Расслоение

Понятие расслоения обобщает понятие расслоения и играет важную роль в алгебраической топологии — разделе математики.

Расслоения используются, например, в системах Постникова или теории препятствий .

В этой статье все отображения являются непрерывными отображениями между топологическими пространствами .

Формальные определения

Свойство подъема гомотопии

Отображение $p\colon E\to B$ удовлетворяет свойству гомотопического подъема пространства $X$ если:

• для каждой гомотопии $h\colon X\times [0,1]\to B$ и
• для каждого отображения (также называемого лифтом) ${\tilde {h}}_{0}\colon X\to E$ подъем $h|_{X\times 0}=h_{0}$ (т.е. $h_{0}=p\circ {\tilde {h}}_{0}$)

существует (не обязательно единственная) гомотопия ${\tilde {h}}\colon X\times [0,1]\to E$ подъем $h$ (т.е. $h=p\circ {\tilde {h}}$) с ${\tilde {h}}_{0}={\tilde {h}}|_{X\times 0}.$

Следующая коммутативная диаграмма показывает ситуацию:

Расслоение

Расслоение (также называемое расслоением Гуревича) — это отображение $p\colon E\to B$ удовлетворяющее свойству гомотопического подъема для всех пространств $X.$ Пространство $B$ называется базовым пространством , а пространство $E$ называется полным пространством . Волокно над $b\in B$ это подпространство $F_{b}=p^{-1}(b)\subseteq E.$

Фибрационная теплица

Расслоение Серра (также называемое слабым расслоением) — это отображение $p\colon E\to B$ удовлетворяющее свойству гомотопического подъема для всех CW-комплексов .

Каждое расслоение Гуревича является расслоением Серра.

Квазирасслоение

Отображение $p\colon E\to B$ называется квазирасслоением , если для любого $b\in B,$ $e\in p^{-1}(b)$ и $i\geq 0$ справедливо, что индуцированное отображение $p_{*}\colon \pi _{i}(E,p^{-1}(b),e)\to \pi _{i}(B,b)$ является изоморфизмом .

Каждое расслоение Серра является квазирасслоением.

Примеры

• Проекция фактор на первый $p\colon B\times F\to B$ является расслоением. То есть тривиальные расслоения являются расслоениями.
• Каждое покрытие $p\colon E\to B$ является расслоением. В частности, для каждой гомотопии $h\colon X\times [0,1]\to B$ и каждый лифт ${\tilde {h}}_{0}\colon X\to E$ существует однозначно определенный лифт ${\tilde {h}}\colon X\times [0,1]\to E$ с $p\circ {\tilde {h}}=h.$
• Каждый пучок волокон $p\colon E\to B$ удовлетворяет свойству гомотопического подъема для каждого CW-комплекса.
• Расслоение с паракомпактным и хаусдорфовым базовым пространством удовлетворяет свойству гомотопического подъема для всех пространств.
• Примером расслоения, не являющегося расслоением, является отображение $i^{*}\colon X^{I^{k}}\to X^{\partial I^{k}}$ индуцированное включением $i\colon \partial I^{k}\to I^{k}$ где $k\in \mathbb {N} ,$ $X$ топологическое пространство и $X^{A}=\{f\colon A\to X\}$ — пространство всех непрерывных отображений с компактно-открытой топологией .
• Расслоение Хопфа $S^{1}\to S^{3}\to S^{2}$ является нетривиальным расслоением и, в частности, расслоением Серра.

Основные понятия

волокон

Отображение $f\colon E_{1}\to E_{2}$ между тотальными пространствами двух расслоений $p_{1}\colon E_{1}\to B$ и $p_{2}\colon E_{2}\to B$ с той же базой является гомоморфизмом расслоения, если коммутирует следующая диаграмма:

Отображение $f$ является послойной гомотопической эквивалентностью , если, кроме того, существует гомоморфизм расслоений $g\colon E_{2}\to E_{1}$ существует такое, что отображения $f\circ g$ и $g\circ f$ гомотопны в силу гомоморфизмов расслоений тождествам $\operatorname {Id} _{E_{2}}$ и $\operatorname {Id} _{E_{1}}.$

Расслоение обратного расслоения

Учитывая расслоение $p\colon E\to B$ и отображение $f\colon A\to B$, отображение $p_{f}\colon f^{*}(E)\to A$ является расслоением, где $f^{*}(E)=\{(a,e)\in A\times E|f(a)=p(e)\}$ это откат и проекции $f^{*}(E)$ на $A$ и $E$ получим следующую коммутативную диаграмму:

Расслоение $p_{f}$ называется расслоением обратного расслоения или индуцированным расслоением.

Расслоение пространства путей

С помощью конструкции пространства путей любое непрерывное отображение можно расширить до расслоения, расширив его область определения до гомотопически эквивалентного пространства. Это расслоение называется расслоением пространства путей .

