Средняя длина отрезка

В геометрии средняя длина отрезка линии — это средняя длина отрезка линии, соединяющего две точки, выбранные равномерно случайным образом в данной форме. Другими словами, это ожидаемое евклидово расстояние между двумя случайными точками, при котором каждая точка фигуры может быть выбрана с равной вероятностью.

Даже для простых фигур, таких как квадрат или треугольник, определение точного значения средней длины их отрезков может оказаться затруднительным, поскольку их выражения в замкнутой форме могут оказаться довольно сложными. В качестве примера рассмотрим следующий вопрос:

Каково среднее расстояние между двумя случайно выбранными точками внутри квадрата со стороной 1?

Хотя вопрос может показаться простым, на него есть довольно сложный ответ; точное значение для этого ${\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln(1+{\sqrt {2}})}{15}}$.

Формальное определение

Средняя длина отрезка n - мерной формы S может быть формально определена как ожидаемое евклидово расстояние ||⋅|| между двумя случайными точками x и y ,

$\mathbb {E} [\|x-y\|]={\frac {1}{\lambda (S)^{2}}}\int _{S}\int _{S}\|x-y\|\,d\lambda (x)\,d\lambda (y)$

где λ — n -мерная мера Лебега .

Для двумерного случая это определяется с помощью формулы расстояния для двух точек ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ )

${\frac {1}{\lambda (S)^{2}}}\iint _{S}\iint _{S}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}\,dx_{1}\,dy_{1}\,dx_{2}\,dy_{2}.$

Методы аппроксимации

Метод Монте-Карло для аппроксимации средней длины отрезка единичного квадрата .

Поскольку вычисление средней длины отрезка линии включает в себя вычисление многомерных интегралов, различные методы численного интегрирования для аппроксимации этого значения для любой формы можно использовать .

Одним из таких методов является метод Монте-Карло . Чтобы аппроксимировать среднюю длину отрезка линии заданной формы, внутри него случайным образом выбираются две точки и измеряется расстояние. После нескольких повторений этих шагов среднее значение этих расстояний в конечном итоге приблизится к истинному значению.

Эти методы могут дать только приближение; их нельзя использовать для определения его точного значения.

Формулы

Отрезок линии

Для отрезка длины d среднее расстояние между двумя точками равно 1 / 3 d .

Треугольник

Для треугольника с длинами сторон a , b и c среднее расстояние между двумя точками внутри его определяется формулой

${\frac {4ss_{a}s_{b}s_{c}}{15}}\left[{\frac {1}{a^{3}}}\ln \left({\frac {s}{s_{a}}}\right)+{\frac {1}{b^{3}}}\ln \left({\frac {s}{s_{b}}}\right)+{\frac {1}{c^{3}}}\ln \left({\frac {s}{s_{c}}}\right)\right]+{\frac {a+b+c}{15}}+{\frac {(b+c)(b-c)^{2}}{30a^{2}}}+{\frac {(a+c)(a-c)^{2}}{30b^{2}}}+{\frac {(a+b)(a-b)^{2}}{30c^{2}}},$

где $s=(a+b+c)/2$ полупериметр а , $s_{i}$ обозначает $s-i$.

Для равностороннего треугольника со стороной a это равно

$\left({\frac {4+3\ln 3}{20}}\right)a\approx 0.364791843\ldots a.$

Квадрат и прямоугольники

Среднее расстояние между двумя точками внутри квадрата со стороной s равно

$\left({\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln(1+{\sqrt {2}})}{15}}\right)s\approx 0.521405433\ldots s.$

В более общем смысле, средняя длина отрезка прямоугольника с длинами сторон l и w равна

${\frac {1}{15}}\left[{\frac {l^{3}}{w^{2}}}+{\frac {w^{3}}{l^{2}}}+d\left(3-{\frac {l^{2}}{w^{2}}}-{\frac {w^{2}}{l^{2}}}\right)+{\frac {5}{2}}\left({\frac {w^{2}}{l}}\ln \left({\frac {l+d}{w}}\right)+{\frac {l^{2}}{w}}\ln \left({\frac {w+d}{l}}\right)\right)\right]$

где $d={\sqrt {l^{2}+w^{2}}}$ длина диагонали прямоугольника.

