Гомотопия
В топологии , разделе математики , две непрерывные функции из одного топологического пространства в другое называются гомотопными (от древнегреческого : ὁμός homós «одинаковый, подобный» и τόπος tópos «место»), если одна из них может «непрерывно деформироваться» в другую. , такая деформация называется гомотопией ( / h ə ˈ m ɒ t ə p iː / , [1] да- МО -те-пи ; / ˈ h oʊ m oʊ ˌ to oʊ p iː / , [2] HOH -moh-toh-pee ) между двумя функциями. Заметным применением гомотопии является определение гомотопических групп и когомотопических групп , важных инвариантов в алгебраической топологии . [3]
На практике возникают технические трудности при использовании гомотопий с определенными пространствами. Алгебраические топологи работают с компактно сгенерированными пространствами , комплексами CW или спектрами .
Формальное определение [ править ]
Формально, гомотопия между двумя непрерывными функциями f и g из a топологическое пространство X в топологическое пространство Y определяется как непрерывная функция от произведения пространства X с единичным интервалом [0, 1] на Y такое, что и для всех .
Если мы подумаем о втором параметре H : в момент 0 у нас как о времени, то H описывает непрерывную деформацию f , а в момент 1 в g есть функция f у нас есть функция g . Мы также можем думать о втором параметре как о «ползунке», который позволяет нам плавно переходить от f к g при перемещении ползунка от 0 к 1 и наоборот.
Альтернативное обозначение состоит в том, что гомотопия между двумя непрерывными функциями представляет собой семейство непрерывных функций для такой, что и и карта является непрерывным от к . Обе версии совпадают, установив . Недостаточно требовать каждую карту быть непрерывным. [4]
зацикленная вверху справа, представляет собой пример гомотопии между двумя вложениями Анимация , f и g тора в R. 3 . X — тор, Y — R 3 , f — некоторая непрерывная функция от тора до R 3 это переносит тор во встроенную форму поверхности бублика, с которой начинается анимация; g — некоторая непрерывная функция, которая переводит тор в форму вложенной поверхности кофейной кружки. Анимация показывает изображение h t (X) как функцию параметра t , где t меняется со временем от 0 до 1 в каждом цикле цикла анимации. Он делает паузу, затем показывает изображение, когда t снова меняется от 1 до 0, делает паузу и повторяет этот цикл.
Свойства [ править ]
Непрерывные функции f и g называются гомотопными тогда и только тогда, когда существует гомотопия H, переводящая f в g, как описано выше. Гомотопность — это эквивалентности на множестве всех непрерывных функций от X до Y. отношение Это гомотопическое отношение совместимо с композицией функций в следующем смысле: если f 1 , g 1 : X → Y гомотопны и f 2 , g 2 : Y → Z гомотопны, то их композиции f 2 ∘ f 1 и g 2 ∘ g 1 : X → Z также гомотопны.
Примеры [ править ]
- Если даны и , то карта данный является гомотопией между ними.
- В более общем смысле, если является выпуклым подмножеством евклидова пространства и являются путями с одинаковыми концами, то существует линейная гомотопия [5] (или гомотопия прямой ), заданная формулой
- Позволять — тождественная функция на единичном n - диске ; то есть набор . Позволять быть постоянной функцией который отправляет каждую точку в начало координат . Тогда гомотопией между ними является следующее:
Гомотопическая эквивалентность [ править ]
Учитывая два топологических пространства X и Y , гомотопическая эквивалентность между X и Y представляет собой пару непрерывных отображений f : X → Y и g : Y → X , таких, что g ∘ f гомотопно тождественному отображению id X и f ∘ g. гомотопен id Y . Если такая пара существует, то X и Y называются гомотопически эквивалентными или принадлежащими к одному и тому же гомотопическому типу . Интуитивно понятно, что два пространства X и Y гомотопически эквивалентны, если их можно преобразовать друг в друга посредством операций сгибания, сжатия и расширения. Пространства, гомотопически эквивалентные точке, называются стягиваемыми .
