Модель диска Пуанкаре

В геометрии модель диска Пуанкаре , также называемая моделью конформного диска , представляет собой модель двумерной гиперболической геометрии , в которой все точки находятся внутри единичного диска , а прямые линии представляют собой либо дуги окружности, содержащиеся внутри диска, ортогональны которые единичная окружность или диаметры единичной окружности.

Группа сохраняющих ориентацию изометрий модели диска задается проективной специальной унитарной группой $PSU(1,1)$ , фактором специальной унитарной группы SU(1,1) по ее центру ${I, - I}$ .

Наряду с моделью Клейна и моделью полупространства Пуанкаре она была предложена Эухенио Бельтрами , который использовал эти модели, чтобы показать, что гиперболическая геометрия эквисовместима с евклидовой геометрией . Оно названо в честь Анри Пуанкаре , поскольку его повторное открытие этого изображения четырнадцать лет спустя стало более известным, чем оригинальная работа Бельтрами. ^{[ 1 ]}

Модель шара Пуанкаре аналогична модели трехмерной или n- мерной гиперболической геометрии, в которой точки геометрии находятся в n -мерном единичном шаре .

История

Модель диска была впервые описана Бернхардом Риманом в лекции 1854 года (опубликована в 1868 году), которая вдохновила Эухенио Бельтрами на написание статьи 1868 года . ^{[ 2 ]} Анри Пуанкаре использовал его в своей трактовке гиперболических, параболических и эллиптических функций в 1882 году. ^{[ 3 ]} но оно стало широко известно после выступления Пуанкаре в его философском трактате 1905 года « Наука и гипотеза» . ^{[ 4 ]} Там он описывает мир, ныне известный как диск Пуанкаре, в котором пространство было евклидовым, но его обитателям казалось, что он удовлетворяет аксиомам гиперболической геометрии:

«Предположим, например, что мир заключен в большую сферу и подчиняется следующим законам: температура неоднородна; она максимальна в их центре и постепенно снижается по мере продвижения к окружности сферы, где она абсолютна. ноль Закон этой температуры следующий: Если $R$ быть радиусом сферы, а $r$ расстоянии рассматриваемой точки от центра, абсолютная температура будет пропорциональна $R^{2}-r^{2}$ . Далее я предположу, что в этом мире все тела имеют одинаковый коэффициент расширения , так что линейное расширение любого тела пропорционально его абсолютной температуре. Наконец, я буду считать, что тело, перенесенное из одной точки в другую с разной температурой, мгновенно находится в тепловом равновесии со своим новым окружением. ... Если они построят геометрию, она не будет похожа на нашу, которая изучает движения наших неизменных твердых тел; это будет изучение изменений положения, которые они таким образом распознают, и это будут «неевклидовы смещения», и это будет неевклидова геометрия . Чтобы такие существа, как мы, получившие образование в таком мире, не имели такой же геометрии, как наша». ^{[ 4 ]} (стр.65-68)

Диск Пуанкаре был важным доказательством гипотезы о том, что выбор пространственной геометрии является скорее конвенциональным, чем фактическим, особенно во влиятельных философских дискуссиях Рудольфа Карнапа. ^{[ 5 ]} и Ганса Райхенбаха . ^{[ 6 ]}

Линии и расстояние

Гиперболические прямые или геодезические состоят из всех дуг евклидовых окружностей, содержащихся внутри диска, ортогональных границе диска, а также всех диаметров диска.

Расстояния в этой модели представляют собой метрики Кэли–Клейна . Учитывая две различные точки p и q внутри диска, единственная гиперболическая линия, соединяющая их, пересекает границу в двух идеальных точках a и b . Пометьте их так, чтобы точки были в порядке a , p , q , b , то есть так, чтобы $| ак | > | ап |$ и $| пб | > | qb |$ .

гиперболическое расстояние между p и q будет равно Тогда ^{[ 7 ]}

$d(p,q)=\ln {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}.$

Вертикальные полосы обозначают евклидову длину отрезка, соединяющего точки между ними в модели (не по дуге окружности); ln – натуральный логарифм .