Общая площадь $E_{f}$ расслоения пространства путей для непрерывного отображения $f\colon A\to B$ между топологическими пространствами состоит из пар $(a,\gamma )$ с $a\in A$ и пути $\gamma \colon I\to B$ с отправной точкой $\gamma (0)=f(a),$ где $I=[0,1]$ это единичный интервал . Пространство $E_{f}=\{(a,\gamma )\in A\times B^{I}|\gamma (0)=f(a)\}$ несет подпространства топологию $A\times B^{I},$ где $B^{I}$ описывает пространство всех отображений $I\to B$ и несет компактно-открытую топологию .

Расслоение пространства путей задается отображением $p\colon E_{f}\to B$ с $p(a,\gamma )=\gamma (1).$ Волокно $F_{f}$ также называется слоем гомотопическим $f$ и состоит из пар $(a,\gamma )$ с $a\in A$ и пути $\gamma \colon [0,1]\to B,$ где $\gamma (0)=f(a)$ и $\gamma (1)=b_{0}\in B$ держит.

Для частного случая включения базовой точки $i\colon b_{0}\to B$, возникает важный пример расслоения пространства путей. Общая площадь $E_{i}$ состоит из всех путей в $B$ который начинается в $b_{0}.$ Это пространство обозначается $PB$ и называется пространством путей. Расслоение пространства путей $p\colon PB\to B$ отображает каждый путь в его конечную точку, следовательно, волокно $p^{-1}(b_{0})$ состоит из всех замкнутых путей. Волокно обозначается $\Omega B$ и называется пространством петли .

Свойства

• Волокна $p^{-1}(b)$ над $b\in B$ для гомотопически эквивалентны каждой пути компоненты $B.$
• Для гомотопии $f\colon [0,1]\times A\to B$ обратные расслоения $f_{0}^{*}(E)\to A$ и $f_{1}^{*}(E)\to A$ являются слоями гомотопически эквивалентными.
• Если базовое пространство $B$ стягиваемо , то расслоение $p\colon E\to B$ является гомотопическим расслоением слоя, эквивалентным расслоению произведения $B\times F\to B.$
• Расслоение пространства путей расслоения $p\colon E\to B$ очень похож на себя. Точнее, включение $E\hookrightarrow E_{p}$ является послойной гомотопической эквивалентностью.
• Для расслоения $p\colon E\to B$ с волокном $F$ и стягиваемом тотальном пространстве существует слабая гомотопическая эквивалентность $F\to \Omega B.$

Последовательность кукол

Для расслоения $p\colon E\to B$ с волокном $F$ и базовая точка $b_{0}\in B$ включение $F\hookrightarrow F_{p}$ слоя в гомотопический слой есть гомотопическая эквивалентность . Отображение $i\colon F_{p}\to E$ с $i(e,\gamma )=e$, где $e\in E$ и $\gamma \colon I\to B$ это путь из $p(e)$ к $b_{0}$ в базовом пространстве является расслоением. В частности, это расслоение обратного расслоения пространства путей. $PB\to B$. Теперь эту процедуру можно снова применить к расслоению $i$ и так далее. Это приводит к длинной последовательности:

$\cdots \to F_{j}\to F_{i}\xrightarrow {j} F_{p}\xrightarrow {i} E\xrightarrow {p} B.$

Волокно $i$ через точку $e_{0}\in p^{-1}(b_{0})$ состоит из пар $(e_{0},\gamma )$ с закрытыми путями $\gamma$ и отправная точка $b_{0}$, т.е. пространство цикла $\Omega B$. Включение $\Omega B\hookrightarrow F_{p}(\simeq F)$ является гомотопической эквивалентностью, и итерация дает последовательность:

$\cdots \Omega ^{2}B\to \Omega F\to \Omega E\to \Omega B\to F\to E\to B.$

Ввиду двойственности расслоения и корасслоения существует также последовательность корасслоений. Эти две последовательности известны как последовательности Пуппе или последовательности расслоений и кофибраций.

Главное расслоение

Расслоение $p\colon E\to B$ с волокном $F$ называется принципалом , если существует коммутативная диаграмма:

Нижняя строка представляет собой последовательность расслоений, а вертикальные отображения являются слабой гомотопической эквивалентностью. Главные расслоения играют важную роль в башнях Постникова .