эквивалентность гомеоморфизма против Гомотопическая
Гомеоморфизм (не только гомотопно — это частный случай гомотопической эквивалентности, в котором g ∘ f равно тождественному отображению id X ему), а f ∘ g равно id Y . [6] : 0:53:00 Следовательно, если X и Y гомеоморфны, то они гомотопически эквивалентны, но обратное неверно. Некоторые примеры:
- Сплошной диск гомотопически эквивалентен одной точке, поскольку вы можете непрерывно деформировать диск вдоль радиальных линий до одной точки. Однако они не гомеоморфны, поскольку между ними нет биекции (поскольку одно — бесконечное множество, а другое — конечное).
- Лента Мёбиуса и раскрученная (замкнутая) лента гомотопически эквивалентны, поскольку обе ленты можно непрерывно деформировать в окружность. Но они не гомеоморфны.
Примеры [ править ]
- Первый пример гомотопической эквивалентности: с точкой, обозначенной . Часть, которую необходимо проверить, — это существование гомотопии. между и , проекция на начало координат. Это можно описать как .
- Существует гомотопическая эквивалентность между ( 1-сфера ) и .
- В более общем смысле, .
- Любой пучок волокон с волокнами гомотопия, эквивалентная точке, имеет гомотопически эквивалентные тотальные и базовые пространства. Это обобщает два предыдущих примера, поскольку представляет собой пучок волокон с волокном .
- Каждое векторное расслоение представляет собой расслоение с гомотопией слоя, эквивалентной точке.
- для любого , написав как общее пространство расслоения , затем применив приведенные выше гомотопические эквивалентности.
- Если подкомплекс комплекса ХО стягиваемо, то факторпространство гомотопически эквивалентен . [7]
- Деформационная ретракция является гомотопической эквивалентностью.
Нуль-гомотопия [ править ]
Функция называется нуль-гомотопной, если она гомотопна постоянной функции. (гомотопия из к постоянной функции иногда называют нуль-гомотопией .) Например, отображение из единичного круга в любое пространство является нуль-гомотопным именно тогда, когда его можно непрерывно продолжить до отображения единичного круга к это согласуется с на границе.
Из этих определений следует, что пространство стягиваемо тогда и только тогда, когда тождественное отображение из самому себе, что всегда является гомотопической эквивалентностью, является нуль-гомотопным.
Инвариантность [ править ]
Гомотопическая эквивалентность важна, поскольку в алгебраической топологии многие понятия гомотопически инвариантны , то есть соблюдают отношение гомотопической эквивалентности. Например, если X и Y — гомотопически эквивалентные пространства, то:
- X тогда линейно связен и только тогда, когда Y таков.
- X односвязен тогда и только тогда, когда Y односвязен.
- Особые) гомологий и когомологий X Y и группы изоморфны ( .
- Если X и Y линейно связны, то группы фундаментальные X и Y изоморфны, как и высшие гомотопические группы . (Без предположения о линейной связности имеем π 1 ( X , x 0 ) изоморфно π 1 ( Y , f ( x 0 )), где f : X → Y — гомотопическая эквивалентность и x 0 ∈ X .)
Примером алгебраического инварианта топологических пространств, который не является гомотопически-инвариантным, являются гомологии с компактным носителем (которые, грубо говоря, являются гомологиями компактификации , а компактификация не гомотопически-инвариантна).
Варианты [ править ]
гомотопия Относительная
Чтобы определить фундаментальную группу , необходимо понятие гомотопии относительно подпространства . Это гомотопии, которые сохраняют элементы подпространства фиксированными. Формально: если f и g — непрерывные отображения из X в Y , а K — подмножество X K , то мы говорим, что f и g гомотопны относительно , если существует гомотопия H : X × [0, 1] → Y между f и g такие, что H ( k , t ) = f ( k ) = g ( k ) для всех k ∈ K и t ∈ [0, 1]. Кроме того, если g — ретракция от X к K а f тождественное отображение, это называется ретрактом сильной деформации X , к K. — Когда K — точка, термин «точечная гомотопия» используется .
Изотопия [ править ]
Когда две заданные непрерывные функции f и g из топологического пространства X в топологическое пространство Y являются вложениями , можно задаться вопросом, можно ли их соединить «через вложения». Это порождает концепцию изотопии , которая является гомотопией H в использованных ранее обозначениях, такой, что для каждого фиксированного H t ( x , t ) дает вложение. [8]
Близкая, но другая концепция — это концепция изотопии окружающей среды .
