Объемная энтропия

Энтропия объема — асимптотический инвариант компактного , риманова многообразия измеряющий экспоненциальную скорость роста объема метрических шаров в его универсальном покрытии . Это понятие тесно связано с другими понятиями энтропии, встречающимися в динамических системах , и играет важную роль в дифференциальной геометрии и геометрической теории групп . Если многообразие неположительно искривлено, то его объемная энтропия совпадает с топологической энтропией геодезического потока . В дифференциальной геометрии представляет значительный интерес поиск римановой метрики на заданном гладком многообразии , которая минимизирует объемную энтропию, при этом локально симметричные пространства образуют основной класс примеров.

Определение

Пусть ( M , g ) — компактное риманово многообразие с универсальным накрытием ${\tilde {M}}.$ Выберите точку ${\tilde {x}}_{0}\in {\tilde {M}}$ .

( Энтропия объема или асимптотический рост объема) $h=h(M,g)$ определяется как предел

h(M,g)=\lim _{R\to +\infty }{\frac {\log \left(\operatorname {vol} B(R)\right)}{R}},

где B ( R ) — шар радиуса R в ${\tilde {M}}$ сосредоточено в ${\tilde {x}}_{0}$ vol — риманов объем в универсальном накрытии с естественной римановой метрикой.

А. Мэннинг доказал, что предел существует и не зависит от выбора базовой точки. Этот асимптотический инвариант описывает экспоненциальную скорость роста объема шаров в универсальном покрытии в зависимости от радиуса.

Характеристики

Объемная энтропия h всегда ограничена сверху топологической энтропией h _top геодезического потока на M . Более того, если M имеет неположительную секционную кривизну, h = htop _то . Эти результаты принадлежат Мэннингу.
В более общем смысле, энтропия объема равна топологической энтропии при более слабом предположении, что M — замкнутое риманово многообразие без сопряженных точек (Фрейре и Манье).
Локально симметричные пространства минимизируют энтропию, когда объем задан. Это следствие очень общего результата Бессона, Куртуа и Галло (который также подразумевает жесткость Мостоу и его различные обобщения Корлетта, Сиу и Терстона ):
Пусть X и Y — компактные ориентированные связные n -мерные гладкие многообразия и f : Y → X — непрерывное отображение ненулевой степени . Если g ₀ — локально симметричная риманова метрика отрицательной кривизны на X и g — любая риманова метрика на Y , то
$h^{n}(Y,g)\operatorname {vol} (Y,g)\geq \left|\deg(f)\right|h^{n}(X,g_{0})\operatorname {vol} (X,g_{0}),$
и при n ≥ 3 равенство имеет место тогда и только тогда, когда ( Y , g ) локально симметрично того же типа, что и ( X , g ₀ ), и f гомотопно гомотетическому накрытию ( Y , g ) → ( X , g ₀ ).

Применение в дифференциальной геометрии поверхностей

Энтропийное неравенство Катока недавно было использовано для получения точной асимптотической оценки систолического отношения поверхностей большого рода, см. систолы поверхностей .

Ссылки

Бессон Г., Куртуа Г., Галло С. Энтропия и жесткость локально симметричных пространств строго отрицательной кривизны. (английский) [Энтропия и жесткость локально симметричных пространств строго отрицательной кривизны] Геом. Функц. Анальный. 5 (1995), вып. 5, 731–799
Каток А.: Энтропия и замкнутые геодезические, Эрг. Т.е. Дин. Сис. 2 (1983), 339–365
Каток, А.; Хассельблатт, Б.: Введение в современную теорию динамических систем. С дополнительной главой Каток и Л. Мендоса. Энциклопедия математики и ее приложений, 54. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1995.
Кац, М.; Сабурау, С.: Энтропия систолически экстремальных поверхностей и асимптотические границы. Эрг. Т.е. Дин. Сис. 25 (2005), 1209-1220
Мэннинг А.: Топологическая энтропия геодезических потоков. Энн. математики. (2) 110 (1979), вып. 3, 567–573