Класс Лагерра – Пойи

Класс Лагерра –Пойа — это класс целых функций, состоящий из тех функций, которые локально являются пределом ряда многочленов, все корни которых действительны. Любая функция класса Лагерра–Пойа также принадлежит классу Полиа .

Произведение двух функций в классе также находится в классе, поэтому класс образует моноид при операции умножения функций.

Некоторые свойства функции $E(z)$ в классе Лагерра – Полиа являются:

• Все корни настоящие.
• $|E(x+iy)|=|E(x-iy)|$ для x и y реально.
• $|E(x+iy)|$ является неубывающей функцией для y положительных . y

Функция принадлежит классу Лагерра–Пойа тогда и только тогда, когда выполняются три условия:

• Корни все настоящие.
• Ненулевые нули z _n удовлетворяют

$\sum _{n}{\frac {1}{|z_{n}|^{2}}}$ сходится, при этом нули считаются в соответствии с их кратностью )

• Функцию можно выразить в виде произведения Адамара.

$z^{m}e^{a+bz+cz^{2}}\prod _{n}\left(1-z/z_{n}\right)\exp(z/z_{n})$

где b и c действительные, а c неположительные. (Неотрицательное целое число m будет положительным, если E (0)=0. Обратите внимание: если число нулей бесконечно, возможно, придется определить, как брать бесконечное произведение.)

Примеры

Некоторые примеры: $\sin(z),\cos(z),\exp(z),\exp(-z),{\text{and }}\exp(-z^{2}).$

С другой стороны, $\sinh(z),\cosh(z),{\text{and }}\exp(z^{2})$ относятся не к классу Лагерра–Пойа.

Например,

$\exp(-z^{2})=\lim _{n\to \infty }(1-z^{2}/n)^{n}.$

Косинус можно записать несколькими способами. Вот одна серия многочленов, имеющих все действительные корни:

$\cos z=\lim _{n\to \infty }((1+iz/n)^{n}+(1-iz/n)^{n})/2$

И вот еще:

$\cos z=\lim _{n\to \infty }\prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{((m-{\frac {1}{2}})\pi )^{2}}}\right)$

Это показывает наращивание произведения Адамара для косинуса.

Если мы заменим z ² с z у нас есть еще одна функция в классе:

$\cos {\sqrt {z}}=\lim _{n\to \infty }\prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z}{((m-{\frac {1}{2}})\pi )^{2}}}\right)$

Другой пример — обратная гамма-функция 1/Γ(z). Это предел полиномов следующим образом:

$1/\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n!}}(1-(\ln n)z/n)^{n}\prod _{m=0}^{n}(z+m).$