Если вместо этого выбраны две точки, находящиеся на разных сторонах квадрата, среднее расстояние определяется выражением

$\left({\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln(1+{\sqrt {2}})}{9}}\right)s\approx 0.869009\ldots s.$

Куб и гиперкубы

Среднее расстояние между точками внутри n -мерного единичного гиперкуба обозначается Δ( n ) и задается как

$\Delta (n)=\underbrace {\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}} _{2n}{\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}\,dx_{1}\cdots \,dx_{n}\,dy_{1}\cdots \,dy_{n}$

Первые два значения, Δ(1) и Δ(2) относятся к единичному отрезку прямой и единичному квадрату соответственно.

В трехмерном случае средняя длина отрезка единичного куба также известна как константа Роббинса , названная в честь Дэвида П. Роббинса . Эта константа имеет замкнутый вид:

$\Delta (3)={\frac {4+17{\sqrt {2}}-6{\sqrt {3}}-7\pi }{105}}+{\frac {\ln(1+{\sqrt {2}})}{5}}+{\frac {2\ln(2+{\sqrt {3}})}{5}}.$

Его числовое значение составляет примерно 0,661707182... (последовательность A073012 в OEIS )

Андерссон и др. ал. (1976) показали, что ∆( n ) удовлетворяет границам

${\tfrac {1}{3}}n^{1/2}\leq \Delta (n)\leq ({\tfrac {1}{6}}n)^{1/2}{\sqrt {{\frac {1}{3}}\left[1+2\left(1-{\frac {3}{5n}}\right)^{1/2}\right]}}.$

Выбор точек с двух разных граней единичного куба также дает результат замкнутой формы, определяемый формулой:

${\frac {4+17{\sqrt {2}}-6{\sqrt {3}}-7\pi }{75}}+{\frac {7\ln {(1+{\sqrt {2}})}}{25}}+{\frac {14\ln {(2+{\sqrt {3}})}}{25}}.$

Круг и сфера

Средняя длина хорды между точками на окружности радиуса r равна

${\frac {4}{\pi }}r\approx 1.273239544\ldots r$

А выбор точек на поверхности сферы радиуса r — это

${\frac {4}{3}}r$

Диски

Среднее расстояние между точками внутри диска радиуса r равно

${\frac {128}{45\pi }}r\approx 0.905414787\ldots r.$

Значения для половины диска и четверти диска также известны.

Для полудиска радиуса 1:

${\frac {64}{135}}{\frac {12\pi -23}{\pi ^{2}}}\approx 0.706053409\ldots$

Для четверти диска радиуса 1:

${\frac {32}{135\pi ^{2}}}(6\ln {(2{\sqrt {2}}-2)}-94{\sqrt {2}}+48\pi +3)\approx 0.473877262\ldots$

Шары

Для трехмерного шара это

${\frac {36}{35}}r\approx 1.028571428\ldots r.$

В более общем смысле, средняя длина отрезка n -шара равна

${\frac {2n}{2n+1}}\beta _{n}r$

где β _n зависит от четности n ,

$\beta _{n}={\begin{cases}{\dfrac {2^{3n+1}\,(n/2)!^{2}\,n!}{(n+1)\,(2n)!\,\pi }}&({\text{for even }}n)\\{\dfrac {2^{n+1}\,n!^{3}}{(n+1)\,((n-1)/2)!^{2}\,(2n)!}}&({\text{for odd }}n)\end{cases}}$

Общие границы

Бургсталлер и Пиллихшаммер (2008) показали, что для компактного подмножества -мерного евклидова пространства n с диаметром 1 его средняя длина отрезка L удовлетворяет условию

$L\leq {\sqrt {\frac {2n}{n+1}}}{\frac {2^{n-2}\Gamma (n/2)^{2}}{\Gamma (n-1/2){\sqrt {\pi }}}}$

где Γ обозначает гамма-функцию . Для n = 2 существует более сильная оценка.

$L\leq {\frac {229}{800}}+{\frac {44}{75}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}+{\frac {19}{480}}{\sqrt {5}}=0.678442\ldots$

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Средняя длина отрезка линии» . Математический мир .