Линейная функция

Чтобы узнать об использовании этого термина в исчислении, см. Линейную функцию (исчисление) .

В математике термин «линейная функция» относится к двум различным, но связанным понятиям:

• В исчислении и смежных областях линейная функция — это функция которой , график представляет собой прямую линию , то есть полиномиальную функцию . степени нулевой или первой Чтобы отличить такую ​​линейную функцию от другой концепции, термин аффинная функция . часто используют
• В линейной алгебре , математическом анализе , и функционального анализа , линейная функция является линейным отображением .

Как полиномиальная функция

Основная статья: Линейная функция (исчисление)

Графики двух линейных функций.

В исчислении, аналитической геометрии и смежных областях линейная функция представляет собой многочлен первой или меньшей степени, включая нулевой многочлен (последний не считается имеющим нулевую степень).

Когда функция имеет только одну переменную , она имеет вид

$f(x)=ax+b,$

где a и b — константы , часто действительные числа . График . такой функции одной переменной представляет собой невертикальную линию a часто называют наклоном линии, а b - точкой пересечения.

Если a > 0 , то градиент положительный и график имеет наклон вверх.

Если a < 0 , то градиент отрицательный и график имеет наклон вниз.

Для функции $f(x_{1},\ldots ,x_{k})$ любого конечного числа переменных, общая формула имеет вид

$f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},$

и график является гиперплоскостью размерности k .

Постоянная функция также считается линейной в этом контексте, поскольку она представляет собой полином нулевой степени или нулевой полином. Его график при наличии только одной переменной представляет собой горизонтальную линию.

В этом контексте функция, которая также является линейной картой (другое значение), может называться однородной линейной функцией или линейной формой . В контексте линейной алгебры полиномиальные функции степени 0 или 1 представляют собой скалярнозначные аффинные отображения .

В виде линейной карты

Основная статья: Линейная карта

Интеграл функции — это линейное отображение векторного пространства интегрируемых функций в действительные числа.

В линейной алгебре линейная функция — это отображение f между двумя векторными пространствами такое, что

$f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )$

$f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).$

Здесь a обозначает константу, принадлежащую некоторому ( например , полю K скаляров действительных чисел ), а x и y — элементы векторного пространства , которым может быть K. само

Другими словами, линейная функция сохраняет сложение векторов и скалярное умножение .

Некоторые авторы используют «линейную функцию» только для линейных карт, которые принимают значения в скалярном поле; их чаще называют линейными формами .

«Линейные функции» исчисления квалифицируются как «линейные карты», когда (и только когда) f (0, ..., 0) = 0 или, что то же самое, когда константа b равна нулю в приведенном выше многочлене одной степени. Геометрически график функции должен проходить через начало координат.

См. также

• Гомогенная функция
• Нелинейная система
• Кусочно-линейная функция
• Линейное приближение
• Линейная интерполяция
• Прерывистая линейная карта
• Линейный метод наименьших квадратов

Ссылки

• Израиль Моисеевич Гельфанд (1961), Лекции по линейной алгебре , Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк. Перепечатано Дувром, 1989 г. ISBN   0-486-66082-6
• Томас С. Шорс (2007), Прикладная линейная алгебра и матричный анализ , Тексты для студентов по математике , Springer. ISBN   0-387-33195-6
• Джеймс Стюарт (2012), Исчисление: ранние трансценденталии , издание 7E, Брукс/Коул. ISBN   978-0-538-49790-9
• Леонид Н. Васерштейн (2006), «Линейное программирование», в изд. Лесли Хогбена , Справочник по линейной алгебре , дискретной математике и ее приложениям, Чепмен и Холл / CRC, гл. 50. ISBN   1-584-88510-6