенаправлено из Непрерывная деформация )
Два пунктирных пути, показанных выше, гомотопны относительно своих конечных точек. Анимация представляет собой одну из возможных гомотопий.

В топологии , разделе математики , две непрерывные функции из одного топологического пространства в другое называются гомотопными (от древнегреческого : ὁμός homós «одинаковый, подобный» и τόπος tópos «место»), если одна из них может «непрерывно деформироваться» в другую. , такая деформация называется гомотопией ( / h ə ˈ m ɒ t ə p / , [1] да- МО -те-пи ; / ˈ h m ˌ to p / , [2] HOH -moh-toh-pee ) между двумя функциями. Заметным применением гомотопии является определение гомотопических групп и когомотопических групп , важных инвариантов в алгебраической топологии . [3]

На практике возникают технические трудности при использовании гомотопий с определенными пространствами. Алгебраические топологи работают с компактно сгенерированными пространствами , комплексами CW или спектрами .

Формальное определение [ править ]

Гомотопия между вложениями тора двумя в R 3 : как «поверхность пончика» и как «поверхность кофейной кружки». Это также пример изотопии .

Формально, гомотопия между двумя непрерывными функциями f и g из a топологическое пространство X в топологическое пространство Y определяется как непрерывная функция от произведения пространства X с единичным интервалом [0, 1] на Y такое, что и для всех .

Если мы подумаем о втором параметре H : в момент 0 у нас как о времени, то H описывает непрерывную деформацию f , а в момент 1 в g есть функция f у нас есть функция g . Мы также можем думать о втором параметре как о «ползунке», который позволяет нам плавно переходить от f к g при перемещении ползунка от 0 к 1 и наоборот.

Альтернативное обозначение состоит в том, что гомотопия между двумя непрерывными функциями представляет собой семейство непрерывных функций для такой, что и и карта является непрерывным от к . Обе версии совпадают, установив . Недостаточно требовать каждую карту быть непрерывным. [4]

зацикленная вверху справа, представляет собой пример гомотопии между двумя вложениями Анимация , f и g тора в R. 3 . X — тор, Y R 3 , f — некоторая непрерывная функция от тора до R 3 это переносит тор во встроенную форму поверхности бублика, с которой начинается анимация; g — некоторая непрерывная функция, которая переводит тор в форму вложенной поверхности кофейной кружки. Анимация показывает изображение h t (X) как функцию параметра t , где t меняется со временем от 0 до 1 в каждом цикле цикла анимации. Он делает паузу, затем показывает изображение, когда t снова меняется от 1 до 0, делает паузу и повторяет этот цикл.

Свойства [ править ]

Непрерывные функции f и g называются гомотопными тогда и только тогда, когда существует гомотопия H, переводящая f в g, как описано выше. Гомотопность — это эквивалентности на множестве всех непрерывных функций от X до Y. отношение Это гомотопическое отношение совместимо с композицией функций в следующем смысле: если f 1 , g 1 : X Y гомотопны и f 2 , g 2 : Y Z гомотопны, то их композиции f 2 f 1 и g 2 g 1 : X Z также гомотопны.

Примеры [ править ]

  • Если даны и , то карта данный является гомотопией между ними.
  • В более общем смысле, если является выпуклым подмножеством евклидова пространства и являются путями с одинаковыми концами, то существует линейная гомотопия [5] (или гомотопия прямой ), заданная формулой
  • Позволять тождественная функция на единичном n - диске ; то есть набор . Позволять быть постоянной функцией который отправляет каждую точку в начало координат . Тогда гомотопией между ними является следующее:

Гомотопическая эквивалентность [ править ]

Учитывая два топологических пространства X и Y , гомотопическая эквивалентность между X и Y представляет собой пару непрерывных отображений f : X Y и g : Y X , таких, что g f гомотопно тождественному отображению id X и f g. гомотопен id Y . Если такая пара существует, то X и Y называются гомотопически эквивалентными или принадлежащими к одному и тому же гомотопическому типу . Интуитивно понятно, что два пространства X и Y гомотопически эквивалентны, если их можно преобразовать друг в друга посредством операций сгибания, сжатия и расширения. Пространства, гомотопически эквивалентные точке, называются стягиваемыми .

