Закон нечетных чисел Галилея

В классической механике и кинематике гласит , закон нечетных чисел Галилея что расстояние, пройденное падающим объектом за последовательные равные промежутки времени, линейно пропорционально нечетным числам. То есть, если падающее из состояния покоя тело за произвольный промежуток времени пройдет определенное расстояние, то за последующие промежутки времени такой же длины оно преодолеет в 3, 5, 7 и т. д. раз это расстояние. Эта математическая модель является точной, если на тело не действуют никакие силы, кроме однородной гравитации (например, оно падает в вакууме в однородном гравитационном поле ). Этот закон был установлен Галилео Галилеем , который первым провел количественные исследования свободного падения .

Объяснение

Использование графика скорости-времени

График на рисунке представляет собой зависимость скорости от времени. Пройденное расстояние – это площадь под линией. Каждый временной интервал окрашен по-разному. Расстояние, пройденное во втором и последующих интервалах, представляет собой площадь его трапеции, которую можно разделить на треугольники, как показано. Поскольку каждый треугольник имеет одинаковое основание и высоту, они имеют ту же площадь, что и треугольник в первом интервале. Можно заметить, что в каждом интервале на два треугольника больше, чем в предыдущем. Поскольку первый интервал имеет один треугольник, это приводит к нечетным числам. ^{[ 1 ]}

Используя сумму первых n нечетных чисел

Из уравнения равномерного линейного ускорения видно пройденное расстояние $s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}$ для начальной скорости $u=0,$ постоянное ускорение $a$ (ускорение силы тяжести без сопротивления воздуха) и прошедшее время $t,$ отсюда следует, что расстояние $s$ пропорционально $t^{2}$ (в символах, $s\propto t^{2}$ ), таким образом, расстояние от начальной точки представляет собой последовательные квадраты для целых значений прошедшего времени. Средняя фигура на диаграмме является наглядным доказательством того, что сумма первых $n$ нечетные числа это $n^{2}.$ ^{[ 2 ]} В уравнениях:

1	= 1	= 1 ²
1 + 3	= 4	= 2 ²
1 + 3 + 5	= 9	= 3 ²
1 + 3 + 5 + 7	= 16	= 4 ²
1 + 3 + 5 + 7 + 9	= 25	= 5 ²

То, что закономерность продолжается вечно, также можно доказать алгебраически: ${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(2\,k-1)&={\frac {1}{2}}\,\left(\sum _{k=1}^{n}(2\,k-1)+\sum _{k=1}^{n}(2\,(n-k+1)-1)\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{n}(2\,(n+1)-1-1)\\&=n^{2}\end{aligned}}$

Для пояснения этого доказательства, поскольку $n$ ^й нечетное положительное целое число $m\,\colon =\,2n-1,$ если $S\,\colon =\,\sum _{k=1}^{n}(2\,k-1)\,=\,1+3+\cdots +(m-2)+m$ обозначает сумму первых $n$ тогда нечетные целые числа ${\begin{alignedat}{4}S+S&=\;\;1&&+\;\;3&&\;+\cdots +(m-2)&&+\;\;m\\&+\;\;m&&+(m-2)&&\;+\cdots +\;\;3&&+\;\;1\\&=\;(m+1)&&+(m+1)&&\;+\cdots +(m+1)&&+(m+1)\quad {\text{ (}}n{\text{ terms)}}\\&=\;n\,(m+1)&&&&&&&&\\\end{alignedat}}$ так что $S={\tfrac {1}{2}}\,n\,(m+1).$ Замена $n={\tfrac {1}{2}}(m+1)$ и $m+1=2\,n$ дает соответственно формулы $1+3+\cdots +m\;=\;{\tfrac {1}{4}}(m+1)^{2}\quad {\text{ and }}\quad 1+3+\cdots +(2\,n-1)\;=\;n^{2}$ где первая формула полностью выражает сумму через нечетное целое число $m$ тогда как второй выражает это полностью в терминах $n,$ который $m$ порядковая позиция в списке нечетных целых чисел $1,3,5,\ldots .$