Обхват (функциональный анализ)

В функциональном анализе обхват нижняя банахова пространства — это грань длин центрально-симметричных простых замкнутых кривых в единичной сфере пространства. Эквивалентно, это вдвое больше нижней границы расстояния между противоположными точками сферы, измеренного внутри сферы. ^[1]^[2]

Каждое конечномерное банахово пространство имеет пару противоположных точек на единичной сфере, достигающих минимального расстояния, и центрально-симметричную простую замкнутую кривую, достигающую минимальной длины. Однако такая кривая не всегда может существовать в бесконечномерных пространствах. ^[1]

Обхват всегда равен четырем, потому что кратчайший путь на единичной сфере между двумя противоположными точками не может быть короче отрезка длиной два, соединяющего их через начало пространства. Банахово пространство, для которого оно равно четырем, называется плоским . Существуют плоские банаховы пространства бесконечной размерности, в которых обхват достигается кривой минимальной длины; примером может служить пространство C [0,1] непрерывных функций от единичного интервала до действительных чисел с нормой sup . Единичная сфера такого пространства обладает противоречивым свойством: некоторые пары противоположных точек находятся на одинаковом расстоянии внутри сферы, как и во всем пространстве. ^[3]

Обхват — непрерывная функция на компакте Банаха–Мазура , пространстве, точки которого соответствуют нормированным векторным пространствам заданной размерности. ^[2] Обхват двойственного пространства нормированного векторного пространства всегда равен обхвату исходного пространства. ^[2]^[4]

См. также

Систолическая геометрия

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Шеффер, Хуан Хорхе (1967), «Внутренний диаметр, периметр и обхват сфер», Mathematische Annalen , 173 : 79–82, doi : 10.1007/BF01351519 , MR 0218875 , S2CID 116325652 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Альварес Пайва, JC (2006), «Некоторые проблемы финслеровой геометрии», Справочник по дифференциальной геометрии. Том. II , Elsevier/Северная Голландия, Амстердам, стр. 1–33, номер документа : 10.1016/S1874-5741(06)80004-X , MR 2194667 . См., в частности, стр. 16 .
^ Харрелл, RE; Карловиц, Л. А. (1970), «Обхваты и плоские банаховы пространства», Бюллетень Американского математического общества , 76 (6): 1288–1291, doi : 10.1090/S0002-9904-1970-12643-X , MR 0267383 .
^ Альварес Пайва, JC (2006), «Двойные сферы имеют одинаковый обхват» (PDF) , American Journal of Mathematics , 128 (2): 361–371, arXiv : math/0408414 , doi : 10.1353/ajm.2006.0015 , MR 2214896 , S2CID 201749975 .

Эта математическому анализу, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[s67-1] Jump up to: ^а ^б Шеффер, Хуан Хорхе (1967), «Внутренний диаметр, периметр и обхват сфер», Mathematische Annalen , 173 : 79–82, doi : 10.1007/BF01351519 , MR 0218875 , S2CID 116325652 .

[ap-2] Jump up to: ^а ^б ^с Альварес Пайва, JC (2006), «Некоторые проблемы финслеровой геометрии», Справочник по дифференциальной геометрии. Том. II , Elsevier/Северная Голландия, Амстердам, стр. 1–33, номер документа : 10.1016/S1874-5741(06)80004-X , MR 2194667 . См., в частности, стр. 16 .

[3] Харрелл, RE; Карловиц, Л. А. (1970), «Обхваты и плоские банаховы пространства», Бюллетень Американского математического общества , 76 (6): 1288–1291, doi : 10.1090/S0002-9904-1970-12643-X , MR 0267383 .

[4] Альварес Пайва, JC (2006), «Двойные сферы имеют одинаковый обхват» (PDF) , American Journal of Mathematics , 128 (2): 361–371, arXiv : math/0408414 , doi : 10.1353/ajm.2006.0015 , MR 2214896 , S2CID 201749975 .

[1]

[2]

[3]

[4]