эквивалентность гомеоморфизма против Гомотопическая

Гомеоморфизм (не только гомотопно — это частный случай гомотопической эквивалентности, в котором g f равно тождественному отображению id X ему), а f g равно id Y . [6] : 0:53:00  Следовательно, если X и Y гомеоморфны, то они гомотопически эквивалентны, но обратное неверно. Некоторые примеры:

  • Сплошной диск гомотопически эквивалентен одной точке, поскольку вы можете непрерывно деформировать диск вдоль радиальных линий до одной точки. Однако они не гомеоморфны, поскольку между ними нет биекции (поскольку одно — бесконечное множество, а другое — конечное).
  • Лента Мёбиуса и раскрученная (замкнутая) лента гомотопически эквивалентны, поскольку обе ленты можно непрерывно деформировать в окружность. Но они не гомеоморфны.

Примеры [ править ]

  • Первый пример гомотопической эквивалентности: с точкой, обозначенной . Часть, которую необходимо проверить, — это существование гомотопии. между и , проекция на начало координат. Это можно описать как .
  • Существует гомотопическая эквивалентность между ( 1-сфера ) и .
    • В более общем смысле, .
  • Любой пучок волокон с волокнами гомотопия, эквивалентная точке, имеет гомотопически эквивалентные тотальные и базовые пространства. Это обобщает два предыдущих примера, поскольку представляет собой пучок волокон с волокном .
  • Каждое векторное расслоение представляет собой расслоение с гомотопией слоя, эквивалентной точке.
  • для любого , написав как общее пространство расслоения , затем применив приведенные выше гомотопические эквивалентности.
  • Если подкомплекс комплекса ХО стягиваемо, то факторпространство гомотопически эквивалентен . [7]
  • Деформационная ретракция является гомотопической эквивалентностью.

Нуль-гомотопия [ править ]

Функция называется нуль-гомотопной, если она гомотопна постоянной функции. (гомотопия из к постоянной функции иногда называют нуль-гомотопией .) Например, отображение из единичного круга в любое пространство является нуль-гомотопным именно тогда, когда его можно непрерывно продолжить до отображения единичного круга к это согласуется с на границе.

Из этих определений следует, что пространство стягиваемо тогда и только тогда, когда тождественное отображение из самому себе, что всегда является гомотопической эквивалентностью, является нуль-гомотопным.

Инвариантность [ править ]

Гомотопическая эквивалентность важна, поскольку в алгебраической топологии многие понятия гомотопически инвариантны , то есть соблюдают отношение гомотопической эквивалентности. Например, если X и Y — гомотопически эквивалентные пространства, то:

  • X тогда линейно связен и только тогда, когда Y таков.
  • X односвязен тогда и только тогда, когда Y односвязен.
  • Особые) гомологий и когомологий X Y и группы изоморфны ( .
  • Если X и Y линейно связны, то группы фундаментальные X и Y изоморфны, как и высшие гомотопические группы . (Без предположения о линейной связности имеем π 1 ( X , x 0 ) изоморфно π 1 ( Y , f ( x 0 )), где f : X Y — гомотопическая эквивалентность и x 0 X .)

Примером алгебраического инварианта топологических пространств, который не является гомотопически-инвариантным, являются гомологии с компактным носителем (которые, грубо говоря, являются гомологиями компактификации , а компактификация не гомотопически-инвариантна).

Варианты [ править ]

гомотопия Относительная

Чтобы определить фундаментальную группу , необходимо понятие гомотопии относительно подпространства . Это гомотопии, которые сохраняют элементы подпространства фиксированными. Формально: если f и g — непрерывные отображения из X в Y , а K подмножество X K , то мы говорим, что f и g гомотопны относительно , если существует гомотопия H : X × [0, 1] → Y между f и g такие, что H ( k , t ) = f ( k ) = g ( k ) для всех k K и t ∈ [0, 1]. Кроме того, если g ретракция от X к K а f тождественное отображение, это называется ретрактом сильной деформации X , к K. — Когда K — точка, термин «точечная гомотопия» используется .