Требование изотопности двух вложений является более сильным требованием, чем их гомотопность. Например, отображение интервала [−1, 1] в действительные числа, определяемые формулой f ( x ) = − x, изотопно не тождеству g ( x ) = x . Любая гомотопия от f до тождества должна была бы поменять местами конечные точки, а это означало бы, что им придется «проходить» друг через друга. Более того, f изменил ориентацию интервала, а g — нет, что невозможно при изотопии. Однако отображения гомотопны; одна гомотопия от f до единицы равна H : [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1], заданная формулой H ( x , y ) = 2 yx − x .
Два гомеоморфизма (которые являются частными случаями вложений) единичного шара, которые совпадают на границе, можно показать как изотопные, используя прием Александера . По этой причине отображение единичного круга в R 2 определенный как f ( x , y ) = (− x , − y на 180 градусов ), изотопен повороту вокруг начала координат, и поэтому тождественная карта и f изотопны, поскольку их можно соединить поворотами.
В геометрической топологии — например, в теории узлов — идея изотопии используется для построения отношений эквивалентности. Например, когда два узла следует считать одинаковыми? Возьмем два узла К 1 и К 2 в трехмерном пространстве . Узел — это вложение одномерного пространства, «петли струны» (или круга) в это пространство, и это вложение дает гомеоморфизм между кругом и его образом в пространстве вложения. Интуитивная идея, лежащая в основе понятия эквивалентности узла, заключается в том, что можно деформировать одно вложение в другое посредством пути вложений: непрерывная функция, начинающаяся в момент t = 0, дающая вложение K 1 , заканчивающаяся в момент t = 1, давая вложение K 2 , с все промежуточные значения, соответствующие вложениям. Это соответствует определению изотопии. Окружающая изотопия , изучаемая в этом контексте, представляет собой изотопию большего пространства, рассматриваемую в свете ее воздействия на вложенное подмногообразие. Узлы K 1 и K 2 считаются эквивалентными, когда существует окружающая изотопия, которая движется от К 1 до К 2 . Это подходящее определение в топологической категории.
Похожий язык используется для эквивалентного понятия в контекстах, где существует более строгое понятие эквивалентности. Например, путь между двумя гладкими вложениями является гладкой изотопией .
Времениподобная гомотопия [ править ]
На лоренцевом многообразии некоторые кривые выделяются как времениподобные (представляющие что-то, что движется только вперед, а не назад, во времени, в каждой локальной системе отсчета). Времениподобная гомотопия между двумя времениподобными кривыми — это гомотопия, в которой кривая остается времениподобной при непрерывном переходе от одной кривой к другой. Никакая замкнутая времяподобная кривая (CTC) на лоренцевом многообразии не является времениподобной гомотопной точке (т. е. нулевой времениподобной гомотопной); поэтому такое многообразие называется многосвязным времениподобными кривыми. Многообразие, такое как 3-сфера, может быть просто связно (кривой любого типа), но при этом быть времениподобным многосвязным . [9]
Свойства [ править ]
Свойства подъема и расширения [ править ]
Если у нас есть гомотопия H : X × [0,1] → Y и покрытие p : Y → Y и дано отображение h 0 : X → Y такое, что H 0 = p ○ h 0 ( h 0 называется подъем × h 0 : ), то мы можем поднять все H до отображения H ○ X [0, 1] → Y такого, p что H = H . Свойство гомотопического подъема используется для характеристики расслоений .
Еще одно полезное свойство, связанное с гомотопией, — это свойство расширения гомотопии .которое характеризует расширение гомотопии между двумя функциями из подмножества некоторого множества до самого этого множества. Это полезно при работе с кофибрациями .
Группы [ править ]
Поскольку связь двух функций будучи гомотопным относительно подпространства, является отношением эквивалентности, мы можем рассмотреть классы эквивалентности отображений между фиксированными X и Y . Если мы исправим , единичный интервал [0, 1] пересекся сам с собой n раз, и возьмем его границу как подпространство, то классы эквивалентности образуют группу, обозначаемую , где находится в образе подпространства .