Эквивалентно, если u и v — два вектора в вещественном n -мерном векторном пространстве R ^н с обычной евклидовой нормой, обе из которых имеют норму меньше 1, то мы можем определить изометрический инвариант формулой

\delta (u,v)=2{\frac {\lVert u-v\rVert ^{2}}{(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{2})}}\,,

где $\lVert \cdot \rVert$ обозначает обычную евклидову норму. Тогда функция расстояния будет

{\begin{aligned}d(u,v)&=\operatorname {arcosh} (1+\delta (u,v))\\&=2\operatorname {arsinh} {\sqrt {\frac {\delta (u,v)}{2}}}\\\,&=2\ln {\frac {\lVert u-v\rVert +{\sqrt {\lVert u\rVert ^{2}\lVert v\rVert ^{2}-2u\cdot v+1}}}{\sqrt {(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{2})}}}.\end{aligned}}

Такая функция расстояния определяется для любых двух векторов с нормой меньше единицы и превращает набор таких векторов в метрическое пространство, которое является моделью гиперболического пространства постоянной кривизны −1. Модель обладает конформным свойством: угол между двумя пересекающимися кривыми в гиперболическом пространстве равен углу в модели.

Если рассматривать случай, когда одна из точек является началом координат, а евклидово расстояние между точками равно r , то гиперболическое расстояние будет равно: $\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=2\operatorname {artanh} r$ где $\operatorname {artanh}$ — обратная гиперболическая функция гиперболического тангенса . Если две точки лежат на одном радиусе и точке $x'=(r',\theta )$ лежит между началом координат и точкой $x=(r,\theta )$ , их гиперболическое расстояние равно $\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\cdot {\frac {1-r'}{1+r'}}\right)=2(\operatorname {artanh} r-\operatorname {artanh} r').$ Это сводится к предыдущему частному случаю, если $r'=0$ .

Метрика и кривизна

Соответствующий метрический тензор модели диска Пуанкаре имеет вид ^{[ 8 ]}

ds^{2}=4{\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{\left(1-\sum _{i}x_{i}^{2}\right)^{2}}}={\frac {4\,\lVert d\mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}}{{\bigl (}1-\lVert \mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}{\bigr )}^{2}}}

где x _i — декартовы координаты окружающего евклидова пространства.

Ортонормированная система координат относительно этой римановой метрики имеет вид

e_{i}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}1-|\mathbf {x} |^{2}{\Bigr )}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},

с двойным кофреймом 1-форм

\theta ^{i}={\frac {2}{1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}}}\,dx^{i}.

В двух измерениях

В двух измерениях относительно этих реперов и связности Леви-Чивита формы связности задаются уникальной кососимметричной матрицей 1-форм $\omega$ без кручения , т. е. удовлетворяющий матричному уравнению $0=d\theta +\omega \wedge \theta$ . Решая это уравнение для $\omega$ урожайность

\omega ={\frac {2(y\,dx-x\,dy)}{1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},

где матрица кривизны

\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega =d\omega +0={\frac {-4\,dx\wedge dy}{{\bigl (}1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}{\bigr )}^{2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.

Следовательно, кривизна гиперболического диска равна

K=\Omega _{2}^{1}(e_{1},e_{2})=-1.

Строительство линий

С помощью циркуля и линейки

Уникальная гиперболическая линия, проходящая через две точки $P$ и $Q$ не на диаметре граничного круга, может быть построено следующим образом:

позволять $P'$ в — инверсия граничной окружности точки $P$
позволять $Q'$ — инверсия в граничной окружности точки $Q$
позволять $M$ быть серединой отрезка $PP'$
позволять $N$ быть серединой отрезка $QQ'$
Нарисовать линию $m$ через $M$ перпендикулярно сегменту $PP'$
Нарисовать линию $n$ через $N$ перпендикулярно сегменту $QQ'$
позволять $C$ быть там, где линия $m$ и линия $n$ пересекаться.
Нарисовать круг $c$ с центром $C$ и прохожу $P$ (и $Q$ ).
Часть круга $c$ то, что находится внутри диска, — это гиперболическая линия.