Изотопия [ править ]

Неузел поскольку не эквивалентен узлу-трилистнику, один из них не может быть деформирован в другой посредством непрерывного пути гомеоморфизмов объемлющего пространства. Таким образом, они не являются изотопными.

Когда две заданные непрерывные функции f и g из топологического пространства X в топологическое пространство Y являются вложениями , можно задаться вопросом, можно ли их соединить «через вложения». Это порождает концепцию изотопии , которая является гомотопией H в использованных ранее обозначениях, такой, что для каждого фиксированного H t ( x , t ) дает вложение. [8]

Близкая, но другая концепция — это концепция изотопии окружающей среды .

Требование изотопности двух вложений является более сильным требованием, чем их гомотопность. Например, отображение интервала [−1, 1] в действительные числа, определяемые формулой f ( x ) = − x, изотопно не тождеству g ( x ) = x . Любая гомотопия от f до тождества должна была бы поменять местами конечные точки, а это означало бы, что им придется «проходить» друг через друга. Более того, f изменил ориентацию интервала, а g — нет, что невозможно при изотопии. Однако отображения гомотопны; одна гомотопия от f до единицы равна H : [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1], заданная формулой H ( x , y ) = 2 yx x .

Два гомеоморфизма (которые являются частными случаями вложений) единичного шара, которые совпадают на границе, можно показать как изотопные, используя прием Александера . По этой причине отображение единичного круга в R 2 определенный как f ( x , y ) = (− x , − y на 180 градусов ), изотопен повороту вокруг начала координат, и поэтому тождественная карта и f изотопны, поскольку их можно соединить поворотами.

В геометрической топологии — например, в теории узлов — идея изотопии используется для построения отношений эквивалентности. Например, когда два узла следует считать одинаковыми? Возьмем два узла К 1 и К 2 в трехмерном пространстве . Узел — это вложение одномерного пространства, «петли струны» (или круга) в это пространство, и это вложение дает гомеоморфизм между кругом и его образом в пространстве вложения. Интуитивная идея, лежащая в основе понятия эквивалентности узла, заключается в том, что можно деформировать одно вложение в другое посредством пути вложений: непрерывная функция, начинающаяся в момент t = 0, дающая вложение K 1 , заканчивающаяся в момент t = 1, давая вложение K 2 , с все промежуточные значения, соответствующие вложениям. Это соответствует определению изотопии. Окружающая изотопия , изучаемая в этом контексте, представляет собой изотопию большего пространства, рассматриваемую в свете ее воздействия на вложенное подмногообразие. Узлы K 1 и K 2 считаются эквивалентными, когда существует окружающая изотопия, которая движется от К 1 до К 2 . Это подходящее определение в топологической категории.

Похожий язык используется для эквивалентного понятия в контекстах, где существует более строгое понятие эквивалентности. Например, путь между двумя гладкими вложениями является гладкой изотопией .

Времениподобная гомотопия [ править ]

На лоренцевом многообразии некоторые кривые выделяются как времениподобные (представляющие что-то, что движется только вперед, а не назад, во времени, в каждой локальной системе отсчета). Времениподобная гомотопия между двумя времениподобными кривыми — это гомотопия, в которой кривая остается времениподобной при непрерывном переходе от одной кривой к другой. Никакая замкнутая времяподобная кривая (CTC) на лоренцевом многообразии не является времениподобной гомотопной точке (т. е. нулевой времениподобной гомотопной); поэтому такое многообразие называется многосвязным времениподобными кривыми. Многообразие, такое как 3-сфера, может быть просто связно (кривой любого типа), но при этом быть времениподобным многосвязным . [9]

Свойства [ править ]

Свойства подъема и расширения [ править ]

Если у нас есть гомотопия H : X × [0,1] → Y и покрытие p : Y Y и дано отображение h 0 : X Y такое, что H 0 = p h 0 ( h 0 называется подъем × h 0 : ), то мы можем поднять все H до отображения H X [0, 1] → Y такого, p что H = H . Свойство гомотопического подъема используется для характеристики расслоений .

Еще одно полезное свойство, связанное с гомотопией, — это свойство расширения гомотопии .которое характеризует расширение гомотопии между двумя функциями из подмножества некоторого множества до самого этого множества. Это полезно при работе с кофибрациями .