Мы можем определить действие одного класса эквивалентности на другой, и таким образом мы получим группу. Эти группы называются гомотопическими группами . В случае , ее еще называют фундаментальной группой .
Категория гомотопии [ править ]
Идею гомотопии можно превратить в формальную категорию теории категорий . Гомотопическая категория — это категория, объектами которой являются топологические пространства, а морфизмами — классы гомотопической эквивалентности непрерывных отображений. Два топологических пространства X и Y изоморфны в этой категории тогда и только тогда, когда они гомотопически эквивалентны. Тогда функтор в категории топологических пространств гомотопически инвариантен, если его можно выразить как функтор в гомотопической категории.
Например, группы гомологий являются функториальными гомотопическими инвариантами: это означает, что если f и g из X в Y гомотопны, то групповые гомоморфизмы, индуцированные f и g на уровне групп гомологий, одинаковы: H n ( f ) = ЧАС п ( г ) : ЧАС п ( Икс ) → ЧАС п ( Y ) для всех n . Аналогично, если X и Y дополнительно связаны путями и гомотопия между f и g указана, то групповые гомоморфизмы, индуцированные f и g на уровне гомотопических групп, также одинаковы: π n ( f ) = π n ( г ) : π п ( Икс ) → π п ( Y ).
Приложения [ править ]
На основе концепции гомотопии методы вычисления алгебраических . и дифференциальных уравнений разработаны К методам решения алгебраических уравнений относится гомотопического продолжения. метод [10] и метод продолжения (см. числовое продолжение ). К методам дифференциальных уравнений относится метод гомотопического анализа .
Теорию гомотопии можно использовать в качестве основы теории гомологий : можно представить функтор когомологий в пространстве X путем отображения X в подходящее фиксированное пространство с точностью до гомотопической эквивалентности. Например, для любой абелевой группы G и любого основанного CW-комплекса X множество базовых гомотопических классов базовых отображений из X в пространство Эйленберга – Маклейна находится в естественной биекции с n -й когомологий сингулярной группой пространства X. Говорят, что омега-спектры пространств Эйленберга-Маклейна представляют собой пространства сингулярных когомологий с коэффициентами из G .
См. также [ править ]
- Слоистая гомотопическая эквивалентность (относительная версия гомотопической эквивалентности)
- Гомеотопия
- Теория гомотопических типов
- Группа классов сопоставления
- Гипотеза Пуанкаре
- Регулярная гомотопия
Ссылки [ править ]
- ^ «Определение и значение гомотопии» . Проверено 22 апреля 2022 г.
- ^ «Обсуждается гомотопическая теория типов — компьютерофил» . Ютуб . Проверено 22 апреля 2022 г.
- ^ «Гомотопия | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 17 августа 2019 г.
- ^ «Алгебраическая топология - Гомотопия путей и отдельно непрерывные функции» . Математический обмен стеками .
- ^ Аллен., Хэтчер (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 185. ИСБН 9780521795401 . OCLC 45420394 .
- ^ Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine : Альбин, Пьер (2019). «История алгебраической топологии» . Ютуб .
- ^ Аллен., Хэтчер (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 11. ISBN 9780521795401 . OCLC 45420394 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Изотопия» . Математический мир .
- ^ Монро, Хантер (1 ноября 2008 г.). «Нежелательны ли нарушения причинно-следственной связи?». Основы физики . 38 (11): 1065–1069. arXiv : gr-qc/0609054 . Бибкод : 2008FoPh...38.1065M . дои : 10.1007/s10701-008-9254-9 . ISSN 0015-9018 . S2CID 119707350 .
- ^ Аллговер, Э.Л. (2003). Введение в методы численного продолжения . Курт Георг. Филадельфия: СИАМ. ISBN 0-89871-544-Х . OCLC 52377653 .
Источники [ править ]
- Армстронг, Массачусетс (1979). Базовая топология . Спрингер. ISBN 978-0-387-90839-7 .
- «Гомотопия» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- «Изотопия (в топологии)» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Спаниер, Эдвин (декабрь 1994 г.). Алгебраическая топология . Спрингер. ISBN 978-0-387-94426-5 .