Если P и Q находятся на диаметре граничного круга, этот диаметр является гиперболической линией.

Другой способ:

позволять $M$ быть серединой отрезка $PQ$
Проведите линию m через $M$ перпендикулярно сегменту $PQ$
позволять $P'$ в — инверсия граничной окружности точки $P$
позволять $N$ быть серединой отрезка $PP'$
Нарисовать линию $n$ через $N$ перпендикулярно сегменту $PP'$
позволять $C$ быть там, где линия $m$ и линия $n$ пересекаться.
Нарисовать круг $c$ с центром $C$ и прохожу $P$ (и $Q$ ).
Часть круга $c$ то, что находится внутри диска, — это гиперболическая линия.

По аналитической геометрии

Основная конструкция аналитической геометрии состоит в нахождении прямой, проходящей через две заданные точки. В модели диска Пуанкаре линии на плоскости определяются частями окружностей, имеющими уравнения вида

x^{2}+y^{2}+ax+by+1=0\,,

что является общей формой круга, ортогонального единичному кругу, или, иначе говоря, по диаметрам. Учитывая две точки u = (u ₁ ,u ₂ ) и v = (v ₁ ,v ₂ ) в диске, которые не лежат на диаметре, мы можем найти круг этой формы, проходящий через обе точки, и получить

{\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&{}+{\frac {u_{2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+1)-v_{2}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x\\[8pt]&{}+{\frac {v_{1}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+1)-u_{1}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.\end{aligned}}

Если точки u и v являются точками на границе диска, не лежащими на концах диаметра, сказанное выше упрощается до

x^{2}+y^{2}+{\frac {2(u_{2}-v_{2})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x+{\frac {2(v_{1}-u_{1})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.

Углы

Мы можем вычислить угол между дугой окружности, конечные точки которой ( идеальные точки ) заданы единичными векторами u и v , и дугой, конечными точками которой являются s и t , с помощью формулы. Поскольку идеальные точки одинаковы в модели Клейна и модели диска Пуанкаре, формулы идентичны для каждой модели.

Если линии обеих моделей являются диаметрами, так что v = - u и t = - s , то мы просто находим угол между двумя единичными векторами, а формула для угла θ имеет вид

\cos(\theta )=u\cdot s\,.

Если v = − u , но не t = − s , формула принимает вид клинового произведения ( $\wedge$ ),

\cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}},

где

P=u\cdot (s-t)\,,

Q=u\cdot u\,,

R=(s-t)\cdot (s-t)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\,.

Если обе хорды не являются диаметрами, общая формула получает вид

\cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}}\,,

где

P=(u-v)\cdot (s-t)-(u\wedge v)\cdot (s\wedge t)\,,

Q=(u-v)\cdot (u-v)-(u\wedge v)\cdot (u\wedge v)\,,

R=(s-t)\cdot (s-t)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\,.

Используя тождество Бине-Коши и тот факт, что это единичные векторы, мы можем переписать приведенные выше выражения исключительно в терминах скалярного произведения , как

P=(u-v)\cdot (s-t)+(u\cdot t)(v\cdot s)-(u\cdot s)(v\cdot t)\,.

Q=(1-u\cdot v)^{2}\,,

R=(1-s\cdot t)^{2}\,.

Циклы

В евклидовой плоскости обобщенные окружности (кривые постоянной кривизны) представляют собой прямые и окружности. На сфере это большие и малые круги . В гиперболической плоскости существует четыре различных типа обобщенных окружностей или циклов : окружности, орициклы, гиперциклы и геодезические (или «гиперболические линии»). В модели диска Пуанкаре все они представлены прямыми линиями или кругами.

Евклидов круг:

то, что полностью внутри диска — это гиперболический круг ;
то, что находится внутри диска и касается границы, является орициклом ;
пересекающая границу ортогонально, является гиперболической линией ; и
который неортогонально пересекает границу, является гиперциклом .