Группы [ править ]

Поскольку связь двух функций будучи гомотопным относительно подпространства, является отношением эквивалентности, мы можем рассмотреть классы эквивалентности отображений между фиксированными X и Y . Если мы исправим , единичный интервал [0, 1] пересекся сам с собой n раз, и возьмем его границу как подпространство, то классы эквивалентности образуют группу, обозначаемую , где находится в образе подпространства .

Мы можем определить действие одного класса эквивалентности на другой, и таким образом мы получим группу. Эти группы называются гомотопическими группами . В случае , ее еще называют фундаментальной группой .

Категория гомотопии [ править ]

Идею гомотопии можно превратить в формальную категорию теории категорий . Гомотопическая категория — это категория, объектами которой являются топологические пространства, а морфизмами — классы гомотопической эквивалентности непрерывных отображений. Два топологических пространства X и Y изоморфны в этой категории тогда и только тогда, когда они гомотопически эквивалентны. Тогда функтор в категории топологических пространств гомотопически инвариантен, если его можно выразить как функтор в гомотопической категории.

Например, группы гомологий являются функториальными гомотопическими инвариантами: это означает, что если f и g из X в Y гомотопны, то групповые гомоморфизмы, индуцированные f и g на уровне групп гомологий, одинаковы: H n ( f ) = ЧАС п ( г ) : ЧАС п ( Икс ) → ЧАС п ( Y ) для всех n . Аналогично, если X и Y дополнительно связаны путями и гомотопия между f и g указана, то групповые гомоморфизмы, индуцированные f и g на уровне гомотопических групп, также одинаковы: π n ( f ) = π n ( г ) : π п ( Икс ) → π п ( Y ).

Приложения [ править ]

На основе концепции гомотопии методы вычисления алгебраических . и дифференциальных уравнений разработаны К методам решения алгебраических уравнений относится гомотопического продолжения. метод [10] и метод продолжения (см. числовое продолжение ). К методам дифференциальных уравнений относится метод гомотопического анализа .

Теорию гомотопии можно использовать в качестве основы теории гомологий : можно представить функтор когомологий в пространстве X путем отображения X в подходящее фиксированное пространство с точностью до гомотопической эквивалентности. Например, для любой абелевой группы G и любого основанного CW-комплекса X множество базовых гомотопических классов базовых отображений из X в пространство Эйленберга – Маклейна находится в естественной биекции с n когомологий сингулярной группой пространства X. ​Говорят, что омега-спектры пространств Эйленберга-Маклейна представляют собой пространства сингулярных когомологий с коэффициентами из G .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ «Определение и значение гомотопии» . Проверено 22 апреля 2022 г.
  2. ^ «Обсуждается гомотопическая теория типов — компьютерофил» . Ютуб . Проверено 22 апреля 2022 г.
  3. ^ «Гомотопия | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 17 августа 2019 г.
  4. ^ «Алгебраическая топология - Гомотопия путей и отдельно непрерывные функции» . Математический обмен стеками .
  5. ^ Аллен., Хэтчер (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 185. ИСБН  9780521795401 . OCLC   45420394 .
  6. ^ Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine : Альбин, Пьер (2019). «История алгебраической топологии» . Ютуб .
  7. ^ Аллен., Хэтчер (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 11. ISBN  9780521795401 . OCLC   45420394 .
  8. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Изотопия» . Математический мир .
  9. ^ Монро, Хантер (1 ноября 2008 г.). «Нежелательны ли нарушения причинно-следственной связи?». Основы физики . 38 (11): 1065–1069. arXiv : gr-qc/0609054 . Бибкод : 2008FoPh...38.1065M . дои : 10.1007/s10701-008-9254-9 . ISSN   0015-9018 . S2CID   119707350 .
  10. ^ Аллговер, Э.Л. (2003). Введение в методы численного продолжения . Курт Георг. Филадельфия: СИАМ. ISBN  0-89871-544-Х . OCLC   52377653 .

Источники [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 68263cc0201efd1efd886bc3ab8bfc57__1707678120
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/68/57/68263cc0201efd1efd886bc3ab8bfc57.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Homotopy - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)