последовательность

Для расслоения Серра $p\colon E\to B$ существует длинная точная последовательность гомотопических групп . Для базовых точек $b_{0}\in B$ и $x_{0}\in F=p^{-1}(b_{0})$ это дано:

$\cdots \rightarrow \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(F,x_{0})\rightarrow$$\cdots \rightarrow \pi _{0}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{0}(E,x_{0}).$

Гомоморфизмы ​ $\pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})$ и $\pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})$ являются индуцированными гомоморфизмами включения $i\colon F\hookrightarrow E$ и проекция $p\colon E\rightarrow B.$

Расслоение Хопфа

Расслоения Хопфа — это семейство расслоений , слой, полное пространство и базовое пространство которого представляют собой сферы :

$S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1},$

$S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2},$

$S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4},$

$S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}.$

Длинная точная последовательность гомотопических групп расслоения Хопфа $S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}$ дает:

$\cdots \rightarrow \pi _{n}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{2},b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(S^{1},x_{0})\rightarrow$ $\cdots \rightarrow \pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{2},b_{0}).$

Эта последовательность распадается на короткие точные последовательности, так как слой $S^{1}$ в $S^{3}$ стягивается до точки:

$0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \pi _{i-1}(S^{1})\rightarrow 0.$

Эта короткая точная последовательность расщепляется из-за надстройки гомоморфизма $\phi \colon \pi _{i-1}(S^{1})\to \pi _{i}(S^{2})$ и существуют изоморфизмы :

$\pi _{i}(S^{2})\cong \pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).$

Гомотопические группы $\pi _{i-1}(S^{1})$ тривиальны для $i\geq 3,$ поэтому существуют изоморфизмы между $\pi _{i}(S^{2})$ и $\pi _{i}(S^{3})$ для $i\geq 3.$

Аналоговые волокна $S^{3}$ в $S^{7}$ и $S^{7}$ в $S^{15}$ стягиваемы до точки. Далее короткие точные последовательности распадаются и возникают семейства изоморфизмов:

$\pi _{i}(S^{4})\cong \pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3})$ и $\pi _{i}(S^{8})\cong \pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).$

последовательность

Спектральные последовательности являются важными инструментами алгебраической топологии для вычисления групп (ко) гомологий.

Спектральная последовательность Лере -Серра соединяет (ко)гомологии тотального пространства и слоя с (ко)гомологиями базового пространства расслоения. Для расслоения $p\colon E\to B$ с волокном $F,$ где базовое пространство представляет собой связный CW-комплекс, а аддитивная теория гомологии $G_{*}$ существует спектральная последовательность:

$H_{k}(B;G_{q}(F))\cong E_{k,q}^{2}\implies G_{k+q}(E).$

Расслоения не дают длинных точных последовательностей в гомологии, как в гомотопии. Но при определенных условиях расслоения обеспечивают точные гомологические последовательности. Для расслоения $p\colon E\to B$ с волокном $F,$ где базовое пространство и волокно соединены путями , фундаментальная группа $\pi _{1}(B)$ действует тривиально на $H_{*}(F)$ и кроме того условия $H_{p}(B)=0$ для $0<p<m$ и $H_{q}(F)=0$ для $0<q<n$ вернее, существует точная последовательность (также известная под названием точная последовательность Серра):

$H_{m+n-1}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{m+n-1}(E)\xrightarrow {f_{*}} H_{m+n-1}(B)\xrightarrow {\tau } H_{m+n-2}(F)\xrightarrow {i^{*}} \cdots \xrightarrow {f_{*}} H_{1}(B)\to 0.$

Эту последовательность можно использовать, например, для доказательства теоремы Гуревича или для вычисления гомологии пространств петель вида $\Omega S^{n}:$

$H_{k}(\Omega S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &\exists q\in \mathbb {Z} \colon k=q(n-1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.$

Для частного случая расслоения $p\colon E\to S^{n}$ где базовым пространством является $n$-сфера с волокном $F,$ существуют точные последовательности (также называемые последовательностями Ванга ) гомологии и когомологии:

$\cdots \to H_{q}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to H_{q-1}(F)\to \cdots$$\cdots \to H^{q}(E)\xrightarrow {i^{*}} H^{q}(F)\to H^{q-n+1}(F)\to H^{q+1}(E)\to \cdots$

Ориентируемость

Для расслоения $p\colon E\to B$ с волокном $F$ и фиксированное коммутативное кольцо $R$ существует контравариантный функтор фундаментального группоида с единицей , $B$ к категории оцениваемых $R$-модули, которые назначаются $b\in B$ модуль $H_{*}(F_{b},R)$ и к классу пути $[\omega ]$ гомоморфизм $h[\omega ]_{*}\colon H_{*}(F_{\omega (0)},R)\to H_{*}(F_{\omega (1)},R),$ где $h[\omega ]$ является гомотопическим классом в $[F_{\omega (0)},F_{\omega (1)}].$

Расслоение называется ориентируемым над $R$ если для любого замкнутого пути $\omega$ в $B$ имеет место следующее: $h[\omega ]_{*}=1.$

Эйлерова характеристика

Для ориентируемого расслоения $p\colon E\to B$ над полем $\mathbb {K}$ с волокном $F$ и базовое пространство, связанное путями, эйлерова характеристика всего пространства определяется как:

$\chi (E)=\chi (B)\chi (F).$

Здесь эйлеровы характеристики базового пространства и слоя определены над полем $\mathbb {K}$.

См. также

• Приблизительное расслоение