Евклидова хорда граничной окружности:

проходящая через центр — гиперболическая линия; и
который не проходит через центр, является гиперциклом.

Круги

Окружность . (совокупность всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии от данной точки, ее центра) — это окружность, полностью находящаяся внутри диска, не касающаяся и не пересекающая его границы Гиперболический центр круга в модели в общем случае не соответствует евклидову центру круга, но они находятся на одном радиусе диска Пуанкаре. (Евклидов центр всегда ближе к центру диска, чем гиперболический центр.)

Гиперциклы

Гиперцикл не (совокупность всех точек плоскости, находящихся по одну сторону и на заданном расстоянии от данной прямой, ее оси) — это евклидова дуга окружности или хорда граничной окружности, пересекающая граничную окружность в положительной, но - прямой угол . Его ось — это гиперболическая линия, разделяющая одни и те же две идеальные точки . Это также известно как эквидистантная кривая.

Гороциклы

Орицикл являются (кривая, нормальные или перпендикулярные геодезические которой предельными параллелями , асимптотически сходящимися к одной и той же идеальной точке ) — это окружность внутри диска, касающаяся граничной окружности диска. Точка касания граничной окружности не является частью орицикла. Это идеальная точка и гиперболический центр орицикла. Это также точка, к которой сходятся все перпендикулярные геодезические.

В модели диска Пуанкаре это выглядит так, как будто точки вблизи противоположных «концов» орицикла приближаются друг к другу и к центру орицикла (на граничной окружности), но в гиперболической геометрии каждая точка орицикла бесконечно удалена от центр орицикла. Также расстояние между точками на противоположных «концах» орицикла увеличивается по мере увеличения длины дуги между этими точками. (Евклидова интуиция может ввести в заблуждение, поскольку масштаб модели увеличивается до бесконечности на граничном круге.)

Связь с другими моделями гиперболической геометрии

модель диска Пуанкаре (линия P ) и их связь с другими моделями

Связь с моделью диска Клейна

Модель диска Клейна (также известная как модель Бельтрами – Клейна) и модель диска Пуанкаре — это модели, которые проецируют всю гиперболическую плоскость в диск . Эти две модели связаны через проекцию на модель полушария или из нее . Модель диска Клейна представляет собой ортогональную проекцию модели полушария, а модель диска Пуанкаре — стереографическую проекцию .

Преимущество модели диска Клейна в том, что линии в этой модели представляют собой евклидовы прямые хорды . Недостатком является то, что модель диска Клейна не является конформной (искажаются окружности и углы).

При проецировании одних и тех же линий в обеих моделях на один диск обе линии проходят через одни и те же две идеальные точки . (идеальные точки остаются на том же месте) также полюс хорды в модели диска Клейна является центром круга, содержащего дугу в модели диска Пуанкаре.

Точка ( x , y ) в модели диска Пуанкаре отображается на ${\textstyle \left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}}\ ,\ {\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)}$ в модели Клейна.

Точка ( x , y ) в модели Клейна отображается на ${\textstyle \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\ ,\ \ {\frac {y}{1+{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\right)}$ в модели диска Пуанкаре.

Для идеальных точек $x^{2}+y^{2}=1$ и формулы становятся $x=x\ ,\ y=y$ так что точки фиксированы.

Если $u$ является вектором нормы меньше единицы, представляющим точку модели диска Пуанкаре, то соответствующая точка модели диска Клейна определяется выражением: $s={\frac {2u}{1+u\cdot u}}.$

И наоборот, из вектора $s$ с нормой меньше единицы, представляющей точку модели Бельтрами – Клейна, соответствующая точка модели диска Пуанкаре определяется выражением: $u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s\cdot s}}}}={\frac {\left(1-{\sqrt {1-s\cdot s}}\right)s}{s\cdot s}}.$

Связь с моделью полуплоскости Пуанкаре

Модель диска Пуанкаре и модель полуплоскости Пуанкаре названы в честь Анри Пуанкаре .

Если $u$ представляет собой комплексное число с нормой меньше единицы, представляющее точку модели диска Пуанкаре, то соответствующая точка модели полуплоскости задается обратным преобразованием Кэли: $s={\frac {u+i}{iu+1}}.$

Точка ( x , y ) в модели диска сопоставляется с ${\textstyle \left({\frac {2x}{x^{2}+(1-y)^{2}}}\ ,\ {\frac {1-x^{2}-y^{2}}{x^{2}+(1-y)^{2}}}\right)\,}$ в полуплоской модели. ^{[ 9 ]}

Точка ( x , y ) в модели полуплоскости отображается на ${\textstyle \left({\frac {2x}{x^{2}+(1+y)^{2}}}\ ,\ {\frac {x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+(1+y)^{2}}}\right)\,}$ в дисковой модели.

Связь с моделью гиперболоида

Модель диска Пуанкаре, как и модель Клейна связана с моделью гиперболоида , проективно . Если у нас есть точка [ t , x ₁ , ..., x _n ] на верхнем листе гиперболоида модели гиперболоида, тем самым определяя точку в модели гиперболоида, мы можем спроецировать ее на гиперплоскость t = 0 по формуле пересекая его линией, проведенной через [−1, 0, ..., 0]. Результатом является соответствующая точка модели диска Пуанкаре.

Для декартовых координат ( t , xi _y ) на гиперболоиде и ( i ₎ на плоскости формулы преобразования следующие: $y_{i}={\frac {x_{i}}{1+t}}$ $(t,x_{i})={\frac {\left(1+\sum {y_{i}^{2}},\,2y_{i}\right)}{1-\sum {y_{i}^{2}}}}\,.$

Сравните формулы стереографической проекции сферы и плоскости.

Модель гиперболоида можно представить в виде уравнения $t 2 = х 12 + х2 2 + 1$ , $т > 1$ . Его можно использовать для построения модели диска Пуанкаре как проекции , рассматриваемой со стороны $(t = -1, x 1 = 0, x 2 = 0)$ , проецирующей верхнюю половину гиперболоида на единичный диск в точке $t = 0$ . Красная геодезическая в модели диска Пуанкаре проецируется на коричневую геодезическую на зеленом гиперболоиде.
Duration: 20 seconds.

Анимация частичного гиперболического мозаики {7,3} гиперболоида, повернутого в перспективу Пуанкаре.

Художественные реализации

М. К. Эшер исследовал концепцию представления бесконечности на двухмерной плоскости. Дискуссии с канадским математиком Х. С. М. Коксетером около 1956 года вдохновили Эшера на интерес к гиперболическим мозаикам , которые представляют собой регулярные мозаики гиперболической плоскости. Гравюры на дереве Эшера «Круг Лимит I–IV» демонстрируют эту концепцию между 1958 и 1960 годами, последней из которых является «Круг Лимит IV: Рай и ад» в 1960 году. ^{[ 10 ]} По мнению Бруно Эрнста, лучшая из них — Circle Limit III .

HyperRogue , игра-рогалик, использует гиперболическую плоскость в качестве геометрии мира, а также использует модель диска Пуанкаре.

См. также

Ссылки

^ Пенроуз, Роджер (2004). Дорога к реальности: Полное руководство по законам Вселенной . Великобритания: Джонатан Кейп. п. 45 . ISBN 0-224-04447-8 .
^ Милнор, Джон В. «Гиперболическая геометрия: первые 150 лет». Бюллетень Американского математического общества 6, вып. 1 (1982): 9–24.
Б. Риман, «О гипотезах, лежащих в основе геометрии», Abh. Геттинген 13 (из его инаугурационной речи 1854 г.).

Эухенио Бельтрами. «Фундаментальная теория пространств постоянной кривизны», Анналы математики. сер. II 2, 232–255 (Op. Mat. 1, 406–429; Ann. École Norm. Sup. 6 (1869), 345–375).
^ Пуанкаре, Х. (1 декабря 1882 г.). «Теория фуксовых групп» . Acta Mathematica (на французском языке). 1 (1): 1–62. дои : 10.1007/BF02592124 . ISSN 1871-2509 . S2CID 120406828 .
^ Jump up to: ^а ^б Пуанкаре, Анри (1905). Наука и гипотеза . Робартс – Университет Торонто. Лондон В. Скотт.
^ Карус, AW; Фридман, Майкл; Кинцлер, Вольфганг; Ричардсон, Алан; Шлоттер, Свен (25 июня 2019 г.). Рудольф Карнап: Ранние произведения: Собрание сочинений Рудольфа Карнапа, Том 1 . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-106526-2 .
^ Райхенбах, Ганс (13 марта 2012 г.). Философия пространства и времени . Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-13803-9 .
^ Бергер, Марсель (1987) [1977]. «9.6 Модель Пуанкаре». Геометрия II . Перевод Коула М.; Леви, С. Спрингер. п. 339.
^ «Сравнение метрических тензоров моделей дисков Пуанкаре и Клейна гиперболической геометрии» . Обмен стеками . 23 мая 2015 г.
^ «Сопоставление модели диска Пуанкаре с моделью полуплоскости Пуанкаре» . Проверено 13 декабря 2015 г.
^ Исследование предела круга Эшера

Дальнейшее чтение

Джеймс В. Андерсон, Гиперболическая геометрия , второе издание, Springer, 2005.
Эухенио Бельтрами, Фундаментальная теория пространств постоянной кривизны , Анналы. мат., сер II 2 (1868), 232–255.
Сол Шталь, Полуплоскость Пуанкаре , Джонс и Бартлетт, 1993.

Внешние ссылки

СМИ, связанные с моделями дисков Пуанкаре, на Викискладе?

[1] Пенроуз, Роджер (2004). Дорога к реальности: Полное руководство по законам Вселенной . Великобритания: Джонатан Кейп. п. 45 . ISBN 0-224-04447-8 .

[2] Милнор, Джон В. «Гиперболическая геометрия: первые 150 лет». Бюллетень Американского математического общества 6, вып. 1 (1982): 9–24.
Б. Риман, «О гипотезах, лежащих в основе геометрии», Abh. Геттинген 13 (из его инаугурационной речи 1854 г.).

Эухенио Бельтрами. «Фундаментальная теория пространств постоянной кривизны», Анналы математики. сер. II 2, 232–255 (Op. Mat. 1, 406–429; Ann. École Norm. Sup. 6 (1869), 345–375).

[3] Пуанкаре, Х. (1 декабря 1882 г.). «Теория фуксовых групп» . Acta Mathematica (на французском языке). 1 (1): 1–62. дои : 10.1007/BF02592124 . ISSN 1871-2509 . S2CID 120406828 .

[:0-4] Jump up to: ^а ^б Пуанкаре, Анри (1905). Наука и гипотеза . Робартс – Университет Торонто. Лондон В. Скотт.

[5] Карус, AW; Фридман, Майкл; Кинцлер, Вольфганг; Ричардсон, Алан; Шлоттер, Свен (25 июня 2019 г.). Рудольф Карнап: Ранние произведения: Собрание сочинений Рудольфа Карнапа, Том 1 . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-106526-2 .

[6] Райхенбах, Ганс (13 марта 2012 г.). Философия пространства и времени . Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-13803-9 .

[7] Бергер, Марсель (1987) [1977]. «9.6 Модель Пуанкаре». Геометрия II . Перевод Коула М.; Леви, С. Спрингер. п. 339.

[8] «Сравнение метрических тензоров моделей дисков Пуанкаре и Клейна гиперболической геометрии» . Обмен стеками . 23 мая 2015 г.

[MSE1333850-9] «Сопоставление модели диска Пуанкаре с моделью полуплоскости Пуанкаре» . Проверено 13 декабря 2015 г.

[10] Исследование предела круга Эшера

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]